Решение.
Определим скорость электронов.\[ \begin{align}
& {{n}_{e}}=\frac{N}{V}(1),V=S\cdot l(2),J=\frac{I}{S}(3),I=\frac{q}{t}\,(4),q=N\cdot e(5). \\
& \\
\end{align} \]
N – количество электронов в плазменной дуге, V – объем пространства которое занимает дуга, S – площадь поперечного сечения дуги, l – длина дуги, J - плотность тока в дуге, I – сила тока в дуге, q – электрический заряд, t – время, е – модуль заряда электрона, е = 1,6∙10-19 Кл.
(5) подставим в (4), (4) подставим в (3) и выразим количество электронов в плазменной дуге. Количество электронов в плазменной дуге и (2) подставим в (1) выразим скорость.\[ \begin{align}
& N=\frac{J\cdot S\cdot t}{e},{{n}_{e}}=\frac{J\cdot S\cdot t}{e\cdot S\cdot l}=\frac{J\cdot t}{e\cdot l},\,\upsilon =\frac{l}{t}(6),{{n}_{e}}=\frac{J}{e\cdot \upsilon },\upsilon =\frac{J}{e\cdot {{n}_{e}}}\,(7). \\
& \upsilon =\frac{2\cdot {{10}^{6}}}{1,6\cdot {{10}^{-19}}\cdot {{10}^{19}}}=1,25\cdot {{10}^{6}}. \\
\end{align} \]
Скорость электронов в дуге много меньше скорости света, для определения длины волны де Бройля используем обычную формулу. Запишем формулу для вычисления длины волны де Бройля:\[ \lambda =\frac{h}{p}=\frac{h}{m\cdot \upsilon }\ \ \ (8\,).\lambda =\frac{6,63\cdot {{10}^{-34}}}{9,1\cdot {{10}^{-31}}\cdot 1,25\cdot {{10}^{6}}}=0,58\cdot {{10}^{-9}}. \]
Где h = 6,63∙10-34 Дж∙с – постоянная Планка, m = 9,1∙10-31 кг – масса электрона.
Ответ: 0,58 нм.