Форум сайта alsak.ru

Задачи и вопросы по физике => Капельян Пособие для подготовки к ЦТ 2011 => Тема начата: alsak от 29 Октября 2013, 15:27

Название: 11. Закон Кулона
Отправлено: alsak от 29 Октября 2013, 15:27
Решения задач из книги:
Капельян, С.Н. Физика: пособие для подготовки к централизованному тестированию /С.Н. Капельян, В.А. Малышонок. — Минск: Аверсэв, 2011. — 480 с.

11. Закон Кулона

Тест А1
1 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10875.msg41178.html#msg41178) 2 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10875.msg41179.html#msg41179) 3 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10875.msg41180.html#msg41180) 4 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10875.msg41181.html#msg41181) 5 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10875.msg41182.html#msg41182) 6 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10875.msg41183.html#msg41183) 7 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10875.msg41184.html#msg41184) 8 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10875.msg41185.html#msg41185) 9 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10875.msg41186.html#msg41186) 10 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10875.msg41187.html#msg41187)

Тест А2
1 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10875.msg41192.html#msg41192) 2 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10875.msg41193.html#msg41193) 3 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10875.msg41194.html#msg41194) 4 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10875.msg41195.html#msg41195) 5 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10875.msg41196.html#msg41196) 6 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10875.msg41197.html#msg41197) 7 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10875.msg41198.html#msg41198) 8 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10875.msg41199.html#msg41199) 9 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10875.msg41200.html#msg41200) 10 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10875.msg41201.html#msg41201)

Тест В1
1 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10875.msg41248.html#msg41248) 2 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10875.msg41249.html#msg41249) 3 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10875.msg41250.html#msg41250) 4 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10875.msg41251.html#msg41251) 5 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10875.msg41252.html#msg41252) 6 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10875.msg41253.html#msg41253) 7 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10875.msg41254.html#msg41254) 8 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10875.msg41255.html#msg41255) 9 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10875.msg41256.html#msg41256) 10 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10875.msg41257.html#msg41257)

Тест В2
1 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10875.msg41258.html#msg41258) 2 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10875.msg41259.html#msg41259) 3 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10875.msg41260.html#msg41260) 4 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10875.msg41261.html#msg41261) 5 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10875.msg41263.html#msg41263) 6 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10875.msg41264.html#msg41264) 7 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10875.msg41269.html#msg41269) 8 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10875.msg41270.html#msg41270) 9 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10729.msg40061.html#msg40061) 10 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10875.msg41271.html#msg41271)
Название: Re: 11. Закон Кулона
Отправлено: Виктор от 02 Февраля 2014, 19:16
А1.1. Если от капли воды, несущей электрический заряд q1 = +5е, отделится капелька с электрическим зарядом q2 = –3е, то электрический заряд оставшейся части капли будет равен (е – элементарный электрический заряд):
1) –8е;     2) –2е;     3) 2е;     4) 4е;     5) 8е.
Решение: пусть заряд оставшейся капли равен q. Воспользуемся законом сохранения электрического заряда:
\[ q_{1} =q_{2} +q,{\rm \; \; \; \; \; }q=q_{1} -q_{2}. \]
Ответ: 5) 8е.
Название: Re: 11. Закон Кулона
Отправлено: Виктор от 02 Февраля 2014, 19:20
А1.2. Незаряженную стеклянную палочку потёрли о шёлк и её заряд стал равен q = + 1,6∙10–9 Кл. Стеклянная палочка:
1) потеряла 1,0∙1010 электронов;     2) потеряла 1,0∙109 электронов;     
3) приобрела 1,0∙1010 электронов;     4) приобрела 1,0∙109 электронов;     
5) приобрела 10 электронов.
Решение: любой электрический заряд кратен элементарному заряду е =  1,6∙10–19 Кл (свойство дискретности заряда). Таким образом:
\[ q=N\cdot e,{\rm \; \; \; \; \; \; }N=\frac{q}{e}. \]
Так как заряд стеклянной палочки положителен, то палочка потеряла электроны в количестве  N = 1,0∙1010.
Ответ: 1) потеряла 1,0∙1010 электронов
Название: Re: 11. Закон Кулона
Отправлено: Виктор от 02 Февраля 2014, 19:23
А1.3. На каком расстоянии друг от друга находятся два точечных заряда q1 = 0,10 мкКл и q2 = 200 нКл, если они взаимодействуют с силой, модуль которой F  = 1,8 Н?
1) 0,10 мм;     2) 1 мм;     3) 1,0 см;     4) 10 см;     5) 1,0 м.
Решение: пусть расстояние между зарядами r. Выразим это расстояние из закона Кулона (k = 9∙109 Н∙м2/Кл2)
\[ F=\frac{k\cdot \left|q_{1} \right|\cdot \left|q_{2} \right|}{r^{2}},{\rm \; \; \; \; \; }r=\sqrt{\frac{k\cdot q_{1} \cdot q_{2}}{F}}. \]
Ответ: 3) 1,0 см.
Название: Re: 11. Закон Кулона
Отправлено: Виктор от 02 Февраля 2014, 19:25
А1.4. При увеличении каждого из двух точечных электрических зарядов в k1 = 3 раза и уменьшении расстояния между ними в k2 = 4 раза модуль силы взаимодействия между ними увеличится:
1) в 9 раз;     2) в 12 раз;     3) в 16 раз;     4) в 48 раз;     5) в 144 раза.
Решение: запишем закон Кулона для первого и второго случая, и разделим второе уравнение на первое:
\[ F_{1} =\frac{k\cdot \left|q_{1} \right|\cdot \left|q_{2} \right|}{r^{2}} ,{\rm \; \; \; \; \; \; }F_{2} =\frac{k\cdot \left|k_{1} \cdot q_{1} \right|\cdot \left|k_{1} \cdot q_{2} \right|}{\left(\frac{r}{k_{2}} \right)^{2}} ,{\rm \; \; \; \; \; \; \; }\frac{F_{2} }{F_{1}} =k_{1}^{2} \cdot k_{2}^{2}. \]
Ответ: 5) в 144 раза.
Название: Re: 11. Закон Кулона
Отправлено: Виктор от 02 Февраля 2014, 19:27
А1.5. Два маленьких одинаковых металлических шарика заряжены зарядами –q и +7q. Шарики привели в соприкосновение и раздвинули на прежнее расстояние. Модуль силы взаимодействия между шариками:
1) увеличился в 7 раз;     2) увеличился в 9/7 раза;     3) не изменился;     
4) уменьшился в 9/7 раза;     5) уменьшился в 7 раз.   
Решение: запишем закон Кулона для шариков до соприкосновения
\[ F_{1} =\frac{k\cdot \left|-q\right|\cdot \left|+7q\right|}{r^{2}} =7\cdot \frac{k\cdot q^{2} }{r^{2}}. \]
При соприкосновении заряд межу шариками перераспределится, и т.к. шарики одинаковые, то на них будут одинаковые заряды q1. Запишем закон сохранения электрического заряда:
\[ -q+7q=2q_{1} ,{\rm \; \; \; \; \; \; }q_{1} =+3q. \]
Запишем закон Кулона для шариков после соприкосновения
\[ F_{2} =\frac{k\cdot \left|+3q\right|\cdot \left|+3q\right|}{r^{2} } =9\cdot \frac{k\cdot q^{2}}{r^{2}}. \]
Разделив уравнения, получим
\[ \frac{F_{2} }{F_{1} } =\frac{9}{7}. \]
Ответ: 2) увеличился в 9/7 раза.
Название: Re: 11. Закон Кулона
Отправлено: Виктор от 02 Февраля 2014, 19:29
А1.6. Как изменится модуль силы кулоновского взаимодействия между двумя одинаковыми маленькими металлическими шариками с зарядами q и –3q, если после соприкосновения шарики раздвинули на расстояние, в 3 раза меньшее, чем до соприкосновения?
1) Модуль силы притяжения увеличится в 3 раза;
2) модуль силы притяжения уменьшится в 3 раза;
3) возникнет сила отталкивания, которая по модулю в 3 раза больше прежней силы притяжения;
4) возникнет сила отталкивания, которая по модулю в 3 раза меньше прежней силы притяжения;
5) модуль силы взаимодействия не изменится.
Решение: см. решение задания А1.5. До соприкосновения – сила притяжения
\[ F_{1} =\frac{k\cdot \left|q\right|\cdot \left|-3q\right|}{r^{2} } =3\cdot \frac{k\cdot q^{2}}{r^{2}}. \]
Заряды после соприкосновения будут одноимёнными и сила отталкивания
\[ \begin{array}{l} {+q-3q=2q,{\rm \; \; \; \; \; \; }q_{1} =q,} \\ {F_{2} =\frac{k\cdot \left|q_{1} \right|\cdot \left|q_{1} \right|}{\left(\frac{r}{3} \right)^{2} } =9\cdot \frac{k\cdot q^{2} }{r^{2}}.} \end{array} \]
Таким образом: \[  F_{2} =3F_{1}. \]
Ответ: 3) возникнет сила отталкивания, которая по модулю в 3 раза больше прежней силы притяжения.
Название: Re: 11. Закон Кулона
Отправлено: Виктор от 02 Февраля 2014, 19:32
А1.7. Стальную линейку зарядили положительно. Масса линейки:
1) увеличилась;     2) не изменилась;     3) уменьшилась;    4) однозначный ответ дать невозможно.
Решение: в целом, в природе отрицательных зарядов столько же, сколько положительных. Электрические заряды атомов и молекул равны нулю, а заряды положительных и отрицательных ионов в каждой ячейке кристаллических решеток твёрдых тел скомпенсированы. При электризации нейтральных тел нарушается равенство суммы положительных и отрицательных зарядов. Наименьшей по массе устойчивой в свободном состоянии частицей, имеющей один отрицательный элементарный электрический заряд, является электрон, поэтому на линейке, заряженной положительно, будет недостаток электронов, т.е. при электризации масса линейки уменьшилась.
Ответ: 3) уменьшилась.
Название: Re: 11. Закон Кулона
Отправлено: Виктор от 02 Февраля 2014, 19:34
А1.8. Электрическая постоянная ε0 в СИ имеет размерность:
Решение: запишем закон Кулона в общем виде и выразим ε0
\[ F=\frac{\left|q_{1} \right|\cdot \left|q_{2} \right|}{4\pi \cdot \varepsilon _{0} \cdot r^{2} } ,{\rm \; \; \; \; \; }\varepsilon _{0} =\frac{\left|q_{1} \right|\cdot \left|q_{2} \right|}{4\pi \cdot F\cdot r^{2}}. \]
Сила F измеряется в Ньютонах и 1Н = кг∙м∙с-2 (2 закон Ньютона), заряд измеряется в Кулонах и 1Кл = А∙с (определение силы тока), расстояние в метрах. Подставив, получим
Ответ: 4).
Название: Re: 11. Закон Кулона
Отправлено: Виктор от 02 Февраля 2014, 19:38
А1.9. Сравните модуль силы взаимодействия двух разноимённо заряженных металлических шаров (случай 1) с модулем силы взаимодействия двух таких же одноименно заряженных шаров (случай 2). При прочих равных условиях модуль силы взаимодействия:
1) больше в случае 1;    2) больше в случае 2;     3) модули силы взаимодействия в обоих случаях одинаковы;  4) результат зависит от величины зарядов.
Решение: если считать, что размеры шаров значительно меньше расстояния между ними (заряды можно считать точечными), то сила взаимодействия одинакова в обоих случаях. В условии задачи не сказано, что размерами можно пренебречь. Тогда, будем считать, что размеры шаров соизмеримы с расстоянием между ними. В этом случае сила больше при наличии разноименных зарядов, так как электростатическая индукция приводит к перераспределению зарядов на шарах, при котором одноименные заряды оказываются на большем расстоянии друг от друга, чем разноименные (см. рис.).
Ответ: 1) больше в случае 1.
Название: Re: 11. Закон Кулона
Отправлено: Виктор от 02 Февраля 2014, 19:41
А1.10.Точечные положительные заряды q и 2q закреплены на расстоянии r друг от друга в вакууме. На середине прямой, соединяющей заряды, поместили точечный отрицательный –q (рис. 11.1) заряд. При этом у силы, действующей на положительный заряд q:
1) модуль не изменился, направление изменилось на противоположное;
2) модуль силы уменьшился в два раза, направление изменилось на противоположное;
3) модуль силы стал равен нулю;
4) модуль силы увеличился в 2 раза, направление не изменилось;
5) модуль силы увеличился в 3 раза, направление не изменилось.
Решение: перед тем, как поместили третий заряд на первый (q) действовала только одна сила – сила кулоновского отталкивания со стороны заряда +2q. Модуль этой силы равен
\[ F_{1} =\frac{k\cdot \left|+q\right|\cdot \left|+2q\right|}{r^{2} } =2\cdot \frac{k\cdot q^{2}}{r^{2}}. \]
После того как поместили третий отрицательный заряд –q, на первый начала действовать сила кулоновского притяжения со стороны третьего, равная
\[ F_{2} =\frac{k\cdot \left|+q\right|\cdot \left|-q\right|}{\left(\frac{r}{2} \right)^{2} } =4\cdot \frac{k\cdot q^{2} }{r^{2}} =2F_{1}. \]
Так как силы противоположно направлены, то модуль их равнодействующей равен разности сил F2F1 = F1. Направление равнодействующей противоположно направлению F1.
Ответ: 1) модуль не изменился, направление изменилось на противоположное.
Название: Re: 11. Закон Кулона
Отправлено: Виктор от 03 Февраля 2014, 13:30
А2.1. Стеклянную палочку наэлектризовали и её заряд q  стал равным 6,4∙10–9 Кл. Масса стеклянной палочки:
1) увеличилась на 3,6∙10–20 кг;     2) уменьшилась на 3,6∙10–20 кг;     3) увеличилась на 1,8∙10–20 кг;    4) уменьшилась на 1,8∙10–20 кг;  5) не изменилась.
Решение: на стеклянной палочке, заряженной положительно, будет недостаток электронов, т.е. при электризации масса уменьшилась (палочка потеряла электроны, см. задание А1.2). Воспользуемся свойством дискретности заряда: любой электрический заряд кратен элементарному заряду е
\[ q=N\cdot e,{\rm \; \; \; \; \; \; }N=\frac{q}{e}. \]
Масса электрона me = 9,1∙10–31 кг, тогда масса палочки уменьшилась на:
\[ \Delta m=N\cdot m_{e} =\frac{q\cdot m_{e} }{e} =3,6\cdot 10^{- 20}. \]
Ответ: 2) уменьшилась на 3,6∙10–20 кг.
Название: Re: 11. Закон Кулона
Отправлено: Виктор от 03 Февраля 2014, 13:33
А2.2. Модуль силы электрического взаимодействия между двумя протонами, находящимися на расстоянии l = 1,0∙10–10 см друг от друга, равен:
1) 2,3∙10–18 Н;     2) 2,3∙10–16 Н;     3) 2,3∙10–8 Н;    4) 4,6∙10–5 Н;    5) 2,3∙10–4 Н.
Решение: заряд протона положителен и равен элементарному заряду е =  1,6∙10–19 Кл, тогда запишем закон Кулона (k = 9∙109 Н∙м2/Кл2, l – в метрах)
\[ F=\frac{k\cdot e^{2}}{l^{2}}. \]
Ответ: 5) 2,3∙10–4 Н.
Название: Re: 11. Закон Кулона
Отправлено: Виктор от 03 Февраля 2014, 13:35
А2.3. Точечные заряды 1 и 2 закреплены. Заряд 3 может перемещаться. Этот заряд (рис. 11.2):
1) перемещается с ускорением влево;   2) перемещается равномерно влево; 3) остаётся в покое;  4) перемещается равномерно вправо; 
5) перемещается с ускорением вправо.
Решение: на третий заряд действуют две силы: F1 – сила кулоновского притяжения со стороны первого, направленная влево и F2 – сила кулоновского отталкивания со стороны второго заряда, направленная вправо. Модули этих сил рассчитаем по закону Кулона
\[ F_{1} =\frac{k\cdot \left|-4q\right|\cdot \left|q\right|}{\left(2r\right)^{2}} =\frac{k\cdot q^{2}}{r^{2}} ,{\rm \; \; \; }F_{2} =\frac{k\cdot \left|+q\right|\cdot \left|+q\right|}{r^{2} } =\frac{k\cdot q^{2}}{r^{2}}. \]
Силы равны по модулю и противоположно направлены. Равнодействующая этих сил равна нулю.
Ответ: 3) остаётся в покое.
Название: Re: 11. Закон Кулона
Отправлено: Виктор от 03 Февраля 2014, 13:38
А2.4. Четыре заряда, равные по абсолютному значению, находятся в вершинах квадрата (рис. 11.3). Если предоставить им возможность свободно перемещаться только под действием кулоновских сил, то:
1) заряды будут сближаться; 
2) заряды будут удаляться друг от друга; 
3) система будет в неустойчивом равновесии;
4) система будет в устойчивом равновесии;
5) однозначного ответа дать нельзя.
Решение: на любой заряд действует три силы со стороны оставшихся зарядов. Изобразим силы, действующие на заряд (т.к. картинка симметрична, то изобразим только на один, например левый верхний – см. рис.). Пусть сторона квадрата равна a, тогда диагональ квадрата a√2. По закону Кулона:
\[ F_{1} =F_{2} =F=\frac{k\cdot q^{2}}{a^{2}} ,{\rm \; \; \; }F_{3} =\frac{k\cdot q^{2} }{\left(a\sqrt{2} \right)^{2}} =\frac{1}{2} \frac{k\cdot q^{2}}{a^{2}} =\frac{1}{2}F.  \]
Модуль равнодействующей этих сил (см.рис.):
\[ F_{0} =F_{12} -F_{3} =\sqrt{F_{1}^{2} +F_{2}^{2}} -F_{3} =F\cdot \left(\sqrt{2} -\frac{1}{2} \right). \]
Равнодействующая направлена к центру квадрата. Таким образом
Ответ: 1) заряды будут сближаться.
Название: Re: 11. Закон Кулона
Отправлено: Виктор от 03 Февраля 2014, 13:41
А2.5. Маленький шарик массой m и зарядом q подвешен на нити. Снизу  к нему подносят одноимённый и увеличенный в 3 раза заряд. Модуль силы натяжения нити уменьшился при этом в 9 раз. Расстояние между зарядами q и 3q равно:
\[ 1)\frac{3\sqrt{3} \cdot q}{4\sqrt{2\pi \varepsilon _{0} \cdot mg}} ;{\rm \; \; }2)\frac{3\sqrt{3} \cdot q}{4\sqrt{\pi \varepsilon _{0} \cdot mg}} ;{\rm \; \; }3)\frac{3\cdot q}{4\sqrt{\pi \varepsilon _{0} \cdot mg}} ;{\rm \; \; }4)\frac{3\sqrt{3} \cdot q}{\sqrt{2\pi \varepsilon _{0} \cdot mg}} ;{\rm \; \; }5)\frac{4\sqrt{\pi \varepsilon _{0} \cdot mg} }{3\sqrt{3} \cdot q}.  \]
Решение: в начальный момент на шарик действуют две силы: mg – сила тяжести, направленная вертикально вниз и F – сила натяжения нити, направленная вертикально вверх.  После того, как снизу располагают заряд на расстоянии r от шарика, на него будут действовать три силы: mg - направленная вертикально вниз,  F/9 –направленная вертикально вверх и Fk  - сила кулоновского отталкивания, направленная вертикально вверх (см. рис.). Т.к. шарик неподвижен, то сумма этих сил равна нулю, соответственно и сумма проекций сил на выбранную координатную ось также равна нулю, т.е.
\[ F-mg=0,{\rm \; \; \; \; }\frac{F}{9} +F_{k} -mg=0, \]
Выразим F из первого уравнения, подставим во второе и воспользуемся законом Кулона
\[ \begin{array}{l} {F_{k} =\frac{8}{9} mg,{\rm \; \; \; \; \; }F_{k} =\frac{\left|q\right|\cdot \left|3q\right|}{4\pi \varepsilon _{0} \cdot r^{2}} =\frac{3q^{2} }{4\pi \varepsilon _{0} \cdot r^{2}} ,} \\ {\frac{3q^{2}}{4\pi \varepsilon _{0} \cdot r^{2} } =\frac{8}{9} mg,{\rm \; \; \; \; \; \; }r^{2} =\frac{9\cdot 3q^{2}}{4\cdot 8\pi \varepsilon _{0} \cdot mg}.} \end{array} \]
Ответ: 1)
Название: Re: 11. Закон Кулона
Отправлено: Виктор от 03 Февраля 2014, 13:43
А2.6. Поверхностная плотность заряда на металлическом шаре σ = 10 мкКл/м2. Радиус шара R = 10 см. Величина заряда шара равна:
1) 1,0∙10–7 Кл;   2) 6,3∙10–7 Кл;   3) 1,3∙10–6 Кл;    4) 3,1∙10–6 Кл;  5) 3,1∙10–5 Кл.
Решение: поверхностная плотность заряда — есть отношение заряда к площади заряженной поверхности. Площадь поверхности шара равна S = 4π∙R2 . Таким образом, заряд шара равен:
\[ q=\sigma \cdot S=\sigma \cdot 4\pi \cdot R^{2}. \]
Ответ: 3) 1,3∙10–6 Кл.
Название: Re: 11. Закон Кулона
Отправлено: Виктор от 03 Февраля 2014, 13:45
А2.7. Два закреплённых точечных заряда q и –9q находятся на расстоянии l друг от друга. На каком расстоянии от заряда –9q нужно поместить точечный заряд 2q, чтобы он находился в равновесии?
1) 2l/3;      2) 3l/4;        3) 4l/3;       4) 3l/2;       5) 2l.
Решение: для того, чтобы заряд находился в равновесии, сумма сил, действующих на него должна быть равна нулю. На заряд 2q действует кулоновская сила отталкивания F1 со стороны заряда q, и сила притяжения F2, со стороны заряда  –9q. Эти силы должны быть равны по модулю и противоположны по направлению. При этом, заряд 2q должен находится на прямой, соединяющей заряды q и –9q, ближе к заряду q, дальше от заряда –9q и не между этими зарядами (см. рис.). Обозначим искомое расстояние через x и запишем условие равновесия:
\[ \begin{array}{l} {F_{1} =F_{2} ,\frac{k\left|q\right|\cdot \left|2q\right|}{\left(x-l\right)^{2}} =\frac{k\left|-9q\right|\cdot \left|2q\right|}{x^{2}} ,} \\ {\sqrt{\frac{1}{\left(x-l\right)^{2} } } =\sqrt{\frac{9}{x^{2}}} ,\frac{1}{x-l} =\frac{3}{x} ,} \\ {x=\frac{3l}{2} .} \end{array} \]
Ответ: 4) 3l/2.
Название: Re: 11. Закон Кулона
Отправлено: Виктор от 03 Февраля 2014, 13:48
А2.8. Три точечных заряда q1 = q2 = 24нКл и q3 = –24нКл расположены вдоль одной прямой. Расстояния между соседними зарядами одинаковы: r = 12 см. Модуль равнодействующей силы, с которой заряды действуют на заряд q2, равен:
1) 0,18 мН;       2) 0,36 мН;       3) 0,54 мН;      4) 0,72 мН;       5) 1,4 мН.
Решение: будем считать, что заряды вдоль прямой расположены в порядке перечисления. На заряд q2 действует кулоновская сила отталкивания F21 со стороны заряда q1, и сила притяжения F23, со стороны заряда  q3. Эти силы направлены в одну сторону (см. рис.), поэтому модуль их равнодействующей равен сумме модулей этих сил.
\[ F=F_{21} +F_{23} =\frac{k\left|q_{2} \right|\cdot \left|q_{1} \right|}{r^{2} } +\frac{k\left|q_{2} \right|\cdot \left|q_{3} \right|}{r^{2} } =\frac{k\left|q_{2} \right|}{r^{2} } \left(\left|q_{1} \right|+\left|q_{3} \right|\right). \]
Ответ: 4) 0,72 мН.
Название: Re: 11. Закон Кулона
Отправлено: Виктор от 03 Февраля 2014, 13:50
А2.9. Шарик массой m подвешен на нити в воздухе и имеет заряд q. Снизу от него на расстоянии r помещают второй шарик. Натяжение нити, удерживающей шарик, при этом увеличилась в n раз. Заряд второго шарика равен:
\[ \begin{array}{l} {1)\left|\frac{4\pi \varepsilon _{0} \cdot mg\cdot r^{2} \left(n-1\right)}{q} \right|;{\rm \; \; }2)-\left|\frac{4\pi \varepsilon _{0} \cdot mg\cdot r^{2} \left(n-1\right)}{q} \right|;{\rm \; \; }3)\frac{4\pi \varepsilon _{0} \cdot mg\cdot r^{2} \cdot n}{q} ;{\rm \; \; }} \\ {4)-\left|\frac{mg\cdot r^{2} \left(n-1\right)}{4\pi \varepsilon _{0} \cdot q} \right|;{\rm \; \; }5)-\left|\frac{mg\cdot r^{2} \left(n-1\right)}{q} \right|.} \end{array} \]
Решение: это задание очень похоже на задачу А2.5, только сила натяжения увеличилась (т.е. сила кулоновского взаимодействия шариков будет направлена вниз.). Это означает, что заряд второго шарика противоположного знака. Если считать первый шарик заряженным положительно, тогда второй будет заряжен отрицательно. Запишем условие равновесия
\[ F-mg=0,{\rm \; \; \; \; }n\cdot F-F_{k} -mg=0, \]
Выразим F из первого уравнения, подставим во второе и воспользуемся законом Кулона
\[ \begin{array}{l} {F_{k} =\left(n-1\right)\cdot mg,{\rm \; \; \; \; \; }F_{k} =\frac{\left|q\right|\cdot \left|q_{x} \right|}{4\pi \varepsilon _{0} \cdot r^{2}} ,} \\ {\frac{\left|q\right|\cdot \left|q_{x} \right|}{4\pi \varepsilon _{0} \cdot r^{2}} =\left(n-1\right)\cdot mg,{\rm \; \; \; \; \; \; }q_{x} =\left|\frac{4\pi \varepsilon _{0} \cdot r^{2} \cdot \left(n-1\right)\cdot mg}{q} \right|.} \end{array} \]
Ответ: 2) (заряд должен быть отрицательным)
Название: Re: 11. Закон Кулона
Отправлено: Виктор от 03 Февраля 2014, 13:53
А2.10. Одноимённые точечные заряды q1 = q2 = q3 = q расположены в вершинах равностороннего треугольника со стороной а. Модуль силы, действующей в вакууме на каждый заряд, равен:
\[ 1)\frac{q^{2}}{4\pi \varepsilon _{0} \cdot a^{2}} ;{\rm \; \; }2)\frac{q^{2} \sqrt{3}}{8\pi \varepsilon _{0} \cdot a^{2}} ;{\rm \; \; }3)\frac{q^{2} \sqrt{3}}{4\pi \varepsilon _{0} \cdot a^{2}} ;{\rm \; \; }4)\frac{q^{2} \sqrt{3} }{2\pi \varepsilon _{0} \cdot a^{2}} ;{\rm \; \; }5)\frac{3q^{2}}{4\pi \varepsilon _{0} \cdot a^{2}}. \]
Решение: заряды равны, расстояния между ними одинаковые, поэтому силы, с которыми они взаимодействуют, равны по модулю. Изобразим силы, действующие на третий заряд со стороны оставшихся двух (см. рис.). Модули сил определим по закону Кулона. Модуль равнодействующей этих сил F0 определим по теореме косинусов для диагонали параллелограмма (угол между сторонами в нашем случае равен 60° т.к. треугольник равносторонний)
\[ \begin{array}{l} {F_{1} =F_{2} =F=\frac{q^{2}}{4\pi \varepsilon _{0} \cdot a^{2}},} \\ {F_{0} =\sqrt{F_{1}^{2} +F_{2}^{2} +2\cdot F_{1} \cdot F_{2} \cdot \cos 60{}^\circ } =F\sqrt{3}.} \end{array} \]
Ответ: 3).
Название: Re: 11. Закон Кулона
Отправлено: Виктор от 16 Февраля 2014, 14:46
В1.1. Имеется некоторое вещество в количестве ν = 0,50 моль. Если у каждой тысячной молекулы отнять один электрон, то вещество приобретёт заряд, равный …Кл.
Решение: зная количество вещества, определим число молекул N, разделив его на тысячу, найдём число электронов. Заряд вещества будет положительным и равным по модулю суммарному заряду отнятых электронов
\[ \begin{array}{l} {N=\nu \cdot N_{a} ,N_{e} =\frac{\nu \cdot N_{a}}{1000} ,} \\ {q=N_{e} \cdot e=\frac{\nu \cdot N_{a} \cdot e}{1000}.} \end{array} \]
Na = 6.02∙1023 моль-1 – постоянная Авогадро, e = 1,6∙10-19 Кл - элементарный заряд (заряд электрона равен отрицательному элементарному).
Ответ: 48 Кл.
Название: Re: 11. Закон Кулона
Отправлено: Виктор от 16 Февраля 2014, 14:47
В1.2. Два положительных точечных заряда взаимодействуют в вакууме с силой, модуль которой F = 2,0 Н. Один заряд больше другого в k = 9 раз. Расстояние между зарядами r = 100 см. Величина Q большего заряда равна … мкКл.
Решение: пусть q = Q/9 – меньший заряд. Запишем закон Кулона и найдём Q
\[ \begin{array}{l} {F=\frac{k\cdot Q\cdot \frac{Q}{9}}{r^{2}} =\frac{k\cdot Q^{2} }{9\cdot r^{2}} ,} \\ {Q=3r\cdot \sqrt{\frac{F}{k}} .} \end{array} \]
Ответ: 45 мкКл.
Название: Re: 11. Закон Кулона
Отправлено: Виктор от 16 Февраля 2014, 14:50
В1.3. Два закреплённых точечных заряда q и 9q находятся на расстоянии l = 1,0 м друг от друга. Расстояние r от заряда q, на котором нужно поместить заряд 2q, чтобы он находился в равновесии, составляет … см.
Решение: (см. реш. А2.7.) для того, чтобы заряд находился в равновесии, сумма сил, действующих на него должна быть равна нулю. На заряд 2q действует кулоновские силы отталкивания F1 со стороны заряда q, и F2, со стороны заряда   9q. Эти силы должны быть равны по модулю и противоположны по направлению. При этом, заряд 2q должен находится на прямой, соединяющей заряды q и 9q, ближе к заряду q, дальше от заряда 9q, между этими зарядами (см. рис.). Запишем условие равновесия:
\[ \begin{array}{l} {F_{1} =F_{2} ,\frac{k\left|q\right|\cdot \left|2q\right|}{r^{2} } =\frac{k\left|9q\right|\cdot \left|2q\right|}{\left(l-r\right)^{2}},} \\ {\sqrt{\frac{1}{r^{2}}} =\sqrt{\frac{9}{\left(l-r\right)^{2}}} ,\frac{1}{r} =\frac{3}{l-r},} \\ {r=\frac{l}{4}.} \end{array} \]
Ответ: 25 см.
Название: Re: 11. Закон Кулона
Отправлено: Виктор от 16 Февраля 2014, 14:53
В1.4. Каждая из двух одинаковых сферических капелек воды имеет заряд, равный элементарному электрическому заряду. Если сила электрического отталкивания капелек уравновешивает силу гравитационного притяжения, то радиус r капельки равен … мкм.
Решение: будем считать, что расстояние между капельками R значительно больше радиуса r капельки. Масса капельки m = ρ∙V, где ρ = 1000 кг/м3 – плотность воды, V = 4πr3/3 – объём шара. Воспользуемся законом всемирного тяготения для определения силы гравитационного притяжения Fg и законом Кулона, для определения силы электрического отталкивания Fk. По условию задачи, эти силы равны по модулю, т.е.
\[ \begin{array}{l} {F_{g} =F_{k} ,{\rm \; \; \; \; \; }G\cdot \frac{m_{1} \cdot m_{2} }{R^{2} } =k\cdot \frac{q_{1} \cdot q_{2}}{R^{2}} ,{\rm \; \; \; \; \; }G\cdot m^{2} =k\cdot e^{2},} \\ {G\cdot \left(\rho \cdot \frac{4}{3} \pi \cdot r^{3} \right)^{2} =k\cdot e^{2},} \\ {r=\sqrt[{6}]{\frac{9\cdot k\cdot e^{2}}{16\cdot G\cdot \rho ^{2} \cdot \pi ^{2}}}.} \end{array} \]
Ответ: 76 мкм.
Название: Re: 11. Закон Кулона
Отправлено: Виктор от 16 Февраля 2014, 14:57
В1.5. Точечный заряд q = 2,0∙10-9 Кл находится на расстоянии r = 30 мм от металлической заземлённой стенки. Модуль силы, с которой взаимодействуют точечный заряд и стенка, равен …мкН.
Решение: под действием электрического поля заряда q электроны пластины придут в движения и начнут скапливаться под точечным зарядом, создавая отрицательный индуцированный заряд (пластина заземлена, то эти заряды натекут из заземления). Потенциал пластины постоянен и равен нулю.
Воспользуемся методом изображений, т.е. взаимодействие пластины с зарядом идентично взаимодействию двух точечных зарядов. Действительно, поле, создаваемое двумя точечными зарядами q1 = +q и q2 = –q , находящимися на расстоянии 2r друг от друга имеет во всех точках плоскости, перпендикулярной отрезку, соединяющими заряды и проходящей через ее середину, потенциал равный нулю, так как эти точки находятся на равном расстоянии от двух зарядов равных по величине и противоположных по направлению (см. рис.). Таким образом, сила взаимодействия будет равна
\[ F=k\cdot \frac{\left|q\right|\cdot \left|-q\right|}{\left(2r\right)^{2}} =\frac{k\cdot q^{2}}{4\cdot r^{2}}. \]
Ответ: 10 мкН.
Название: Re: 11. Закон Кулона
Отправлено: Виктор от 16 Февраля 2014, 14:58
В1.6. Два одинаковых проводящих шарика, расположенные в вакууме и имеющие заряды q1 = 38 нКл и q2 = –18нКл, соприкоснулись и разошлись на расстояние r = 10 см. Модуль силы взаимодействия между ними после соприкосновения равен … мкН.
Решение: при соприкосновении заряд межу шариками перераспределится, а т.к. шарики одинаковые, то на них будут одинаковые заряды q. Запишем закон сохранения электрического заряда:
\[ q_{1} +q_{2} =2q,{\rm \; \; \; \; \; \; }q=\frac{q_{1} +q_{2}}{2}. \]
Запишем закон Кулона для шариков после соприкосновения
\[ F=\frac{k\cdot q^{2}}{r^{2}} =\frac{k\cdot \left(q_{1} +q_{2} \right)^{2} }{4\cdot r^{2}}. \]
Ответ: 90 мкН.
Название: Re: 11. Закон Кулона
Отправлено: Виктор от 16 Февраля 2014, 15:01
В1.7. Согласно ядерной модели атом водорода состоит из протона и электрона, вращающегося вокруг протона по круговой орбите радиусом R = 0,53∙10-10 м. Модуль скорости движения электрона по орбите равен … км/с.
Решение: при движении по окружности центростремительное ускоре-ние электрону (имеющему отрицательный элементарный заряд e) сообщает сила кулоновского взаимодействия (притяжения) со стороны положительно заряженного протона (заряд протона равен элементарному). Запишем второй закон Ньютона, учтём, что центростремительное ускорение a = υ2/R, e = 1,6∙10-19 Кл, масса электрона m = 9,1∙10-31 кг:
\[ \begin{array}{l} {F=m\cdot a,{\rm \; \; \; \; }\frac{k\cdot e^{2}}{R^{2}} =m\cdot \frac{\upsilon ^{2}}{R},} \\ {\upsilon =\sqrt{\frac{k\cdot e^{2} }{m\cdot R}}.} \end{array} \]
Ответ: 2,2∙103 км/с.
Название: Re: 11. Закон Кулона
Отправлено: Виктор от 16 Февраля 2014, 16:19
В1.8. Два одинаковых маленьких шарика подвешены на лёгких нитях длиной l = 1,1 м, закреплённых в одной точке. После того как шарикам сообщили одинаковые заряды q = 1,0 мкКл, нити разошлись так, что угол между ними стал φ = 60°. Масса шарика равна …г.
Решение:  шарики находятся в равновесии: сумма сил равна нулю. T – сила натяжения нити, F – сила кулоновского отталкивания, mg – сила тяжести (см. рис.). Угол α = φ/2.
В проекциях на систему координат:
Ось X:   F = T∙ sinα,
Ось Y:   mg = T∙ cosα,
разделим уравнения, учтём закон Кулона и что расстояние между шариками r =2∙l∙sinα:
\[ \begin{array}{l} {\frac{k\cdot q^{2}}{r^{2} \cdot mg} =tg\alpha ,} \\ {m=\frac{k\cdot q^{2} }{4\cdot l^{2} \cdot g\cdot \sin ^{2} \left(\frac{\phi }{2} \right)\cdot tg\left(\frac{\phi }{2} \right)}.} \end{array} \]
Ответ: 1,3 г.
Название: Re: 11. Закон Кулона
Отправлено: Виктор от 16 Февраля 2014, 16:20
В1.9. В вершинах равностороннего треугольника, сторона которого а = 50 мм, находятся одинаковые заряды q = 0,32 мкКл. Модуль силы, действующей на один из них, равен …Н.
Решение: см. решение задания А2.10.
\[ F_{0} =\frac{q^{2} \sqrt{3} }{4\pi \varepsilon _{0} \cdot a^{2}}. \]
Ответ: 0,64 Н.
Название: Re: 11. Закон Кулона
Отправлено: Виктор от 16 Февраля 2014, 16:24
В1.10. Тонкая шёлковая нить выдерживает максимальную силу натя-жения, модуль которой F = 18 мН. На нити в воздухе подвешен маленький шарик массой m = 1,2 г с зарядом q1 = 20 нКл. Снизу по линии подвеса к нему подносят шарик, заряд которого q2 = –16 нКл. Нить разорвётся, когда расстояние между центрами шариков будет равно …мм.
Решение: пусть искомое расстояние между шариками рано r. На шарик, висящий на нити действуют три силы: mg – сила тяжести, направленная вертикально вниз, F – сила натяжения нити, направленная вертикально вверх и Fk  - сила кулоновского притяжения, направленная вертикально вниз (см. рис.). В момент разрыва нити можно считать, что сумма этих сил равна нулю, соответственно и сумма проекций сил на выбранную координатную ось также равна нулю, т.е.
\[ F-mg-F_{k} =0, \]
Воспользуемся законом Кулона, и найдём расстояние
\[ \begin{array}{l} {k\cdot \frac{\left|q_{1} \right|\cdot \left|q_{2} \right|}{r^{2}} =F-mg,} \\ {r=\sqrt{\frac{k\cdot \left|q_{1} \right|\cdot \left|q_{2} \right|}{F-mg}}.} \end{array} \]
Ответ: 22 мм.
Название: Re: 11. Закон Кулона
Отправлено: Виктор от 16 Февраля 2014, 16:26
В2.1. Если из каждого десятого атома частички удалить по одному электрону, то заряд частички свинца массой m = 1,0∙10-3 г будет равен …мКл. Масса моля свинца согласно периодической системе элементов A = 0,207 кг/моль.
Решение: заряд частички буде положительным и равным по модулю суммарному заряду удалённых электронов. Число удалённых электронов определим, зная массу вещества и молярную массу:
\[ \begin{array}{l} {N=\frac{m}{A} \cdot N_{a} ,N_{e} =\frac{m\cdot N_{a} }{10\cdot A} ,} \\ {q=N_{e} \cdot e=\frac{m\cdot N_{a} \cdot e}{10\cdot A} .} \end{array} \]
Na = 6.02∙1023 моль-1 – постоянная Авогадро, e = 1,6∙10-19 Кл - элементарный заряд (заряд электрона).
Ответ: 47 мКл.
Название: Re: 11. Закон Кулона
Отправлено: Виктор от 16 Февраля 2014, 16:29
В2.2. Точечные заряды +q и +9q, где q = 80 нКл, расположены на расстоянии l = 80 см друг от друга. Что бы вся система находилась в равновесии, нужно взять заряд … нКл и поместить его на расстоянии … см от первого заряда.
Решение: для того, чтобы система находилась в равновесии, сумма сил, действующих на заряды должна быть равна нулю. Искомый заряд qx должен быть отрицательным и находится на прямой, соединяющей заряды +q и +9q, ближе к заряду q, дальше от заряда +9q, между этими зарядами. На каждый из зарядов действует пара сил, причём эти силы должны быть равны по модулю и противоположны по направлению (см. рис.). Обозначим искомое расстояние через x, индексы у сил – по номерам зарядов. Условие равновесия достаточно записать для двух зарядов. Запишем для заряда qx:
\[ \begin{array}{l} {F_{{\rm x}1} =F_{x2} ,\frac{k\left|q_{x} \right|\cdot \left|q\right|}{x^{2} } =\frac{k\left|q_{x} \right|\cdot \left|9q\right|}{\left(l-x\right)^{2}} ,} \\ {\sqrt{\frac{1}{x^{2}}} =\sqrt{\frac{9}{\left(l-x\right)^{2}}} ,\frac{1}{x} =\frac{3}{l-x} ,} \\ {x=\frac{l}{4}.} \end{array} \]
Теперь запишем условие равновесия для заряда q:
\[ \begin{array}{l} {F_{12} =F_{1x} ,\frac{k\left|q\right|\cdot \left|9q\right|}{l^{2}} =\frac{k\left|q\right|\cdot \left|q_{x} \right|}{x^{2}},} \\ {\frac{9q}{l^{2}} =\frac{\left|q_{x} \right|}{\left(\frac{l}{4} \right)^{2}} ,9q=16\cdot \left|q_{x} \right|,} \\ {\left|q_{x} \right|=\frac{9}{16} q.} \end{array} \]
Ответ: 20 см, – 45 нКл.
Название: Re: 11. Закон Кулона
Отправлено: Виктор от 16 Февраля 2014, 16:33
В2.3. В центр квадрата, в вершинах которого находится по заряду Q = 18 нКл, помещён отрицательный заряд. Величина этого заряда, чтобы система находилась в равновесии, должна быть равна … нКл.
Решение: для того, чтобы система находилась в равновесии, сумма сил, действующих на заряды должна быть равна нулю. На любой заряд действует четыре силы со стороны остальных зарядов. Изобразим силы, действующие на заряд (т.к. картинка симметрична, то изобразим только на один, например левый верхний – см. рис.). Пусть сторона квадрата равна a, тогда диагональ квадрата a√2, искомый заряд равен q. По закону Кулона рассчитаем силы:
\[ F_{2} =F_{4} =\frac{k\cdot Q^{2} }{a^{2} } ,{\rm \; \; \; }F_{3} =\frac{k\cdot Q^{2} }{\left(a\sqrt{2} \right)^{2}} =\frac{1}{2} \cdot \frac{k\cdot q^{2} }{a^{2} } ,{\rm \; \; \; }F_{5} =\frac{k\cdot Q\cdot q}{\left(\frac{a\sqrt{2}}{2} \right)^{2}} =2\cdot \frac{k\cdot Q\cdot q}{a^{2}}. \]
Сумма сил будет равна нулю, т.е (см.рис.):
\[ \begin{array}{l} {\left(\vec{F}_{2} +\vec{F}_{4} \right)+\vec{F}_{3} +\vec{F}_{5} =0,{\rm \; \; \; \; }\vec{F}_{24} +\vec{F}_{3} +\vec{F}_{5} =0,{\rm \; \; \; \; }\vec{F}_{0} +\vec{F}_{5} =0,{\rm \; \; }F_{0} =F_{5} ,} \\ {F_{0} =F_{24} +F_{3} =\sqrt{F_{2}^{2} +F_{4}^{2} } +F_{3} =\frac{k\cdot Q^{2}}{a^{2}} \cdot \left(\sqrt{2} +\frac{1}{2} \right),} \\ {\frac{k\cdot Q^{2}}{a^{2}} \cdot \left(\sqrt{2} +\frac{1}{2} \right)=2\cdot \frac{k\cdot Q\cdot q}{a^{2}} ,} \\ {q=Q\cdot \left(\frac{\sqrt{2}}{2} +\frac{1}{4} \right).} \end{array} \]
Ответ: –17 нКл.
Название: Re: 11. Закон Кулона
Отправлено: Виктор от 16 Февраля 2014, 16:36
В2.4. Два шарика массами m1 = m2 = m = 1,5 г каждый подвешены в вакууме в одной точке на шёлковых нитях. После сообщения одинаковых по модулю отрицательных зарядов q1 = q2 шарики разошлись на расстояние r = 10 см и нити образовали угол между ними стал α = 60°. Число электронов, полученных каждым шариком, равно (полученное значение умножьте на 10-11)
Решение: задание похоже на задачу В1.8. Шарики находятся в равновесии: сумма сил равна нулю. T – сила натяжения нити, F – сила кулоновского отталкивания, mg – сила тяжести (см. рис.).
В проекциях на систему координат:
Ось X:   F = T∙ sin(α/2),
Ось Y:   mg = T∙ cos(α/2),
разделим уравнения, учтём закон Кулона и свойство дискретности заряда: q = N∙e, где e = 1,6∙10-19 Кл - элементарный заряд (заряд электрона).
\[ \begin{array}{l} {\frac{k\cdot q^{2}}{r^{2} \cdot mg} =tg\frac{\alpha }{2} ,{\rm \; \; \; \; \; \; }k\cdot \left(N\cdot e\right)^{2} =tg\frac{\alpha }{2} \cdot r^{2} \cdot mg,} \\ {N=\frac{r}{e} \cdot \sqrt{\frac{mg}{k} \cdot tg\frac{\alpha }{2}}.} \end{array} \]
Ответ: 6,1.
Название: Re: 11. Закон Кулона
Отправлено: Виктор от 16 Февраля 2014, 17:14
В2.5. Три одинаковых маленьких шарика массой m = 0,25 г каждый подвешены в одной точке на одинаковых нитях длиной l = 30 см. Чтобы каждая нить составила с вертикалью угол α = 30°, шарикам нужно сообщить заряды … нКл.
Решение: шарики одинаковой массы, поэтому после установления равновесия они расположатся в вершинах равностороннего треугольника. Пусть сторона треугольника равна a. На шарики действуют силы: T – сила натяжения нити, F – сила отталкивания от двух других шариков, равная равнодействующей двух кулоновских сил, mg – сила тяжести. Сделаем рисунок в двух ракурсах: вид сбоку и сверху, силы изобразим для одного шарика.
Как видно из рисунка: r =l∙sinα,  где r – является также радиусом описанной окружности, тогда сторона треугольника: a = r∙√3. Запишем условие равновесия шарика в проекциях и разделим уравнения, тогда
\[ \begin{array}{l} {F=T\cdot \sin \alpha {\rm ,\; \; \; \; }mg=T\cdot \cos \alpha ,} \\ {F=mg\cdot tg\alpha.} \end{array} \]
С другой стороны сила F равна (по теореме косинусов для параллелограмма)
\[ F=\sqrt{F_{1}^{2} +F_{2}^{2} +2\cdot F_{1} \cdot F_{2} \cdot \cos 60{}^\circ } =\frac{kq^{2}}{a^{2}} \cdot \sqrt{3}. \]
Приравняем, подставим a, r и определим заряд шарика q:
\[ \begin{array}{l} {\frac{k\cdot q^{2} }{\left(l\cdot \sin \alpha \cdot \sqrt{3} \right)^{2} } \cdot \sqrt{3} =mg\cdot tg\alpha ,} \\ {q=l\cdot \sin \alpha \cdot \sqrt{\frac{\sqrt{3} \cdot mg\cdot tg\alpha }{k}}.} \end{array} \]
Ответ: 79 нКл.
Название: Re: 11. Закон Кулона
Отправлено: Виктор от 16 Февраля 2014, 17:20
В2.6. Тонкое кольцо радиусом R = 100 мм равномерно заряжено зарядом Q = 60,0 нКл. В вакууме на оси кольца на расстоянии l = 200 мм от его центра помещён точечный заряд q = 10,0 нКл. Модуль силы, действующей на заряд q, равен … мкН.
Решение: разобьём кольцо на малые участки, несущие заряд qi. Тогда между шариком и участком кольца (который считаем точечным) возникает сила кулоновского отталкивания. Изобразим данное взаимодействие (см. рис.) Для нахождения силы, действующей на заряд q, воспользуемся принципом суперпозиции сил, т.е. просуммируем силы, действующие на заряд q, и как видно из рисунка,
\[ \begin{array}{l} {r^{2} =R^{2} +l^{2} ,} \\ {F_{i} =\frac{k\cdot q\cdot q_{i} }{r^{2} } =\frac{k\cdot q\cdot q_{i}}{R^{2} +l^{2}} ,} \\ {F_{ix} =F_{i} \cdot \cos \alpha =\frac{k\cdot q\cdot q_{i} }{r^{2}} \cdot \frac{l}{r} =k\cdot q\cdot q_{i} \cdot \frac{l}{\left(R^{2} +l^{2} \right)^{\frac{3}{2}}}.} \end{array} \]
Просуммируем силы. Как видно из рисунка, сумма сил на ось Y будет равна нулю, поэтому сила, действующая на заряд равна сумме Fix, т.е.
\[ \begin{array}{l} {F=\sum _{i}F_{ix}  =\sum _{i}\left(k\cdot q\cdot q_{i} \cdot \frac{l}{\left(R^{2} +l^{2} \right)^{\frac{3}{2}}} \right) =\frac{k\cdot q\cdot l}{\left(R^{2} +l^{2} \right)^{\frac{3}{2}}} \cdot \sum _{i}q_{i}} \\ {F=\frac{k\cdot q\cdot Q\cdot l}{\left(R^{2} +l^{2} \right)^{\frac{3}{2}}}.} \end{array} \]
Ответ: 97 мкН.
Название: Re: 11. Закон Кулона
Отправлено: Виктор от 16 Февраля 2014, 17:55
В2.7. Две шайбы массами m1 = m2 = 2,0 г, заряженные разноимёнными зарядами q1 = 1,0 мкКл и q2 = –1,0 мкКл, связаны нитью длиной l = 100 см. Шайбы находятся на горизонтальной поверхности, коэффициент трения скольжения по которой μ = 0,20. Чтобы система не двигалась по поверхности, к шайбам нужно приложить внешние силы, минимальный модуль которых равен …мН.
Решение: т.к. шайбы заряжены разноимённо, то они будут притяги-ваться, поэтому сила извне должна быть направлена против силы притяже-ния, что бы удерживать шайбы. Сила трения будет направлена против воз-можного движения. Пусть шайбы находятся на грани скольжения. На каж-дую шайбу действует шесть сил: mg – сила тяжести, N – сила нормальной реакции опоры, Ftr – максимальна сила трения покоя (сила трения скольжения), F – внешняя сила, Fn - сила натяжения нити и Fk кулоновская сила притяжения.  Изобразим силы (см. рис.).
Сумма этих сил должны быть равна нулю. В проекциях на систему координат, получим систему уравнений (например, для шайбы 1):
\[  \begin{align}  & {{F}_{k1}}+{{F}_{n}}-{{F}_{tr}}_{1}-F=0, \\  & {{N}_{1}}-{{m}_{1}}g=0, \\  & {{F}_{tr}}_{1}=\mu \cdot {{N}_{1}}. \\ \end{align}. \]
Если считать, что внешняя сила должна быть минимальной, то в этом случае нить, связывающая шайбы, не будет натянута, т.е. Fn = 0, тогда
\[ \begin{align}  & {{F}_{tr}}_{1}=\mu \cdot {{m}_{1}}g, \\  & F={{F}_{k1}}-{{F}_{tr}}_{1}=\frac{k\cdot \left| {{q}_{1}} \right|\cdot \left| {{q}_{2}} \right|}{{{l}^{2}}}-\mu \cdot {{m}_{1}}g. \\ \end{align} \]
Ответ: 5мН.
Название: Re: 11. Закон Кулона
Отправлено: Виктор от 16 Февраля 2014, 18:35
В2.8. Вокруг неподвижного шарика с зарядом q = 1,2∙10-9 Кл вакууме равномерно вращается по окружности отрицательно заряженный шарик. Радиус окружности r = 80 см и много больше размеров шариков. Отношение заряда подвижного шарика к его массе γ = 171. Угловая скорость вращения шарика равна …с.
Решение: пусть подвижный шарик имеет заряд, модуль которого равен Q. При движении по окружности центростремительное ускорение шарику сообщает сила кулоновского взаимодействия (притяжения) со стороны положительно заряженного неподвижного шарика. Запишем второй закон Ньютона, учтём, что центростремительное ускорение a = ω2∙r, ω - угловая скорость,  и Q/m = γ.
\[ \begin{array}{l} {F=m\cdot a,{\rm \; \; \; \; }\frac{k\cdot q\cdot Q}{r^{2} } =m\cdot \omega ^{2} \cdot r,} \\ {\omega ^{2} =\frac{k\cdot q\cdot Q}{r^{3} \cdot m},{\rm \; \; \; \; \; }\omega =\sqrt{\frac{k\cdot q\cdot \gamma }{r^{3}}}.} \end{array} \]
Ответ: 60 рад/с.
Название: Re: 11. Закон Кулона
Отправлено: Виктор от 16 Февраля 2014, 18:38
В2.10. Три одинаковых маленьких шарика, соединённые вместе двумя непроводящими пружинами одинаковой жёсткости, расположены в воздухе вдоль одной прямой на гладкой горизонтальной поверхности. Расстояние между крайними шариками l0 = 10 см. Каждому шарику сообщили одинаковые одноимённые заряды q = 1,0∙10-6 Кл, и расстояние между крайними шариками стало l = 20 см. Жёсткость пружины равна … Н/м.
Решение: рассмотрим силы, действующие только на один крайний шарик: mg – сила тяжести, N – сила нормальной реакции опоры, Fy - сила упругости,  F31 и F32 – силы взаимодействия между зарядами.  Изобразим силы (см. рис.).
Шарик в равновесии, сумма сил равна нулю, тогда и сумма проекций также равна нулю. В начальный момент пружины были не деформированы, после сообщения зарядов пружины удлинились, причём каждая на величину Δl = (ll0)/2. Сила упругости подчиняется закону Гука: Fy = k∙Δl. Силы взаимодействия между зарядами подчиняются закону Кулона. Запишем условие равновесия в проекции на ось X
\[ \begin{array}{l} {F_{31} +F_{32} -F_{y} =0,{\rm \; \; \; \; }\frac{k\cdot q^{2}}{l^{2}} +\frac{k\cdot q^{2}}{\left(\frac{l}{2} \right)^{2}} -k\cdot \Delta l=0,} \\ {k\cdot \frac{l-l_{0}}{2} =\frac{5\cdot k\cdot q^{2} }{l^{2}},} \\ {k=\frac{10\cdot k\cdot q^{2}}{l^{2} \cdot \left(l-l_{0} \right)}.} \end{array} \]
Ответ: 23 Н/м.