Форум сайта alsak.ru

Задачи и вопросы по физике => Кинематика => Механика => Вектора, проекции => : Антон Огурцевич 07 February 2018, 06:21

: Найти градиент функции
: Антон Огурцевич 07 February 2018, 06:21
9.5. Найти градиент функции u = f(x,y,z) в точке M. u = x∙y - x/z. M(-4,3,-1). Сделать рисунок.
: Re: Найти градиент функции
: Сергей 07 February 2018, 09:41
Решение. Градиентом функции u = f(x,y, z) называется вектор, координатами которого являются частные производные данной функции
\[ \begin{align}
  & gradu=\frac{du}{dx}\vec{i}+\frac{du}{dy}\vec{j}+\frac{du}{dz}\vec{k}. \\
 & \frac{du}{dx}=(x\cdot y-\frac{x}{z})_{x}^{'}=y-\frac{1}{z},\frac{du}{dy}=(x\cdot y-\frac{x}{z})_{y}^{'}=x,\frac{du}{dz}=(x\cdot y-\frac{x}{z})_{z}^{'}=-(-x\cdot {{z}^{-2}})=\frac{x}{{{z}^{2}}}. \\
 & gradu=(y-\frac{1}{z})\vec{i}+x\vec{j}+\frac{x}{{{z}^{2}}}\vec{k},x=-4,y=3,z=-1. \\
 & gradu=(3-\frac{1}{-1})\vec{i}+(-4)\vec{j}+\frac{-4}{{{(-1)}^{2}}}\vec{k}, \\
 & gradu=4\vec{i}-4\vec{j}-4\vec{k}. \\
\end{align} \]
Модуль градиента функции определим по формуле
\[ \begin{align}
  & \left| gradu \right|=\sqrt{{{(\frac{du}{dx})}^{2}}+{{(\frac{du}{dy})}^{2}}+{{(\frac{du}{dz})}^{2}}}. \\
 & \left| gradu \right|=\sqrt{{{(4)}^{2}}+{{(-4)}^{2}}+{{(-4)}^{2}}}=4\sqrt{3}=9,8. \\
\end{align}
 \]