Условие. На однородный стержень массой mс = 2,0 кг и длиной 40 см, который может вращаться вокруг оси О, подвешен груз массой m1 = 4,0 кг (рис. 1). На каком расстоянии от оси вращения следует подвесить груз массой m2 = 1,0 кг, чтобы стержень находился в равновесии? Длина АО = 10 см.
Решение. Предположим, что груз массой m2 надо повесить правее оси вращения в точке В. (Если предположение ошибочное, то расстояние ОВ будет отрицательным).
На стержень действуют сила тяжести стержня (mс⋅g), сила тяжести груза массой m1 (m1⋅g), сила тяжести груза массой m2 (m2⋅g) и сила реакции оси (N) (рис. 2, момент силы N относительно опоры равен 0, поэтому эту силу на рисунке не изображаем).
Определим плечи сил, моменты сил и их знаки.
Плечо силы m1⋅g равно l1 = АО. Данная сила стремится вращать рычаг относительно точки О против часовой стрелки, поэтому М1 < 0, и М1 = m1⋅g⋅l1.
Плечо силы m2⋅g равно l2 = ОВ, М2 > 0, и М2 = m2⋅g⋅l2.
Плечо силы mс⋅g равно l3 = ОС, где OC = AC – AO = l/2 – AO, т.к. точка С – середина стержня, М3 > 0, и М3 = mс⋅g⋅l3.
Из условия равновесия тела получаем
–m1⋅g⋅l1 + m2⋅g⋅l2 + mс⋅g⋅l3 = 0,
–m1⋅l1 + m2⋅l2 + mс⋅l3 = 0.
Тогда
\[ OB = l_2 = \frac{m_1 \cdot l_1 - m_c \cdot l_3}{m_2} =
\frac{m_1 \cdot AO - m_c \cdot \left( \frac{l}{2} - AO \right)}{m_2}, \]
OВ = 0,20 м. Так как ОВ > 0, то точка В находится правее оси вращения на 0,20 м.