Форум сайта alsak.ru

Задачи и вопросы по физике => Термодинамика. МКТ => Теплота. Тепловой баланс => Тема начата: Антон Огурцевич от 30 Мая 2016, 15:03

Название: Известно, что температура тела
Отправлено: Антон Огурцевич от 30 Мая 2016, 15:03
Известно, что температура тела в течение 20 мин. падает от 100°С до 60°С. Температура воздуха при этом равна 20°С. Через сколько времени (от момента начала охлаждения) температура тела понизится до 25°С? Считать, что скорость охлаждения тела в воздухе пропорциональна разности между температурами тела и воздуха. Сделать рисунок.
Название: Re: Известно, что температура тела
Отправлено: Виктор от 03 Июня 2016, 12:40
Решение: воспользуемся законом Ньютона об охлаждении тела в воздушной среде: скорость охлаждения тела в воздухе пропорциональна разности между температурами тела и воздуха.
\[ \frac{dt}{d\tau }=k\cdot \left( t-{{t}_{0}} \right), \]
здесь dt/dτ – скорость охлаждения, k – некий коэффициент пропорциональности, t – температура тела, t0 = 20°С – температура окружающего воздуха. Решим это уравнение методом разделения переменных:
\[ \frac{dt}{t-20}=k\cdot d\tau , \]
\[ \int{\frac{dt}{t-20}}=k\cdot \int{d\tau }, \]
\[ \ln \left( t-20 \right)=k\tau +C;\text{       }t-20={{e}^{k\tau +C}},\text{        }t-20={{e}^{+C}}\cdot {{e}^{k\tau }}, \]
\[ t-20={{C}_{1}}\cdot {{e}^{k\tau }}, \]
Здесь учли, что еС – некая постоянная, и обозначили её С1. Теперь воспользуемся условием задачи: при τ = 0 мин, t = 100°С, тогда
\[ 100-20={{C}_{1}}\cdot {{e}^{k\cdot 0}},\text{    }{{C}_{1}}=80. \]
При τ = 20 мин, t = 60°С, тогда
\[ 60-20=80\cdot {{e}^{k\cdot 20}},\text{    }40=80\cdot {{\left( {{e}^{k}} \right)}^{20}},\text{   }{{e}^{k}}={{\left( \frac{1}{2} \right)}^{\frac{1}{20}}}. \]
При τ = x мин, t = 25°С, тогда
\[ 25-20=80\cdot {{e}^{k\cdot x}},\text{    }5=80\cdot {{\left( {{\left( \frac{1}{2} \right)}^{\frac{1}{20}}} \right)}^{x}},\text{  }\frac{1}{16}={{\left( \frac{1}{2} \right)}^{\frac{x}{20}}},\text{      }{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{4}}={{\left( \frac{1}{2} \right)}^{\frac{x}{20}}}, \]
\[ \frac{x}{20}=4,\text{    }x=80. \]
Ответ: через 80 мин.