Форум сайта alsak.ru

Задачи и вопросы по физике => Капельян Пособие для подготовки к ЦТ 2011 => Тема начата: Сергей от 07 Январь 2014, 16:48

Название: 3. Движение по окружности. Криволинейное движение
Отправлено: Сергей от 07 Январь 2014, 16:48
Решения задач из книги:
Капельян, С.Н. Физика: пособие для подготовки к централизованному тестированию /С.Н. Капельян, В.А. Малышонок. — Минск: Аверсэв, 2011. — 480 с.

3. Движение по окружности. Криволинейное движение

Тест А1
1 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10904.msg41102.html#msg41102) 2 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10904.msg41103.html#msg41103) 3 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10904.msg41104.html#msg41104) 4 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10904.msg41105.html#msg41105) 5 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10904.msg41106.html#msg41106) 6 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10904.msg41107.html#msg41107) 7 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10904.msg41108.html#msg41108) 8 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10904.msg41109.html#msg41109) 9 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10904.msg41110.html#msg41110) 10 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10904.msg41111.html#msg41111)

Тест А2
1 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10904.msg41124.html#msg41124) 2 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10904.msg41125.html#msg41125) 3 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10904.msg41126.html#msg41126) 4 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10904.msg41127.html#msg41127) 5 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10904.msg41128.html#msg41128) 6 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10904.msg41129.html#msg41129) 7 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10904.msg41130.html#msg41130) 8 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10904.msg41131.html#msg41131) 9 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10904.msg41132.html#msg41132) 10 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10904.msg41133.html#msg41133)

Тест В1
1 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10904.msg41202.html#msg41202) 2 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10904.msg41203.html#msg41203) 3 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10904.msg41204.html#msg41204) 4 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10904.msg41205.html#msg41205) 5 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10904.msg41206.html#msg41206) 6 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10904.msg41207.html#msg41207) 7 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10904.msg41208.html#msg41208) 8 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10904.msg41209.html#msg41209) 9 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10904.msg41210.html#msg41210) 10 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10904.msg41211.html#msg41211)

Тест В2
1 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10904.msg41224.html#msg41224) 2 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10904.msg41225.html#msg41225) 3 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10904.msg41226.html#msg41226) 4 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10904.msg41227.html#msg41227) 5 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10904.msg41228.html#msg41228) 6 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10904.msg41229.html#msg41229) 7 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10904.msg41230.html#msg41230) 8 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10904.msg41231.html#msg41231) 9 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10904.msg41232.html#msg41232) 10 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10904.msg41233.html#msg41233)
Название: Re: 3. Движение по окружности. Криволинейное движение.
Отправлено: Сергей от 08 Январь 2014, 12:51
А1.1 Плоский горизонтальный диск вращается относительно вертикальной оси, проходящей через его центр. Какие из параметров, характеризующих вращение диска, одинаковы для любых двух точек диска?
а) Период;   б) частота;   в) линейная скорость;   г) угловая скорость;   д) центростремительное ускорение.
1) а, в;   2) б, г;   3) а, б, д;   4) б, г, д;   5) а, б, г.

Решение. Период – физическая величина, численно равная промежутку времени, за который точка совершает один оборот. Частота – физическая величина, численно равная числу оборотов, совершаемых точкой за единицу времени. Угловая скорость – физическая величина, численно равная отношению угла поворота радиус-вектора к промежутку времени, за который совершен этот поворот.  Линейная скорость – это мгновенная скорость движения тела по окружности. Она численно равна отношению длины дуги окружности, описанной точкой, к промежутку времени, за который описана эта дуга. υ = l/Δt = ω·R. Центростремительное ускорение – мгновенное ускорение направленное по радиусу к центру окружности. Его модуль можно рассчитать как a = υ2/R. Очевидно, что для любых двух точек диска одинаковы период, частота и угловая скорость.
Ответ: 5) а, б, г.
Название: Re: 3. Движение по окружности. Криволинейное движение.
Отправлено: Сергей от 08 Январь 2014, 12:53
А1.2 Автомобиль движется без проскальзывания со скоростью, модуль которой υ = 108 км/ч. Если внешний диаметр покрышек колес автомобиля d = 60,0 см, то количество оборотов, которое совершит каждое колесо за время t = 6,28 с, составит:
1) 10,0;   2) 20,0;   3) 50,0;   4) 100;   5) 200.

Решение. Линейная скорость движения внешних точек покрышки колеса равна скорости движения автомобиля (смотри задачу А2.8 равномерное прямолинейное движение). Частота – физическая величина, численно равная числу оборотов, совершаемых точкой за единицу времени. Пусть N – число оборотов. Тогда
 \[ N=\nu \cdot t=\frac{\omega }{2\cdot \pi }\cdot t=\frac{\frac{\upsilon }{r}}{2\cdot \pi }\cdot t=\frac{\upsilon \cdot t}{2\cdot \pi \cdot r} \]
Ответ: 100
Название: Re: 3. Движение по окружности. Криволинейное движение.
Отправлено: Сергей от 08 Январь 2014, 12:56
А1.3 При равномерном движении по окружности тело проходит путь s = 5,0 м за время t = 2,0 с. Если период обращения Т = 5,0 с, то модуль центростремительного ускорения, с которым движется тело, составляет:
1) 6,3 м/с2;   2)4,8 м/с2;   3) 3,1 м/с2;   4) 2,4 м/с2;   5) 1,6 м/с2.

Решение. Центростремительное ускорение можно рассчитать, воспользовавшись формулой
 \[ a=\frac{4\cdot {{\pi }^{2}}\cdot R}{{{T}^{2}}}\,\,\,(1) \]
Линейная скорость – это мгновенная скорость движения тела по окружности. Она численно равна отношению длины дуги окружности, описанной точкой, к промежутку времени, за который описана эта дуга.
 \[ \begin{align}
  & \upsilon =\frac{s}{t}=\omega \cdot R=\frac{2\cdot \pi }{T}\cdot R; \\
 & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,R=\frac{s\cdot T}{2\cdot \pi \cdot t} \\
\end{align}
 \]
Подставим полученное выражение для радиуса в (1)
 \[ a=\frac{4\cdot {{\pi }^{2}}}{{{T}^{2}}}\cdot \frac{s\cdot T}{2\cdot \pi \cdot t}=\frac{2\cdot \pi \cdot s}{T\cdot t} \]
ответ: 3) 3,1 м/с2
Название: Re: 3. Движение по окружности. Криволинейное движение.
Отправлено: Сергей от 08 Январь 2014, 12:58
А1.4 Модуль линейной скорости точки, движущейся по окружности с угловой скоростью ω = 8,0 рад/с, υ = 4,0 м/с. Модуль центростремительного ускорения точки равен:
1) 0;   2) 0,25 м/с2;      3) 32 м/с2;   4) 80 м/с2;   5) 0,12 км/с2

Решение. Модуль центростремительного ускорения равен
 \[ a=\frac{{{\upsilon }^{2}}}{R} \]
Линейная и угловая скорости связаны соотношением
υ = ω·R.
Выразим радиус R и подставим в первое уравнение.
 \[ a=\frac{{{\upsilon }^{2}}}{\frac{\upsilon }{\omega }}=\upsilon \cdot \omega  \]
Ответ: 3) 32 м/с2
Название: Re: 3. Движение по окружности. Криволинейное движение.
Отправлено: Сергей от 08 Январь 2014, 13:01
А1.5 Два диска радиусами R1, и R2 = 4R1, соединены ременной передачей (рис. 3.3). Если период вращения первого диска Т1 = 1,0 с, то угловая скорость второго диска равна:
1) 0,50 рад/с;   2) 0,5π рад/с;    3) 2,0 рад/с;      4) π рад/с;   5) 2π рад/с.

Решение. При соединении дисков ременной передачей у них будет одинаковая линейная скорость. Тогда
ω1·R1 = ω2·R2
\[ \frac{2\cdot \pi }{{{T}_{1}}}=4\cdot {{\omega }_{2}};\,\,\,\,{{\omega }_{2}}=\frac{2\cdot \pi }{4\cdot {{T}_{1}}} \]
Ответ: 2) 0,5π рад/с
Название: Re: 3. Движение по окружности. Криволинейное движение.
Отправлено: Сергей от 08 Январь 2014, 13:06
А1.6 Чтобы дальность полета тела, брошенного под углом к горизонту, была вдвое больше его максимальной высоты подъема, тело необходимо бросить под углом:
1) 45°;   2) 48°;   3) 54°;   4) 58°;   5) 63°

Решение. Выберем систему координат с началом в точке бросания тела. Ось Оу направим вертикально вверх, ось Ох вертикально в сторону, куда брошено тело. В этой системе координат движение тела представляет собой результат сложения равномерного движения вдоль оси ОХ и равноускоренного движения вдоль оси Оу. Выпишем начальные условия: х0 = 0, у0 = 0, υ = υ0·cosα, υ0y = υ0·sinα, ax = 0, ay = -g. Зависимости проекций скорости и координаты от времени выразятся уравнениями
 \[ \begin{align}
  & \,\,\,\,\,\,\,\,{{\upsilon }_{x}}={{\upsilon }_{0}}\cdot \cos \alpha \,\,(1);\,\,\,\,\,\,{{\upsilon }_{y}}={{\upsilon }_{0}}\cdot \sin \alpha -g\cdot t\,\,(2); \\
 & x=\left( {{\upsilon }_{0}}\cdot \cos \alpha  \right)\cdot t\,\,(3);\,\,\,\,\,y=\left( {{\upsilon }_{0}}\cdot \sin \alpha  \right)\cdot t-\frac{g\cdot {{t}^{2}}}{2}\,\,(4) \\
\end{align}
 \]
В момент падения тела у= 0. Тогда на основании (4) найдем время полета
 \[ t=\frac{2\cdot {{\upsilon }_{0}}\cdot \sin \alpha }{g} \]
Найдем дальность полета  из уравнения (3), подставив в него уравнение для времени полета. Учтем, что в момент падения х = s
 \[ s=\frac{\upsilon _{0}^{2}\cdot \sin 2\alpha }{g}\,\,\,(5) \]
Время подъема t1 до максимальной высоты найдем из (2), учитывая, что в верхней точке υ = 0 и подставим его в уравнение (4)
 \[ {{t}_{1}}=\frac{{{\upsilon }_{0}}\cdot \sin \alpha }{g};\,\,\,\,H=\frac{\upsilon _{0}^{2}\cdot {{\sin }^{2}}\alpha }{2\cdot g} \]
По условию задачи s = 2H. Тогда
 \[ \begin{align}
  & \frac{\upsilon _{0}^{2}\cdot \sin 2\alpha }{g}=\frac{2\cdot \upsilon _{0}^{2}\cdot {{\sin }^{2}}\alpha }{2\cdot g}; \\
 & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\sin 2\alpha ={{\sin }^{2}}\alpha ; \\
 & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,tg\alpha =2 \\
\end{align}
 \]
Ответ: 5) 63°
Название: Re: 3. Движение по окружности. Криволинейное движение.
Отправлено: Сергей от 08 Январь 2014, 13:08
А1.7 Чтобы дальность полета тела, брошенного под углом к горизонту, была максимальной, тело необходимо бросить под углом:
1) 30°;   2) 45°;   3) 60°;   4) 75°;   5) 80°.

Решение. Дальность полета тела равна (смотри задачу А1.6)
 \[ s=\frac{\upsilon _{0}^{2}\cdot \sin 2\alpha }{g}\, \]
При заданной начальной скорости υ0 дальность полета будет максимальной при sin2α = 1, т.е α = 45°

ответ 2) 45°
Название: Re: 3. Движение по окружности. Криволинейное движение.
Отправлено: Сергей от 08 Январь 2014, 13:11
А1.8 Тело брошено под углом α = 30° к горизонту с начальной скоростью, модуль которой υ0 = 10 м/с. Через время t = 1,0 с после начала движения модуль скорости тела составит:
1) 2,5 м/с;   2) 4,0 м/с;   3) 6,7 м/с;   4) 10 м/с;   5) 20 м/с.

Решение.  Выберем систему координат с началом в точке бросания тела. Ось Оу направим вертикально вверх, ось Ох вертикально в сторону, куда брошено тело. В этой системе координат движение тела представляет собой результат сложения равномерного движения вдоль оси ОХ и равноускоренного движения вдоль оси Оу. Выпишем начальные условия: х0 = 0, у0 = 0, υ = υ0·cosα, υ0y = υ0·sinα, ax = 0, ay = -g. Зависимости проекций скорости от времени выразится уравнениями
 \[ {{\upsilon }_{x}}={{\upsilon }_{0}}\cdot \cos \alpha ;\,\,\,\,\,\,{{\upsilon }_{y}}={{\upsilon }_{0}}\cdot \sin \alpha -g\cdot t; \]
Определим модуль скорости
 \[ \upsilon =\sqrt{\upsilon _{x}^{2}+\upsilon _{y}^{2}}=\sqrt{\upsilon _{0}^{2}\cdot {{\cos }^{2}}\alpha +{{\left( {{\upsilon }_{0}}\cdot \sin \alpha -g\cdot t \right)}^{2}}}=\sqrt{\upsilon _{0}^{2}-2\cdot {{\upsilon }_{0}}\cdot g\cdot t\cdot \sin \alpha +{{g}^{2}}\cdot {{t}^{2}}} \]
Ответ: 4) 10 м/с
Название: Re: 3. Движение по окружности. Криволинейное движение.
Отправлено: Сергей от 08 Январь 2014, 13:12
А1.9 Снаряд, вылетевший из пушки с начальной скоростью, модуль которой υ0 = 300 м/с, разорвался в верхней точке траектории. Если пушка стреляла под углом α = 30°, то время полета снаряда составило:
1) 30 с;   2) 26 с;   3) 21 с;   4) .15 с;   5) 12 с.

Решение. Время подъема до верхней точки траектории равно (смотри задачу А1.6)
 \[ {{t}_{1}}=\frac{{{\upsilon }_{0}}\cdot \sin \alpha }{g} \]
Ответ: 4) 15 с
Название: Re: 3. Движение по окружности. Криволинейное движение.
Отправлено: Сергей от 08 Январь 2014, 13:22
А1.10 Два тела брошены под углом α1 = α и α2 =(90-α) к горизонту с одинаковым модулем начальной скорости. Отношение максимальных высот подъема тел составит:
1) sin2α;   2) sinα    3) cosα;   4) tg2α;   5) tgα
Решение. Максимальная высота полета равна (смотри задачу А1.6)
 \[ H=\frac{\upsilon _{0}^{2}\cdot {{\sin }^{2}}\alpha }{2\cdot g} \]
Отношение максимальных высот подъема
 \[ \frac{{{h}_{1}}}{{{h}_{2}}}=\frac{\upsilon _{0}^{2}\cdot {{\sin }^{2}}{{\alpha }_{1}}}{2\cdot g}\cdot \frac{2\cdot g}{\upsilon _{0}^{2}\cdot {{\sin }^{2}}{{\alpha }_{2}}}=\frac{{{\sin }^{2}}\alpha }{{{\sin }^{2}}(90-\alpha )}=\frac{{{\sin }^{2}}\alpha }{{{\cos }^{2}}\alpha }=t{{g}^{2}}\alpha  \]
Ответ: 4) tg2α
Название: Re: 3. Движение по окружности. Криволинейное движение
Отправлено: Сергей от 14 Январь 2014, 22:01
А2.1 Модуль линейной скорости точек обода вращающегося диска υ1 = 400 см/с, а точек, расположенных на Δr = 5,00 см ближе к оси вращения, — υ2 = 200 см/с. Количество оборотов, совершаемое диском в минуту, равно:
1) 2.60;   2) 3,20;   3) 96,0;   4) 190;   5) 382.

Решение. Частота вращения каждой точки диска одинакова и равна
 \[ \nu =\frac{\omega }{2\cdot \pi }=\frac{{{\upsilon }_{1}}}{2\cdot \pi \cdot r}\,\,(1) \]
где  r – радиус диска. Угловая (одинакова для всех точек диска) и линейные скорости связаны следующими соотношениями
υ1=ω·r;   υ2=ω·(r-Δr)
\[ r=\frac{{{\upsilon }_{1}}\cdot \Delta r}{{{\upsilon }_{1}}-{{\upsilon }_{2}}} \]
Подставим полученное выражение в (1)
 \[ \nu =\frac{{{\upsilon }_{1}}}{2\cdot \pi \cdot \frac{{{\upsilon }_{1}}\cdot \Delta r}{{{\upsilon }_{1}}-{{\upsilon }_{2}}}}=\frac{{{\upsilon }_{1}}-{{\upsilon }_{2}}}{2\cdot \pi \cdot \Delta r} \]
ν=6,37 с-1. Количество оборотов N за время t = 1мин = 60 с
N = ν·t = 382
Ответ: 5) 382
Название: Re: 3. Движение по окружности. Криволинейное движение
Отправлено: Сергей от 14 Январь 2014, 22:05
А2.2 Минутная стрелка часов в п = 3 раза длиннее часовой. Модуль линейной скорости минутной стрелки больше модуля линейной скорости часовой:
1) в 72 раза;   2) в 36 раз;   3) в 20 раз;   4) в 18 раз;   5) в 4 раза.

Решение. Путь r1 – длина часовой стрелки, r2 – длина минутной стрелки. По условию задачи r2 = n· r1. Запишем отношение линейных скоростей минутной и часовой стрелок
 \[ \frac{{{\upsilon }_{2}}}{{{\upsilon }_{1}}}=\frac{{{\omega }_{2}}\cdot {{r}_{2}}}{{{\omega }_{1}}\cdot {{r}_{1}}}=\frac{{{\omega }_{2}}\cdot n\cdot {{r}_{1}}}{{{\omega }_{1}}\cdot {{r}_{1}}}=\frac{{{\omega }_{2}}\cdot n}{{{\omega }_{1}}}\,\,(1) \]
Угловая скорость ω2 минутной и ω1 часовой стрелок равны соответственно
 \[ {{\omega }_{2}}=\frac{2\cdot \pi }{{{T}_{2}}};\,\,\,{{\omega }_{1}}=\frac{2\cdot \pi }{{{T}_{1}}}\,\,\,(2) \]
где Т2 = 1 час – период обращения минутной стрелки, Т1 = 12 часов – период обращения часовой стрелки. Подставим (2) в (1)
 \[ \frac{{{\upsilon }_{2}}}{{{\upsilon }_{1}}}=\frac{{{\omega }_{2}}\cdot n}{{{\omega }_{1}}}=\frac{2\cdot \pi \cdot n}{{{T}_{2}}}\cdot \frac{{{T}_{1}}}{2\cdot \pi }=\frac{n\cdot {{T}_{1}}}{{{T}_{2}}}\,\,\, \]
ответ: 2) в 36 раз
Название: Re: 3. Движение по окружности. Криволинейное движение
Отправлено: Сергей от 14 Январь 2014, 22:07
А2.3 Тело равномерно движется по окружности радиусом R = 200 см. Если период обращения тела Т = 2,0 с, то за время движения t = 3,0 с модуль перемещения тела составит:
1) 0;   2) 2,8 м;   3) 4,0 м;   4) 6,3 м;   5) 19 м.

Решение. Период вращения – физическая величина, численно равная промежутку времени, за который тело совершило полный оборот. Пускай тело начало двигаться из точки А, тогда за время t = 3,0 с тело совершит 1 полный оборот и еще половину оборота, т.е. окажется в точке В. Перемещение – вектор, соединяющий начальную и конечную точку траектории за данный промежуток времени. Как видно из рисунка, модуль перемещения
Δr = 2·R
Ответ: 3) 4,0 м
Название: Re: 3. Движение по окружности. Криволинейное движение
Отправлено: Сергей от 14 Январь 2014, 22:09
А2.4 Если период обращения точек обода колеса уменьшить в п = 3 раза, то модуль центростремительного ускорения точек:
1) уменьшится в 3 раза;   2) уменьшится в 9 раз; 3) увеличится в 3 раза;
4) увеличится в 9 раз;   5) не изменится.

Решение. Путь Т1 – первоначальный период обращения точек обода колеса. Т2 – период уменьшенный в n раз. Т1 = n·Т2
 \[ \frac{{{a}_{2}}}{{{a}_{1}}}=\frac{4\cdot {{\pi }^{2}}\cdot R}{T_{2}^{2}}\cdot \frac{T_{1}^{2}}{4\cdot {{\pi }^{2}}\cdot R}=\frac{T_{1}^{2}}{T_{2}^{2}}=\frac{{{n}^{2}}\cdot T_{2}^{2}}{T_{2}^{2}}={{n}^{2}} \]
Ответ: 4) увеличится в 9 раз
Название: Re: 3. Движение по окружности. Криволинейное движение
Отправлено: Сергей от 14 Январь 2014, 22:10
А2.5 Тело движется по окружности радиусом R = 4,0 м с постоянной по модулю скоростью. Период обращения Т = 4,0 с. Модуль средней скорости перемещения за время t = 6,0 с движения равен:
1) 2π/3 м/с;   2) 2π м/с;   3) 4/3 м/с;   4) 2/3 м/с; 5) 4π/3 м/с;

Решение. Период вращения – физическая величина, численно равная промежутку времени, за который тело совершило полный оборот. Пускай тело начало двигаться из точки А, тогда за время t = 6,0 с тело совершит 1 полный оборот и еще половину оборота, т.е. окажется в точке В. Перемещение – вектор, соединяющий начальную и конечную точку траектории за данный промежуток времени. Как видно из рисунка, модуль перемещения
Δr = 2·R. Тогда модуль средней скорости перемещения
 \[ \left\langle \upsilon  \right\rangle =\frac{\Delta r}{t}=\frac{2\cdot R}{t} \]
Ответ: 3) 4/3 м/с
Название: Re: 3. Движение по окружности. Криволинейное движение
Отправлено: Сергей от 14 Январь 2014, 22:12
А2.6 Чтобы камень, брошенный под углом α = 45° к горизонту, мог достигнуть высоты h = 2,5 м, ему нужно сообщить минимальную скорость, модуль которой равен:
1) 7,1м/с;   2) 7,6 м/с;   3) 10 м/с;   4) 22 м/с;   5) 35 м/с.

Решение. Максимальная высота подъема тела равна (смотри задачу А1.6)
 \[ h=\frac{\upsilon _{0}^{2}\cdot {{\sin }^{2}}\alpha }{2\cdot g} \]
Тогда телу нужно сообщить минимальную скорость, модуль которой равен:
 \[ {{\upsilon }_{0}}=\sqrt{\frac{2\cdot g\cdot h}{{{\sin }^{2}}\alpha }}=\frac{1}{\sin \alpha }\cdot \sqrt{2\cdot g\cdot h} \]
Ответ: 3) 10 м/с;
Название: Re: 3. Движение по окружности. Криволинейное движение
Отправлено: Сергей от 14 Январь 2014, 22:15
А2.7 С вертолета, летящего горизонтально со скоростью, модуль которой υ1 = 160 км/ч, на высоте h = 500 м сбрасывают вымпел. Встречным курсом по отношению к вертолету двигается теплоход со скоростью, модуль которой υ2 = 20,0 км/ч. Чтобы вымпел упал на теплоход, летчик должен сбросить его, когда расстояние до теплохода по горизонтали составляет:
1) 1,00 км;   2) 500 м;   3) 450 м;   4) 400 м;   5) 250 м.

Решение. Свяжем систему координат с точкой, из которой брошен вымпел. Ось Ох направим в сторону движения вертолета, а ось Оу вертикально вниз.
Движение вымпела представляет собой результат сложения двух прямолинейных движений: равномерного движения вдоль оси Ох со скоростью υot = υ12 относительно катера и равноускоренного движения вдоль оси Оу с ускорением g без начальной скорости. Тогда в момент падения вымпела на теплоход
 \[ x=l={{\upsilon }_{ot}}\cdot t;\,\,\,\,y=h=\frac{g\cdot {{t}^{2}}}{2} \]
Решим совместно эти уравнения
\[ t=\sqrt{\frac{2\cdot h}{g}};\,\,\,\,\,\,l={{\upsilon }_{ot}}\cdot \sqrt{\frac{2\cdot h}{g}} \]
Ответ: 2) 500 м;
Название: Re: 3. Движение по окружности. Криволинейное движение
Отправлено: Сергей от 14 Январь 2014, 22:19
А2.8 Камень брошен с башни со скоростью, модуль котором υ0 = 20 м/с, под углом α = 30° к горизонту. Если высота башни 15 м, то расстояние от основания башни до точки падения камня составит:
1) 52 м;   2) 46 м;   3) 34 м;   4) 26 м;5) 14 м.

Решение. Направим ось Ох вдоль поверхности Земли, ось Оу вертикально вверх, а начало координат выберем в точке бросания камня. Движение камня представляет собой результат сложения прямолинейного равномерного движения вдоль оси Ох и равноускоренного вдоль оси Оу.
 \[ \begin{align}
  & \,\,\,\,\,\,{{\upsilon }_{{{0}_{x}}}}={{\upsilon }_{0}}\cdot \cos \alpha ;\,\,\,x={{\upsilon }_{0}}\cdot \cos \alpha \cdot t; \\
 & {{\upsilon }_{{{0}_{y}}}}={{\upsilon }_{0}}\cdot \sin \alpha ;\,\,\,y={{\upsilon }_{0}}\cdot \sin \alpha \cdot t-\frac{g\cdot {{t}^{2}}}{2} \\
\end{align}
 \]
В момент падения камня y = -h. Решив квадратное уравнение, получим корень
 \[ t=\frac{{{\upsilon }_{0}}\cdot \sin \alpha +\sqrt{\upsilon _{0}^{2}\cdot {{\sin }^{2}}\alpha +2\cdot g\cdot h}}{g} \]
t = 3 c. Дальность полета камня
l = x = υ0·cosα·t = 52 м
Ответ: 1) 52 м
Название: Re: 3. Движение по окружности. Криволинейное движение
Отправлено: Сергей от 14 Январь 2014, 22:26
А2.9 Тело брошено с вышки горизонтально. Когда тело опустилось по вертикали на Δh= 20 м, его скорость оказалась направленной под углом α = 45° к горизонту. Модуль начальной скорости тела равен:
1) 36м/с;   2) 24 м/с;   3) 18м/с;   4) 20 м/с;   5) 11 м/с.

Решение. В любой точке траектории ускорение направлено вниз и остается постоянным и равным g. Применим формулу
 \[ \vec{\upsilon }={{\vec{\upsilon }}_{0}}+\vec{a}\cdot t \]
Спроецируем на оси Ох и Оу: υ0x = υ0, ax = 0, υ0y = 0, ay = g.
υу=g·t (1)
Такое движение можно рассматривать как результат равномерного движения вдоль оси Ох и равноускоренного вдоль оси Оу. Тогда
 \[ \Delta h=\frac{g\cdot {{t}^{2}}}{2};\,\,\,\,t=\sqrt{\frac{2\cdot \Delta h}{g}} \]
На основании (1)
 \[ {{\upsilon }_{y}}=g\cdot \sqrt{\frac{2\cdot \Delta h}{g}}=\sqrt{2\cdot \Delta h\cdot g} \]
Из геометрических соображений
\[  tg\alpha =\frac{{{\upsilon }_{y}}}{{{\upsilon }_{x}}} \]
Следовательно υху
ответ: 4) 20 м/с
Название: Re: 3. Движение по окружности. Криволинейное движение
Отправлено: Сергей от 14 Январь 2014, 22:28
А2.10 Тело брошено под углом α = 30° к горизонту с начальной скоростью, модуль которой υ0 = 40м/с. Время, через которое тело поднимется на половину максимальной высоты, составляет:
1) 0,20 с;   2) 0,60 с;   3) 1,0 с;   4) 2,0 с;    5) 4,0 с.

Решение. Максимальная высота подъема hmax равна (смотри задачу А1.6)
 \[ {{h}_{\max }}=\frac{\upsilon _{0}^{2}\cdot {{\sin }^{2}}\alpha }{2\cdot g} \]
hmax=20 м.
Вдоль оси Оу тело движется равноускорено. Координата тела на высоте h, равной половине максимальной высоты
 \[ y=h={{\upsilon }_{0}}\cdot \sin \alpha \cdot t-\frac{g\cdot {{t}^{2}}}{2} \]
Решим квадратное полученное квадратное уравнение
\[  {{t}_{12}}=\frac{{{\upsilon }_{0}}\cdot \sin \alpha \pm \sqrt{\upsilon _{0}^{2}\cdot {{\sin }^{2}}\alpha -2\cdot g\cdot h}}{g} \]
На этой высоте тело побывает дважды: при подъеме t1= 0,6 с и спуске t2=3,4 с
Ответ: 2) 0,60 с
Название: Re: 3. Движение по окружности. Криволинейное движение
Отправлено: Сергей от 03 Февраль 2014, 18:42
В1.1 Два тела начинают движение по окружности из одной точки в одном направлении. Период обращения первого тела Т1 = 1,0 с, второго — Т2 = 3,0 с. Первое тело догонит второе через промежуток времени, равный ... с.

Решение. Будем считать, что второе тело неподвижно. Так как тела движутся в одном направлении, то скорость υ12 первого тела относительно второго равна
υ12 = │υ1 – υ2
За время t первое тело пройдет путь l и встретится с неподвижным вторым телом. Следовательно
 \[ t=\frac{l}{\left| {{\upsilon }_{1}}-{{\upsilon }_{2}} \right|}=\frac{l}{\left| \frac{l}{{{T}_{1}}}-\frac{l}{{{T}_{2}}} \right|}=\frac{{{T}_{1}}{{T}_{2}}}{\left| {{T}_{2}}-{{T}_{1}} \right|} \]
Ответ: 1,5 с
Название: Re: 3. Движение по окружности. Криволинейное движение
Отправлено: Сергей от 03 Февраль 2014, 18:45
В1.2 Пуля попадает во вращающийся вокруг вертикальной оси с частотой ν = 100 Гц тонкостенный цилиндр диаметром d = 400 см. Чтобы, пробив цилиндр, пуля оставила в нем одно отверстие, она должна лететь вдоль диаметра цилиндра с максимальной скоростью, модуль которой ... м/с.

Решение. Скорость пули
 \[ \upsilon =\frac{d}{t} \]
где t время, за которое цилиндр совершит половину оборота, т.е. половине периода Т. Тогда
 \[ \upsilon =\frac{d}{t}=\frac{d}{\frac{T}{2}}=\frac{d}{\frac{1}{2\cdot \nu }}=2\cdot d\cdot \nu  \]
Ответ: 800 м/с
Название: Re: 3. Движение по окружности. Криволинейное движение
Отправлено: Сергей от 03 Февраль 2014, 18:46
В1.3 Автомобиль проходит середину выпуклого моста радиусом R = 90 м. Чтобы модуль центростремительного ускорения равнялся модулю ускорения свободного падения, модуль скорости автомобиля должен быть равен ... м/с.

Решение. Модуль центростремительного ускорения
 \[ a=\frac{{{\upsilon }^{2}}}{R} \]
По условию а = g. Тогда
 \[ \upsilon =\sqrt{a\cdot R}=\sqrt{g\cdot R} \]
Ответ: 30 м/с
Название: Re: 3. Движение по окружности. Криволинейное движение
Отправлено: Сергей от 03 Февраль 2014, 18:48
В1.4 Колесо велосипеда имеет радиус R = 40 см. Если колесо совершает п= 100 об/мин, то модуль скорости велосипедиста равен ... км/ч.

Решение. Модуль скорости велосипеда равен модулю скорости точек обода колеса смотри задачу А2.8 равномерное движение). Модуль скорости точек обода колеса
υ = 2·π·R·ν = 4,19 м/с
ответ: 15 км/ч
Название: Re: 3. Движение по окружности. Криволинейное движение
Отправлено: Сергей от 03 Февраль 2014, 18:51
В1.5 Колесо радиусом R = 0,5 м катится без проскальзывания по горизонтальной дороге со скоростью, модуль которой υ = 1 м/с. Разность модулей скоростей двух точек, лежащих на концах горизонтального диаметра колеса, равна ... м/с.

Решение. Модули линейных скоростей всех точек,  находящихся на одном расстоянии от оси равны по модулю. Следовательно, разность их модулей равна нулю
Ответ: 0
Название: Re: 3. Движение по окружности. Криволинейное движение
Отправлено: Сергей от 03 Февраль 2014, 18:55
В1.6 Камень брошен с поверхности земли со скоростью, модуль которой υ0 =20 м/с, под углом α = 60° к горизонту. Наименьшее время, через которое вектор скорости камня будет направлен под углом β = 45° к горизонту, составляет   ... мс.

Решение. Выберем систему координат с началом в точке бросания тела. Ось Оу направим вертикально вверх, ось Ох вертикально в сторону, куда брошено тело. В этой системе координат движение тела представляет собой результат сложения равномерного движения вдоль оси ОХ и равноускоренного движения вдоль оси Оу. Выпишем начальные условия: х0 = 0, у0 = 0, υ = υ0·cosα, υ0y = υ0·sinα, ax = 0, ay = -g. Зависимости проекций скорости от времени выразится уравнениями
 \[ {{\upsilon }_{x}}={{\upsilon }_{0}}\cdot \cos \alpha ;\,\,\,\,\,\,{{\upsilon }_{y}}={{\upsilon }_{0}}\cdot \sin \alpha -g\cdot t;\,\,(1) \]
Из геометрических соображений
 \[ tg\beta =\frac{{{\upsilon }_{y}}}{{{\upsilon }_{x}}} \]
По условию задачи β = 45°, tgβ = 1, υx = υy. Тогда на основании (1)
 \[ \begin{align}
  & {{\upsilon }_{0}}\cdot \cos \alpha ={{\upsilon }_{0}}\cdot \sin \alpha -g\cdot t; \\
 & \,\,\,\,\,t=\frac{{{\upsilon }_{0}}\cdot \left( \sin \alpha -\cos \alpha  \right)}{g} \\
\end{align}
 \]
ответ: 730 мс
Название: Re: 3. Движение по окружности. Криволинейное движение
Отправлено: Сергей от 03 Февраль 2014, 18:59
В1.7 Горизонтально летящая в начальный момент времени пуля пробивает последовательно два вертикальных листа бумаги, расположенные на расстоянии l = 3,00 м друг от друга. Если пробоина на втором листе оказалась на h = 2,00 мм ниже, чем на первом, то модуль скорости пули был равен ... м/с.

Решение. Точку, из которой вылетела пуля, примем за начало координат. Ось Оу направим вертикально вниз, ось Ох – горизонтально. В этой системе координат движение пули можно представить как результат сложения равномерного движения в горизонтальном направлении и равноускоренного движения вдоль оси Оу с ускорением g без начальной скорости. Выпишем начальные условия: х0 = 0, у0 = 0, υ = υ0, υ = 0. Уравнения, определяющие зависимость координат от времени, запишутся так:
x = υ0·t;  y = g·t2/2
Когда пуля пробивает второй лист x = l, y = h
 \[ {{\upsilon }_{0}}=\frac{l}{t}=\frac{l}{\sqrt{\frac{2\cdot h}{g}}}=\frac{l\cdot \sqrt{g}}{\sqrt{2\cdot h}} \]
Ответ: 150 м/с Примечание: ответ в сборнике 1500
Название: Re: 3. Движение по окружности. Криволинейное движение
Отправлено: Сергей от 03 Февраль 2014, 19:04
В1.8 Тело, брошенное горизонтально с высоты h = 80 м, упало на землю на расстоянии l =60м по горизонтали. Модуль перемещения тела за время, в течение которого модуль его скорости увеличился в п = 2 раза, составляет... м.

Решение. Точку, из которой бросили тело, примем за начало координат. Ось Оу направим вертикально вниз, ось Ох – горизонтально. В этой системе координат движение тела можно представить как результат сложения равномерного движения в горизонтальном направлении и равноускоренного движения вдоль оси Оу с ускорением g без начальной скорости. Выпишем начальные условия: х0 = 0, у0 = 0, υ = υ0, υ = 0. Уравнения, определяющие зависимость координат и проекций скоростей от времени, запишутся так:
x = υ0·t;  y = g·t2/2
υх = υ0; υу = g·t
Когда  тело упадет x = l, y = h
 \[ {{\upsilon }_{0}}=\frac{l}{t}=\frac{l}{\sqrt{\frac{2\cdot h}{g}}}=\frac{l\cdot \sqrt{g}}{\sqrt{2\cdot h}} \]
В момент времени t1, когда υ = 2·υ0, х = l1, у = h1
 \[ r=\sqrt{l_{1}^{2}+h_{1}^{2}}=\sqrt{{{\left( {{\upsilon }_{0}}\cdot {{t}_{1}} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{g\cdot t_{1}^{2}}{2} \right)}^{2}}}=\sqrt{\frac{{{l}^{2}}\cdot g}{2\cdot h}\cdot t_{1}^{2}+\frac{{{g}^{2}}}{4}\cdot t_{1}^{4}}\,\,\,(1) \]
Найдем время t1, учтем, что в этот момент времени υ = 2·υ0
  \[  {{\upsilon }^{2}}=\upsilon _{x}^{2}+\upsilon _{y}^{2}=\upsilon _{0}^{2}+{{g}^{2}}\cdot t_{1}^{2};\,\,\,\,\,t_{1}^{2}=\frac{{{\upsilon }^{2}}-\upsilon _{0}^{2}}{{{g}^{2}}}=\frac{3\cdot \upsilon _{0}^{2}}{{{g}^{2}}}=\frac{3\cdot {{l}^{2}}}{2\cdot h\cdot g} \]
Тогда из (1) перемещение
 \[ r=\frac{{{l}^{2}}}{2\cdot h}\cdot \sqrt{3+\frac{9}{4}} \]
Ответ: 52 м
Название: Re: 3. Движение по окружности. Криволинейное движение
Отправлено: Сергей от 03 Февраль 2014, 19:09
В1.9 Мальчик бросает в стену мяч со скоростью, модуль которой υ0 =10 м/с, под углом α = 45° к горизонту, стоя на расстоянии l = 4,0 м от стены. Удар мяча о стену упругий. Чтобы затем поймать отскочивший мяч, мальчик должен встать от стены на расстоянии... м.

Решение. Совместим начало координат c точкой О. Ось Ох направим горизонтально, а Оу вертикально вверх. Вдоль оси Ох мяч движется равномерно, со скоростью υ и равноускорено вдоль оси Оу с начальной скоростью υ и ускорением g. Выпишем начальные условия: х0 = -l, у0 = 0, υ = υ0·cosα, υ0y = υ0·sinα, ах = 0, ау = -g.
Координаты тела в момент времени t
 \[ x=-l+{{\upsilon }_{0}}\cdot \cos \alpha \cdot t;\,\,\,\,\,y={{\upsilon }_{0}}\cdot \sin \alpha \cdot t-\frac{g\cdot {{t}^{2}}}{2} \]
В момент падения мяча x = -L, y = 0
 \[ -L=-l+{{\upsilon }_{0}}\cdot \cos \alpha \cdot t;\,\,\,\,\,0={{\upsilon }_{0}}\cdot \sin \alpha \cdot t-\frac{g\cdot {{t}^{2}}}{2} \]
Выразим из второго уравнения t и подставим в первое
 \[ t=\frac{2\cdot {{\upsilon }_{0}}\cdot \sin \alpha }{g};\,\,\,\,\,\,L=l-{{\upsilon }_{0}}\cdot \cos \alpha \cdot \frac{2\cdot {{\upsilon }_{0}}\cdot \sin \alpha }{g}=l-\frac{\upsilon _{0}^{2}\cdot \sin 2\alpha }{g} \]
L = -6 м. Мальчик должен встать от стены на расстоянии 6 м.
Ответ: 6 м
Название: Re: 3. Движение по окружности. Криволинейное движение
Отправлено: Сергей от 03 Февраль 2014, 19:13
В1.10 Два тела одновременно брошены из одной точки. Модуль начальной скорости первого тела υ01 = 10м/с и направлен вертикально вверх, второго — υ02 = 20 м/с и направлен под углом α = 30° к горизонту. Через промежуток времени t = 1,0с после начала движения расстояние между телами составит ... м.

Решение. Выберем систему координат с началом в точке бросания тел. Ось Оу направим вертикально вверх, ось Ох горизонтально, куда брошено второе тело. За начало отсчета примем момент броска. Первое тело движется равноускорено вдоль оси Оу. В момент времени t, его координата h1 будет равна
 \[ {{h}_{1}}={{\upsilon }_{01}}\cdot t-\frac{g\cdot {{t}^{2}}}{2} \]
Второе тело движется вдоль оси Ох равномерно и вдоль оси Оу равноускорено. В момент времени t его координаты
 \[ l={{\upsilon }_{02}}\cdot \cos \alpha \cdot t;\,\,\,\,{{h}_{2}}={{\upsilon }_{02}}\cdot \sin \alpha \cdot t-\frac{g\cdot {{t}^{2}}}{2} \]
Из рисунка видно, что
 \[ S=\sqrt{{{l}^{2}}+{{\left( {{h}_{1}}-{{h}_{2}} \right)}^{2}}} \]
Если заметить, что υ02·sinα = υ01, то h1 = h2 и можно сразу записать
S = l = υ02·cosα·t
Ответ: 17 м
Название: Re: 3. Движение по окружности. Криволинейное движение
Отправлено: Сергей от 09 Февраль 2014, 20:54
В2.1 Две точки с постоянными по модулю скоростями движутся по ок-ружности. Первая точка, двигаясь по часовой стрелке, делает один оборот за время Т1 =3,0 с, вторая точка, двигаясь против часовой стрелки, делает один оборот за Т2 = 1,0 с. Время между двумя последовательными встречами точек составляет ... с.

Решение. Будем считать, что первое тело неподвижно. Так как тела движутся навстречу друг другу, то скорость υ12 второго тела относительно первого равна
υ12 = υ1 + υ2
За время t второе тело пройдет путь l и встретится с неподвижным первым телом. Следовательно
 \[ t=\frac{l}{{{\upsilon }_{1}}+{{\upsilon }_{2}}}=\frac{l}{\frac{l}{{{T}_{1}}}+\frac{l}{{{T}_{2}}}}=\frac{{{T}_{1}}{{T}_{2}}}{{{T}_{1}}+{{T}_{2}}} \]
Ответ: 0,75 с
Название: Re: 3. Движение по окружности. Криволинейное движение
Отправлено: Сергей от 09 Февраль 2014, 20:57
В2.2 Цилиндр радиусом R = 100 мм зажат между рейками, движущимися без проскальзывания со скоростями, модули которых υ1 = 120 мм/с и υ2 = 80,0 мм/с. Скорости направлены параллельно рейкам (рис. 3.4). Угловая скорость вращения цилиндра равна ... рад/с.

Решение приведенное в сборнике
Проекция скорости точки А на ось х
υ1 = υпост + ω·R
где υпост – модуль поступательной скорости цилиндра (рис 2). Проекция скорости точки В на ось х:
1 = υпост - ω·R
Отсюда
 \[ \omega =\frac{{{\upsilon }_{1}}+{{\upsilon }_{2}}}{2\cdot R} \]
Ответ: 1
Название: Re: 3. Движение по окружности. Криволинейное движение
Отправлено: Сергей от 09 Февраль 2014, 21:00
В2.3 Точка движется по окружности с постоянной по модулю скоростью υ = 15 м/с. Вектор скорости изменяет направлении на угол α = 60°за время t = 3,0 с. Модуль центростремительного ускорения точки равен ... м/с2.

Решение. Модуль центростремительного ускорения
\[  a=\frac{{{\upsilon }^{2}}}{R}\,\, \]
Линейная и угловая скорости связаны следующим соотношением
υ = ω·R
При движении по окружности, скорость изменяется по направлению и направлена по касательной к траектории движения. Тогда
 \[ \omega =\frac{\varphi }{t}=\frac{\pi }{3\cdot t} \]
Выразим из второго уравнения радиус R и подставим в первое
 \[ a=\frac{{{\upsilon }^{2}}}{R}=\frac{{{\upsilon }^{2}}}{\frac{\upsilon }{\omega }}=\upsilon \cdot \omega =\frac{\upsilon \cdot \pi }{3\cdot t} \]
ответ: 5,2 м/с2
Название: Re: 3. Движение по окружности. Криволинейное движение
Отправлено: Сергей от 09 Февраль 2014, 21:03
В2.4 Диск радиусом R = 2,0 м равномерно вращается относительно оси, проходящей через его центр перпендикулярно к поверхности диска. Максимальное расстояние, на котором могут быть расположены друг от друга две точки диска, если отношение модулей их линейных скоростей п = 2, составляет ... м.

Решение. Отношение модулей линейных скоростей
\[ \frac{{{\upsilon }_{1}}}{{{\upsilon }_{2}}}=\frac{\omega \cdot {{R}_{1}}}{\omega \cdot {{R}_{2}}}=\frac{{{R}_{1}}}{{{R}_{2}}}=2 \]
Если первая точка выбрана, то вторая находится на противоположной половине диаметра. Расстояние между точками
L = R1 + R2 = 1,5·R1
Выберем положение первой точки на краю диска. Тогда
R1 = R; Lmax = 1,5·R
ответ: 3 м
Название: Re: 3. Движение по окружности. Криволинейное движение
Отправлено: Сергей от 09 Февраль 2014, 21:05
В2.5 По окружности радиусом R = 2,0 м одновременно движутся две точки так, что законы их движения имеют вид: φ1 = 2,0+ 2,0t и φ2 = -3,0-4,0·t (рад). Модуль относительной скорости точек в момент их встречи равен ... м/с.

Решение. Модули линейных скоростей точек равны
υ1 = ω1·R, υ2 = ω2·R
и направлены противоположно. Модуль их относительной скорости
│υot│=│υ1│+│υ2
Угловая скорость – это первая производная от φ, т.е.
 \[ \varphi _{1}^{'}={{\omega }_{1}}=2;\,\,\,\varphi _{2}^{'}={{\omega }_{2}}=-4 \]
Ответ: 12 м/с
Название: Re: 3. Движение по окружности. Криволинейное движение
Отправлено: Сергей от 09 Февраль 2014, 21:08
В2.6 Тело, брошенное горизонтально со скоростью, модуль которой υ0 =5,0 м/с, с высоты h = 5,0 м, за время своего падения совершит перемещение, модуль которого ... м.

Решение. Точку, из которой брошено тело, примем за начало координат. Ось Оу направим вертикально вниз, ось Ох – горизонтально. В этой системе координат движение тела можно представить как результат сложения равномерного движения в горизонтальном направлении и равноускоренного движения вдоль оси Оу с ускорением g без начальной скорости. Выпишем начальные условия: х0 = 0, у0 = 0, υ = υ0, υ = 0. Уравнения, определяющие зависимость координат от времени, запишутся так:
x = υ0·t;  y = g·t2/2
В момент падения тела x= l, y = h. Тогда
\[ \Delta r=\sqrt{{{l}^{2}}+{{h}^{2}}}=\sqrt{\upsilon _{0}^{2}\cdot {{t}^{2}}+{{h}^{2}}}=\sqrt{h\cdot \left( \frac{2\cdot \upsilon _{0}^{2}}{g}+h \right)} \]
ответ: 7,1 м
Название: Re: 3. Движение по окружности. Криволинейное движение
Отправлено: Сергей от 09 Февраль 2014, 21:12
В2.7 Камень брошен горизонтально со склона горы, образующего угол α = 45° с горизонтом. Если камень упал на склон на расстоянии l = 50 м от точки бросания, то модуль его начальной скорости составляет ... м/с.

Решение.  В выбранной системе координат υ = υ0·cosα, υ0y = υ0·sinα, υ = gx = g·sinα, gy = -g·cosα
Уравнения движения в проекциях на оси координат
\[ \begin{align}
  & x={{\upsilon }_{0}}\cdot \cos \alpha \cdot t+\frac{g\cdot \sin \alpha \cdot {{t}^{2}}}{2} \\
 & y={{\upsilon }_{0}}\cdot \sin \alpha \cdot t-\frac{g\cdot \cos \alpha \cdot {{t}^{2}}}{2} \\
\end{align} \]
В момент падения камня у = 0, x = l. Вы разим из второго уравнения время t

\[ t=\frac{2\cdot {{\upsilon }_{0}}\cdot \sin \alpha }{g\cdot \cos \alpha }=\frac{2\cdot {{\upsilon }_{0}}}{g}\cdot tg\alpha  \]
С учетом этого найдем υ0 из первого уравнения
\[ {{\upsilon }_{0}}=\sqrt{\frac{g\cdot l}{2\cdot \left( \cos \alpha \cdot tg\alpha +\sin \alpha \cdot t{{g}^{2}}\alpha  \right)}} \]
Ответ: 13 м/с
Название: Re: 3. Движение по окружности. Криволинейное движение
Отправлено: Сергей от 09 Февраль 2014, 21:16
В2.8 Мячик бросили с некоторой высоты h под углом α = 30° к горизонту. Чтобы мячик достиг максимальной высоты над поверхностью земли, равной 2h, и упал на землю через время t = 4,0 с после броска, модуль его начальной скорости должен составить ... м/с.

Решение. В точке А проекция скорости на ось Оу
υ0 = υ0·sinα -g·t1 = 0
Определим время t1, за которое мячик достигнет высоты h
\[ {{t}_{1}}=\frac{{{\upsilon }_{0}}\cdot \sin \alpha }{g} \]
Высота подъема
\[ h=\frac{\upsilon _{0}^{2}\cdot {{\sin }^{2}}\alpha }{2\cdot g}\,\,\,(1) \]
Теперь рассмотрим движение мячика с высоты 2h.
\[ 2\cdot h=\frac{g\cdot t_{2}^{2}}{2};\,\,\,\,{{t}_{2}}=\sqrt{\frac{4\cdot h}{g}} \]
Общее время движения t и начальная скорость υ0
\[ \begin{align}
  & t={{t}_{1}}+{{t}_{2}}=\frac{{{\upsilon }_{0}}\cdot \sin \alpha }{g}+\sqrt{\frac{4\cdot h}{g}} \\
 & \,\,\,\,\,\,{{\upsilon }_{0}}=\frac{g\cdot \left( t-\sqrt{\frac{4\cdot h}{g}} \right)}{\sin \alpha } \\
\end{align} \]
С учетом (1)
\[ {{\upsilon }_{0}}=\frac{g\cdot t}{\left( \sqrt{2}+1 \right)\cdot \sin \alpha } \]
Ответ: 33 м/с
Название: Re: 3. Движение по окружности. Криволинейное движение
Отправлено: Сергей от 09 Февраль 2014, 21:19
В2.9 Два шара выброшены одновременно из одной точки с некоторой высоты со скоростями υ01 = υ02 = 10 м/с, которые направлены под углом α = 120° друг к другу. Расстояние между шарами через время t = 2,0 с после начала движения составит ... м.

Решение. Вдоль оси Ох движение тел равномерное, вдоль оси Оу – равноускоренное.  Тогда
\[ x={{\upsilon }_{0}}\cdot \cos {{\alpha }_{0}}\cdot t;\,\,\,\,\,\,y={{\upsilon }_{0}}\cdot \sin {{\alpha }_{0}}\cdot t-\frac{g\cdot {{t}^{2}}}{2} \]
Из рисунка видно, что α0 = 30°, Скорости тел равны по условию, тогда искомое расстояние S = 2·l
В момент времени t координата х = l
S = 2·(υ0·cosα0·t)
Ответ: 35 м

Замечания к задаче см. здесь. (http://web-physics.ru/smf/index.php/topic,10904.msg41518.html#msg41518) и здесь (http://web-physics.ru/smf/index.php/topic,10904.msg41520.html#msg41520).
Название: Re: 3. Движение по окружности. Криволинейное движение
Отправлено: Сергей от 09 Февраль 2014, 21:21
В2.10 Камень, брошенный со скоростью, модуль которой υ0 = 12 м/с, под углом α = 45° к горизонту, упал на землю на некотором расстоянии от места бросания. Чтобы при той же величине начальной скорости камень упал на то же место, его необходимо бросить в горизонтальном направлении с высоты, равной ... м.

Решение. Дальность полета тела, брошенного под углом к горизонту
\[ l=\frac{\upsilon _{0}^{2}\cdot \sin 2\alpha }{g}\,\,\,\,(1) \]
Для тела брошенного горизонтально
\[ h=\frac{g\cdot {{t}^{2}}}{2}\,\,(2);\,\,\,\,\,\,l={{\upsilon }_{0}}\cdot t\,\,\,\,(3) \]
Подставим (1) в (3)
\[ t=\frac{{{\upsilon }_{0}}\cdot \sin 2\alpha }{g} \]
Подставим полученное выражение в (2)
\[ h=\frac{\upsilon _{0}^{2}\cdot {{\sin }^{2}}2\alpha }{2\cdot g} \]
Ответ: 7,2 м
Название: Re: 3. Движение по окружности. Криволинейное движение
Отправлено: anat от 26 Апрель 2014, 18:48
В2.9 Два шара выброшены одновременно из одной точки с некоторой высоты со скоростями υ01 = υ02 = 10 м/с, которые направлены под углом α = 120° друг к другу. Расстояние между шарами через время t = 2,0 с после начала движения составит ... м.

Решение. Вдоль оси Ох движение тел равномерное, вдоль оси Оу – равноускоренное.  Тогда
\[ x={{\upsilon }_{0}}\cdot \cos {{\alpha }_{0}}\cdot t;\,\,\,\,\,\,y={{\upsilon }_{0}}\cdot \sin {{\alpha }_{0}}\cdot t-\frac{g\cdot {{t}^{2}}}{2} \]
Из рисунка видно, что α0 = 30°, Скорости тел равны по условию, тогда искомое расстояние S = 2·l
В момент времени t координата х = l
S = 2·(υ0·cosα0·t)
Ответ: 35 м
Есть вопросы по решению, по рисунку, а главное, по условию.
Несложно посчитать, что через 1 с тела, если исходить из предложенного рисунка, упадут. По условию, шары брошены с некоторой высоты, поэтому, на мой взгляд, корректнее будет такой рисунок:
Название: Re: 3. Движение по окружности. Криволинейное движение
Отправлено: anat от 26 Апрель 2014, 18:53
Но что мешает быть нашему рисунку таким:
Название: Re: 3. Движение по окружности. Криволинейное движение
Отправлено: anat от 26 Апрель 2014, 18:56
В2.9 Два шара выброшены одновременно из одной точки с некоторой высоты со скоростями υ01 = υ02 = 10 м/с, которые направлены под углом α = 120° друг к другу. Расстояние между шарами через время t = 2,0 с после начала движения составит ... м.

Читая условие, нельзя сказать, как направлены начальные скорости к горизонту. Поэтому считаю данную задачу некорректной.

Зы. В целом, сборник Капельяна для подготовки к ЦТ лучший, но ошибок много.