Форум сайта alsak.ru

Задачи и вопросы по физике => Механика => Энергия => : Антон Огурцевич 10 January 2015, 22:48

: найти высоту, на которую поднимается тело
: Антон Огурцевич 10 January 2015, 22:48
Телу сообщили на полюсе Земли скорость υ0, направленную вертикально вверх. Зная радиус Земли и ускорение свободного падения на её поверхности, найти высоту, на которую поднимается тело. Сделать рисунок.
: Re: найти высоту, на которую поднимается тело
: Сергей 11 January 2015, 11:53
Решение.
Для решения задачи используем закон сохранения энергии, за нулевой уровень примем пункт который находится на бесконечно большом расстоянии от Земли, энергия гравитационного взаимодействия при таком выборе начала отсчета всегда отрицательна, покажем рисунок:
Ек1 + (-Еп1 )= Ек2 + (-Еп2 )  (1).
\[ \begin{align}
  & \frac{m\cdot \upsilon _{0}^{2}}{2}+(-\frac{G\cdot M\cdot m\cdot R}{{{R}^{2}}})=\frac{m\cdot \upsilon _{{}}^{2}}{2}+(-\frac{G\cdot M\cdot m\cdot (R+h)}{{{(R+h)}^{2}}}), \\
 & \frac{m\cdot \upsilon _{0}^{2}}{2}-\frac{G\cdot M\cdot m}{R}=\frac{m\cdot \upsilon _{{}}^{2}}{2}-\frac{G\cdot M\cdot m}{R+h}, \\
 & \frac{\upsilon _{0}^{2}}{2}-\frac{G\cdot M}{R}=-\frac{G\cdot M}{R+h}\ \ \ (2). \\
\end{align} \]
Где: G = 6,67∙10-11 Н∙м2/кг2, G – гравитационная постоянная, g = 10 м/с2, R – радиус Земли, R = 6,4∙106 м.
Массу Земли определим по формуле:
\[ g=\frac{G\cdot M}{{{R}^{2}}},\ M=\frac{g\cdot {{R}^{2}}}{G}\ \ \ (3). \]
Из (2) выразим высоту и подставим в (2) (3):
\[ \begin{align}
  & \frac{G\cdot M}{R+h}=\frac{G\cdot M}{R}-\frac{\upsilon _{0}^{2}}{2},\ \frac{1}{R+h}=\frac{1}{R}-\frac{\upsilon _{0}^{2}}{2\cdot G\cdot M}, \\
 & \frac{1}{R+h}=\frac{1}{R}-\frac{\upsilon _{0}^{2}}{2\cdot G\cdot \frac{g\cdot {{R}^{2}}}{G}},\ R+h=\frac{1}{\frac{1}{R}-\frac{\upsilon _{0}^{2}}{2\cdot g\cdot {{R}^{2}}}}, \\
 & h=\frac{2\cdot g\cdot {{R}^{2}}}{2\cdot g\cdot R-\upsilon _{0}^{2}}-R,\ h=\frac{\upsilon _{0}^{2}\cdot R}{2\cdot g\cdot R-\upsilon _{0}^{2}}. \\
\end{align} \]