Решение.
Мощность, выделяемая на нагрузке определяется по формуле\[ P={{I}^{2}}\cdot R(1). \]
Силу тока определим используя закон Ома для полной цепи\[ I=\frac{E}{R+r}(2),P={{(\frac{E}{R+r})}^{2}}\cdot R(3). \]
Для определения максимальной мощности возьмем производную от мощности Р по внешнему сопротивлению R и прировняем ее к нулю
\[ \begin{align}
& \frac{dP}{dR}=({{(\frac{E}{R+r})}^{2}}\cdot R)'=\frac{{{E}^{2}}\cdot {{(R+r)}^{2}}-{{E}^{2}}\cdot R\cdot 2\cdot (R+r)}{{{(R+r)}^{4}}}=\frac{{{E}^{2}}}{{{(R+r)}^{4}}}\cdot ({{R}^{2}}+{{r}^{2}}+2\cdot R\cdot r-2\cdot {{R}^{2}}-2\cdot R\cdot r)= \\
& =\frac{{{E}^{2}}}{{{(R+r)}^{4}}}\cdot ({{r}^{2}}-{{R}^{2}}), \\
& \frac{{{E}^{2}}}{{{(R+r)}^{4}}}\cdot ({{r}^{2}}-{{R}^{2}})=0,{{r}^{2}}-{{R}^{2}}=0,R=r. \\
& {{P}_{\max }}=\frac{{{E}^{2}}\cdot r}{4\cdot {{r}^{2}}}=\frac{{{E}^{2}}}{4\cdot r}\,(4). \\
& {{P}_{\max }}=\frac{{{2,0}^{2}}}{4\cdot 1,0}=1,0. \\
\end{align}
\]