Форум сайта alsak.ru

Задачи и вопросы по физике => Динамика => Механика => Движение по окружности => : Антон Огурцевич 08 June 2017, 14:27

: Определите отклонение тела при его падении от вертикали
: Антон Огурцевич 08 June 2017, 14:27

56. Тело массой 1 кг, падая свободно в течение 6 с, попадает на Землю в точку с географической широтой 30°. Учитывая вращение Земли, определите отклонение тела при его падении от вертикали. Сделать рисунок.

: Re: Определите отклонение тела при его падении от вертикали
: Виктор 09 June 2017, 12:13

Решение: отклонение тела от вертикали будет вызвано действием силы Кориолиса - данная «сила» позволяет учесть влияние вращения подвижной системы отсчёта на относительное движение МТ, но при этом никакому реальному взаимодействию МТ с другими телами не соответствует. Сила Кориолиса рассчитывается следующим образом:
\[ {{F}_{k}}=2\cdot m\cdot \left[ \vec{\upsilon }\times \vec{\omega } \right]=2\cdot m\cdot \upsilon \cdot \omega \cdot \sin \left( \vec{\upsilon },\vec{\omega } \right)=2\cdot m\cdot \upsilon \cdot \omega \cdot \cos \varphi . \]
Здесь учли что угол между вектором скорости тела υ и вектором угловой скорости вращения Земли ω равен α = 90° – φ  (см. рис.). Скорость тела при свободном падении и угловая скорость соответственно (T – период вращения, g = 9,81 м/с² – ускорение свободного падения)
\[ \upsilon =g\cdot t,\text{           }\omega =\frac{2\pi }{T}. \]
Тогда по второму закону Ньютона найдём Кориолисово ускорение:
\[ {{a}_{k}}=\frac{{{F}_{k}}}{m}=\frac{2\cdot m\cdot \upsilon \cdot \omega \cdot \cos \varphi }{m}=\frac{2\cdot m\cdot g\cdot t\cdot 2\cdot \pi \cdot \cos \varphi }{m\cdot T}=\frac{4\cdot g\cdot t\cdot \pi \cdot \cos \varphi }{T}. \]
Зависимость скорости отклонения тела от времени определим интегрируя:
\[ \begin{align}
  & {{\upsilon }_{k}}=\int\limits_{0}^{t}{{{a}_{k}}}\cdot dt=\int\limits_{0}^{t}{\frac{4\cdot \pi \cdot g\cdot \cos \varphi }{T}\cdot t}\cdot dt=\frac{4\cdot \pi \cdot g\cdot \cos \varphi }{T}\cdot \int\limits_{0}^{t}{t}\cdot dt= \\
 & =\left. \frac{4\cdot \pi \cdot g\cdot \cos \varphi }{T}\cdot \frac{{{t}^{2}}}{2} \right|_{0}^{t}=\frac{2\cdot \pi \cdot g\cdot {{t}^{2}}\cdot \cos \varphi }{T}. \\
\end{align} \]
Тогда отклонение тела от вертикали (пройденный путь):
\[ \begin{align}
  & S=\int\limits_{0}^{t}{{{\upsilon }_{k}}}\cdot dt=\int\limits_{0}^{t}{\frac{2\cdot \pi \cdot g\cdot \cos \varphi }{T}\cdot {{t}^{2}}\cdot dt}=\frac{2\cdot \pi \cdot g\cdot \cos \varphi }{T}\cdot \int\limits_{0}^{t}{{{t}^{2}}\cdot dt}= \\
 & =\left. \frac{2\cdot \pi \cdot g\cdot \cos \varphi }{T}\cdot \frac{{{t}^{3}}}{3} \right|_{0}^{t}=\frac{2\cdot \pi \cdot g\cdot {{t}^{3}}\cdot \cos \varphi }{3\cdot T}. \\
\end{align} \]
\[ S=\frac{2\cdot 3,14\cdot 9,81\cdot {{6}^{3}}\cdot \cos 30{}^\circ }{3\cdot 24\cdot 3600}=4,45\cdot {{10}^{-2}}. \]
Ответ: 4,45 см.