Решение.
Амплитуда затухающих колебаний изменяется по закону:\[ {{A}_{1}}={{A}_{0}}\cdot {{e}^{-\beta \cdot {{\tau }_{1}}}}\ \ \ (1). \]
Из формулы (1) найдем коэффициент затухания β:
\[ \beta =-\frac{1}{{{\tau }_{1}}}\cdot \ln \frac{{{A}_{1}}}{{{A}_{0}}}\ \ \ (2),\ \frac{{{A}_{1}}}{{{A}_{0}}}=5. \]
По условию задачи известно:\[ \frac{{{A}_{2}}}{{{A}_{0}}}=e\ \ \ (3). \]
Определим время τ2:\[ {{A}_{2}}={{A}_{0}}\cdot {{e}^{-\beta \cdot {{\tau }_{2}}}},\ {{\tau }_{2}}=\frac{{{\tau }_{1}}\cdot \ln \frac{{{A}_{2}}}{{{A}_{0}}}}{\ln \frac{{{A}_{1}}}{{{A}_{0}}}}, \]
τ2 = 10 с.
Ответ: 10 с.