Вариант 1. А16. Падающий на тонкую собирающую линзу луч от точечного источника света, расположенного ниже главной оптической оси, пересекает эту ось под углом α на расстоянии d = 18 см от оптического центра линзы. Преломлённый луч пересекает главную оптическую ось под углом β. Если отношение tg β/tg α = 2, то фокусное расстояние F линзы равно:
1) 6,0 см; 2) 8,2 см; 3) 9,5 см; 4) 12 см; 5) 16 см.
Решение. Пусть AB — один из падающих лучей. Через оптический центр линзы проведем побочную оптическую ось OC, параллельную данному лучу AB (рис. 1). Параллельные лучи после прохождения собирающей линзы пересекаются (фокусируются) в фокальной плоскости, следовательно, точка C лежит в фокальной плоскости.
Продолжим луч BC до пересечения с главной оптической осью в точке E, которая и будет изображением точки A (см. рис. 1). Из двух прямоугольных треугольников ΔAOB и ΔEОB найдем
\[OB=OA\cdot {\rm tg}\alpha =OE\cdot {\rm tg}\beta ,\; \; OE=f=OA\cdot \frac{{\rm tg}\alpha }{{\rm tg}\beta } =d\cdot \frac{{\rm tg}\alpha }{{\rm tg}\beta } ,\; \; f=\frac{d}{2} =9\; \left({\rm cm}\right).\]
где d — расстояние от предмета (точки A) до линзы, f — расстояние от изображения (точки E) до линзы.
Фокусное расстояние F найдем из формулы тонкой линзы с учетом знаков (линза собирающая, предмет действительный, изображение действительное — везде ставим знак « + »). Тогда
\[\frac{1}{F} =\frac{1}{d} +\frac{1}{f} =\frac{f+d}{f\cdot d} ,\; \; F=\frac{f\cdot d}{f+d},\]
F = 6 см.
Ответ: 1) 6,0 см.