Решение.
Для цепи применим правила Кирхгофа:
Первое правило – сумма токов, подходящих к узлу, равна сумме токов, выходящих из узла.
Второе правило – в любом замкнутом контуре сложной цепи сумма действующих ЭДС равна сумме падений напряжения на сопротивлениях этого контура, причем электродвижущие силы берем со знаком плюс если они повышают потенциал по направлению обхода (переходим от минуса к плюсу), и со знаком минус, если понижают.
Составим уравнения (рис).
I1 + I2 = I (1).
E 2 = I∙R + I2∙r2 (2).
E 1 = I∙R + I1∙r1 (3).
Из (3) выразим I1, из (2) выразим I2, подставим I1 и I1 в (1) выразим I:\[ \begin{align}
& {{I}_{1}}=\frac{{{\xi }_{1}}-R\cdot I}{{{r}_{1}}}\ \ \ (4),\ {{I}_{2}}=\frac{{{\xi }_{2}}-R\cdot I}{{{r}_{2}}}\ \ \ (5), \\
& \ I={{I}_{1}}+{{I}_{2}},\ I=\frac{{{\xi }_{1}}-R\cdot I}{{{r}_{1}}}+\frac{{{\xi }_{2}}-R\cdot I}{{{r}_{2}}},\ I=\frac{{{\xi }_{1}}}{{{r}_{1}}}-\frac{R\cdot I}{{{r}_{1}}}+\frac{{{\xi }_{2}}}{{{r}_{2}}}-\frac{R\cdot I}{{{r}_{2}}}, \\
& I+\frac{R\cdot I}{{{r}_{1}}}+\frac{R\cdot I}{{{r}_{2}}}=\frac{{{\xi }_{1}}}{{{r}_{1}}}+\frac{{{\xi }_{2}}}{{{r}_{2}}},\ I=\frac{\frac{{{\xi }_{1}}}{{{r}_{1}}}+\frac{{{\xi }_{2}}}{{{r}_{2}}}}{1+\frac{R}{{{r}_{1}}}+\frac{R}{{{r}_{3}}}}\ \ \ (6). \\
\end{align} \]
I = 1,025 А.
Подставим I2 в (4) и (5) найдем токи I1 и I2.
I1 = 1,125 А, I2 = -0,1 А, (Ток течет против выбранного нами направления).
Напряжение на сопротивлении определим используя закон Ома.
U = I∙R (7).
U = 4,1 В.
Ответ: I1 = 1,125 А, I2 = 0,1 А, I = 1,025 А, U = 4,1 В.