Форум сайта alsak.ru

Задачи и вопросы по физике => Электростатика => Электродинамика => Работа поля. Напряжение => : Антон Огурцевич 30 May 2014, 19:48

: Металлический шар радиусом
: Антон Огурцевич 30 May 2014, 19:48

Металлический шар радиусом  R = 5 см, несущий заряд  q = 5 нКл, окружен толстостенным металлическим шаром с внутренним радиусом  R₁ = 7 см  и наружным -  R₂ = 9 см. Заряд внешнего шара равен нулю. Найти напряженность  и потенциал электростатического поля на расстояниях:
1) r₁ = 3см, 
2) r₂ = 6 см,
3) r₃ = 8 см,
4) r₄ = 10 см от центра шаров.
Построить графики качественных зависимостей  E(r) и φ(r).

: Re: Металлический шар радиусом
: Виктор 07 June 2014, 07:15

Решение: металлический шар в центре обладает зарядом, который будет равномерно распределён по его поверхности. При этом на внутренней и внешней поверхностях толстостенного шара, окружающего металлический шарик в центре появятся индуцированные заряды, благодаря которым напряжённость результирующего поля в толще оболочки (толстостенного шара) станет равной нулю. Так как q > 0, то на внутренней поверхности оболочки индуцируется отрицательный заряд   q₁ = – q  , а на внешней поверхности оболочки появится индуцированный заряд   q₂ = – q₁ = q.   Поле в любой точке пространства создаётся каждым из трёх зарядов (см. рис.). Для определения напряжённости воспользуемся теоремой Остроградского-Гаусса: поток вектора напряженности электрического поля через замкнутую поверхность пропорционален заряду, заключенному в ней:
\[ \oint _{S}\vec{E}\cdot d\vec{S} =\frac{1}{\varepsilon _{0}} \cdot Q. \]
Поверхность – сфера, радиуса r_i. Тогда для случаев в задаче
\[ \begin{array}{l} {r_{1} <R:{\rm \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; }E_{1} \cdot 4\pi \cdot r_{1}^{2} =\frac{0}{\varepsilon _{0}},{\rm \; \; \; \; }E_{1} =0;} \\ {R{\rm <\; }r_{2} <R_{1} :{\rm \; \; \; \; }E_{2} \cdot 4\pi \cdot r_{2}^{2} =\frac{q}{\varepsilon _{0}},{\rm \; \; \; \; }E_{2} =\frac{q}{4\pi \cdot \varepsilon _{0} \cdot r_{2}^{2}} ;} \\ {R_{1} {\rm <\; }r_{3} <R_{2} :{\rm \; \; \; }E_{3} \cdot 4\pi \cdot r_{3}^{2} =\frac{q_{1} +q}{\varepsilon _{0}} =\frac{-q+q}{\varepsilon _{0}},{\rm \; \; \; \; }E_{3} =0;} \\ {r_{4} >R_{2} {\rm :\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; }E_{4} \cdot 4\pi \cdot r_{4}^{2} =\frac{q+q_{1} +q_{2} }{\varepsilon _{0} } =\frac{q-q+q}{\varepsilon _{0}},{\rm \; \; \; \; }E_{4} =\frac{q}{4\pi \cdot \varepsilon _{0} \cdot r_{4}^{2}}.} \end{array} \]
Ответ: E₁ = 0 кВ/м, E₂ = 12,5 кВ/м, E₃ = 0 кВ/м, E₄ = 4,5 кВ/м.
Потенциал внутри проводника (проводящей сферы) в любой точке одинаков и равен потенциалу на поверхности, вне сферы – рассчитывается как потенциал точечного заряда (r – расстояние от центра). Потенциал системы определим по принципу суперпозиции
\[ \begin{array}{l} {r_{1} <R:{\rm \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; }\varphi _{1} =\frac{q}{4\pi \cdot \varepsilon _{0} \cdot R} +\frac{q_{1} }{4\pi \cdot \varepsilon _{0} \cdot R_{1}} +\frac{q_{2}}{4\pi \cdot \varepsilon _{0} \cdot R_{2}} =\frac{q}{4\pi \cdot \varepsilon _{0}} \cdot \left(\frac{1}{R} -\frac{1}{R_{1}} +\frac{1}{R_{2}} \right);} \\ {R<r_{2} <R_{1} :{\rm \; \; \; \; }\varphi _{2} =\frac{q}{4\pi \cdot \varepsilon _{0} \cdot r_{2}} +\frac{q_{1}}{4\pi \cdot \varepsilon _{0} \cdot R_{1}} +\frac{q_{2} }{4\pi \cdot \varepsilon _{0} \cdot R_{2}} =\frac{q}{4\pi \cdot \varepsilon _{0}} \cdot \left(\frac{1}{r_{2}} -\frac{1}{R_{1}} +\frac{1}{R_{2}} \right);{\rm \; }} \\ {R_{1} <r_{3} <R_{2} :{\rm \; \; \; }\varphi _{3} =\frac{q}{4\pi \cdot \varepsilon _{0} \cdot r_{3}} +\frac{q_{1}}{4\pi \cdot \varepsilon _{0} \cdot r_{3} } +\frac{q_{2} }{4\pi \cdot \varepsilon _{0} \cdot R_{2} } =\frac{q}{4\pi \cdot \varepsilon _{0} \cdot R_{2}} ;} \\ {r_{4} >R_{2} :{\rm \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; }\varphi _{4} =\frac{q}{4\pi \cdot \varepsilon _{0} \cdot r_{4}} +\frac{q_{1}}{4\pi \cdot \varepsilon _{0} \cdot r_{4}} +\frac{q_{2} }{4\pi \cdot \varepsilon _{0} \cdot r_{4}} .=\frac{q}{4\pi \cdot \varepsilon _{0} \cdot r_{4}}.} \end{array} \]
Ответ: φ₁ = 757,1 В, φ₂ = 607,1 В, φ₃ = 500 В, φ₄ = 450 В.
При построении графиков качественных зависимостей Er(r) и φ(r), учтём, что значение напряжённости обратно пропорционально квадрату расстояния, а потенциал обратно пропорционален расстоянию. Таким образом, гиперболы у напряжённости более крутые вначале. Напряжённость поля внутри металла равна нулю, потенциал постоянен и с учётом вышеизложенного -  см. рис.