Форум сайта alsak.ru
Задачи и вопросы по физике => Механика => Динамика твердых тел => : Антон Огурцевич 04 May 2014, 19:14
-
Горизонтальная платформа, представляющая собой диск массой m1 и радиусом R вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через центр масс платформы делая n оборотов в секунду. Человек массой m2 прошел от центра платформы к ее краю. Какую работу совершил человек?
-
Решение: Система «человек–платформа» замкнута в проекции на вертикальную ось. Следовательно, можно воспользоваться законом сохранения момента импульса.
\[ j_{1} \omega _{1} =j_{2} \omega _{2}, \]
где j1 — момент инерции платформы с человеком, стоящим на ее краю, j2 — момент инерции платформы с человеком, стоящим в центре, ω1 и ω2 — угловые скорости платформы в обоих случаях. Здесь
\[ j_{1} =\frac{1}{2} m_{1} R^{2} +m_{2} R^{2} ,{\rm \; \; \; \; }j_{2} =\frac{1}{2} m_{1} R^{2} ,{\rm \; \; \; \; }\omega _{1} =2\pi \cdot n. \]
Таким образом, подставляя
\[ \begin{array}{l} {\left(\frac{1}{2} m_{1} R^{2} +m_{2} R^{2} \right)\cdot 2\pi \cdot n=\frac{1}{2} m_{1} R^{2} \cdot \omega _{2} ,} \\ {\omega _{2} =\frac{\left(m_{1} +2m_{2} \right)}{m_{1} } \cdot 2\pi \cdot n.} \end{array} \]
Работа, совершённая человеком, равна разности кинетических энергий вращательно движения системы, т.е.
\[ \begin{array}{l} {A=T_{2} -T_{1} =\frac{j_{2} \omega _{2}^{2}}{2} -\frac{j_{1} \omega _{1}^{2}}{2},} \\ {A=\frac{1}{2} \left(\frac{1}{2} m_{1} R^{2} \cdot \left(\frac{m_{1} +2m_{2} }{m_{1}} \right)^{2} \cdot 4\pi ^{2} \cdot n^{2} -\left(\frac{1}{2} m_{1} R^{2} +m_{2} R^{2} \right)\cdot 4\pi ^{2} \cdot n^{2} \right),} \\ {A=\pi ^{2} \cdot n^{2} \cdot R^{2} \cdot \left(m_{1} +2m_{2} \right)\cdot \left(\frac{m_{1} +2m_{2}}{m_{1}} -1\right).} \end{array} \]