Форум сайта alsak.ru
Задачи и вопросы по физике => Кинематика => Механика => Уравнения движения. Графики => : Антон Огурцевич 18 October 2014, 20:59
-
Зависимость пройденного пути от времени некоторого тела задается уравнением : S=At+Bt2+Ct3 +Dt3. Через какое время, после начала движения, ускорение тела будет равно 1 м/c2 ? Чему равно среднее ускорение тела за этот промежуток времени, если С =0 м/c2 , D=0,2 м/c3?
-
Скорее всего в условии опечатка. Уравнение зависимости пройденного пути от времени некоторого тела должно иметь вид:
S = A + B∙t + C∙t2 + D∙t3.
(об этом говорит коэффициент C = 0 м/с2)
таким образом решение задачи следующее
-
Решение: мгновенная скорость и ускорение тела соответственно:
\[ \begin{align}
& \upsilon =\frac{dS}{dt},\text{ }a=\frac{d\upsilon }{dt}=\frac{{{\partial }^{2}}S}{\partial {{t}^{2}}}, \\
& \upsilon =\frac{d(A+B\cdot t+C\cdot {{t}^{2}}+D\cdot {{t}^{3}})}{dt}=B+2C\cdot t+3D\cdot {{t}^{2}}, \\
& a=\frac{d\left( B+2C\cdot t+3D\cdot {{t}^{2}} \right)}{dt}=2C+6D\cdot t. \\
\end{align} \]
Таким образом, искомое время, когда ускорение a = 1 м/с2 будет равно:
\[ t=\frac{a-2C}{6D}. \]
t = 0,83 c (по данным задачи если С = 0 м/c2, D = 0,2 м/c3).
Среднее ускорение равно изменению скорости Δυ = υ2 – υ1, ко времени, за которое скорость изменилась Δt = t2 - t1. Здесь t2 = t = 0,83 с, t1 = 0. Таким образом, для среднего ускорения получим
\[ \begin{align}
& {{\upsilon }_{2}}=B+2C\cdot {{t}_{2}}+3D\cdot t_{2}^{2},\text{ }{{\upsilon }_{1}}=B+2C\cdot {{t}_{1}}+3D\cdot t_{1}^{2}, \\
& \bar{a}=\frac{{{\upsilon }_{2}}-{{\upsilon }_{1}}}{{{t}_{2}}-{{t}_{1}}}=\frac{\left( B+2C\cdot {{t}_{2}}+3D\cdot t_{2}^{2} \right)-\left( B+2C\cdot {{t}_{1}}+3D\cdot t_{1}^{2} \right)}{\left( {{t}_{2}}-{{t}_{1}} \right)}, \\
& \bar{a}=\frac{2C\cdot \left( {{t}_{2}}-{{t}_{1}} \right)+3D\cdot \left( t_{2}^{2}-t_{1}^{2} \right)}{\left( {{t}_{2}}-{{t}_{1}} \right)}=2C+3D\cdot \left( {{t}_{2}}+{{t}_{1}} \right). \\
\end{align} \]
Таким образом среднее ускорение тела равно 0,5 м/с2.