Форум сайта alsak.ru
Задачи и вопросы по физике => Постоянный ток => Электродинамика => вузовская => : Антон Огурцевич 15 May 2014, 03:44
-
За время τ= 10 с при равномерно возрастающей силе тока от нуля до некоторого максимума в проводнике выделилось количество теплоты Q = 40 кДж. Определить среднюю силу тока <I> в проводнике, если его сопротивление R = 25 Ом.
-
Решение: элементарное количество теплоты dQ, выделившееся в проводнике за время dt, равно
\[ dQ=I^{2} \cdot R\cdot dt, \]
Здесь I сила тока. По условию задачи, ток равномерно возрастает, т.е. линейно зависит от времени
\[ \begin{array}{l} {I=k\cdot t+I_{0} =k\cdot t,} \\ {k=\frac{I_{\max } +I_{0} }{\tau } =\frac{I_{\max }}{\tau }.} \end{array} \]
Здесь τ = 10 с, Imax – значение силы тока через время τ, I0 = 0 – начальное значение силы тока, k – коэффициент пропорциональности. Полное количество теплоты Q найдём интегрированием
\[ \begin{array}{l} {Q=\int dQ=\int _{0}^{\tau }k^{2} \cdot R\cdot t^{2} dt =k^{2} \cdot R\cdot \int _{0}^{\tau }t^{2} dt =k^{2} \cdot R\cdot \frac{\tau ^{3} }{3},} \\ {Q=\left(\frac{I_{\max }}{\tau } \right)^{2} \cdot R\cdot \frac{\tau ^{3} }{3} =\frac{1}{3} \cdot I_{\max }^{2} \cdot R\cdot \tau ,} \\ {I_{\max } =\sqrt{\frac{3\cdot Q}{R\cdot \tau }}.} \end{array} \]
Среднее значение силы тока в проводнике при равномерном (линейном) изменении тока найдём как среднее арифметическое значение
\[ \begin{array}{l} {\left\langle I\right\rangle =\frac{I_{\max } +I_{0}}{2} =\frac{I_{\max }}{2} ,} \\ {\left\langle I\right\rangle =\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{3\cdot Q}{R\cdot \tau }}.} \end{array} \]
Ответ: 10,95 А ≈ 11 А.