Форум сайта alsak.ru
Задачи и вопросы по физике => Термодинамика. МКТ => Теплота. Тепловой баланс => : Антон Огурцевич 30 May 2016, 15:03
-
Известно, что температура тела в течение 20 мин. падает от 100°С до 60°С. Температура воздуха при этом равна 20°С. Через сколько времени (от момента начала охлаждения) температура тела понизится до 25°С? Считать, что скорость охлаждения тела в воздухе пропорциональна разности между температурами тела и воздуха. Сделать рисунок.
-
Решение: воспользуемся законом Ньютона об охлаждении тела в воздушной среде: скорость охлаждения тела в воздухе пропорциональна разности между температурами тела и воздуха.
\[ \frac{dt}{d\tau }=k\cdot \left( t-{{t}_{0}} \right), \]
здесь dt/dτ – скорость охлаждения, k – некий коэффициент пропорциональности, t – температура тела, t0 = 20°С – температура окружающего воздуха. Решим это уравнение методом разделения переменных:
\[ \frac{dt}{t-20}=k\cdot d\tau , \]
\[ \int{\frac{dt}{t-20}}=k\cdot \int{d\tau }, \]
\[ \ln \left( t-20 \right)=k\tau +C;\text{ }t-20={{e}^{k\tau +C}},\text{ }t-20={{e}^{+C}}\cdot {{e}^{k\tau }}, \]
\[ t-20={{C}_{1}}\cdot {{e}^{k\tau }}, \]
Здесь учли, что еС – некая постоянная, и обозначили её С1. Теперь воспользуемся условием задачи: при τ = 0 мин, t = 100°С, тогда
\[ 100-20={{C}_{1}}\cdot {{e}^{k\cdot 0}},\text{ }{{C}_{1}}=80. \]
При τ = 20 мин, t = 60°С, тогда
\[ 60-20=80\cdot {{e}^{k\cdot 20}},\text{ }40=80\cdot {{\left( {{e}^{k}} \right)}^{20}},\text{ }{{e}^{k}}={{\left( \frac{1}{2} \right)}^{\frac{1}{20}}}. \]
При τ = x мин, t = 25°С, тогда
\[ 25-20=80\cdot {{e}^{k\cdot x}},\text{ }5=80\cdot {{\left( {{\left( \frac{1}{2} \right)}^{\frac{1}{20}}} \right)}^{x}},\text{ }\frac{1}{16}={{\left( \frac{1}{2} \right)}^{\frac{x}{20}}},\text{ }{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{4}}={{\left( \frac{1}{2} \right)}^{\frac{x}{20}}}, \]
\[ \frac{x}{20}=4,\text{ }x=80. \]
Ответ: через 80 мин.