Форум сайта alsak.ru

Задачи и вопросы по физике => Капельян Пособие для подготовки к ЦТ 2011 => : alsak 29 October 2013, 12:57

: 30. Линзы. Оптические приборы
: alsak 29 October 2013, 12:57
Решения задач из книги:
Капельян, С.Н. Физика: пособие для подготовки к централизованному тестированию /С.Н. Капельян, В.А. Малышонок. — Минск: Аверсэв, 2011. — 480 с.

30. Линзы. Оптические приборы

Тест А1
А1 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10870.msg46502.html#msg46502) А2 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10870.msg46503.html#msg46503) А3 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10870.msg46504.html#msg46504) А4 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10870.msg46505.html#msg46505) А5 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10870.msg46506.html#msg46506) А6 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10870.msg46507.html#msg46507) А7 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10870.msg46508.html#msg46508) А8 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10870.msg46509.html#msg46509) А9 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10870.msg46510.html#msg46510) А10 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10870.msg46511.html#msg46511)

Тест А2
А1 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10870.msg46512.html#msg46512) А2 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10870.msg46513.html#msg46513) А3  (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10870.msg46514.html#msg46514) А4 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10870.msg46515.html#msg46515) А5 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10870.msg46516.html#msg46516) А6 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10870.msg46517.html#msg46517) А7 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10870.msg46518.html#msg46518) А8 (http://) А9 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10870.msg46520.html#msg46520) А10  (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10870.msg46521.html#msg46521)

Тест В1
В1 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10870.msg46522.html#msg46522) В2 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10870.msg46523.html#msg46523) В3 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10870.msg46524.html#msg46524) В4 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10722.msg39972.html#msg39972) В5 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10870.msg46525.html#msg46525) В6 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10870.msg46542.html#msg46542) В7 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10721.msg39964.html#msg39964) В8 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10870.msg46543.html#msg46543) В9 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10870.msg46544.html#msg46544) В10 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10870.msg46545.html#msg46545)

Тест В2
В1 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10870.msg46546.html#msg46546) В2 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10870.msg46547.html#msg46547) В3 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10870.msg46548.html#msg46548) В4 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10870.msg46549.html#msg46549) В5 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10870.msg46570.html#msg46570) В6 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10870.msg46571.html#msg46571) В7 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10870.msg46573.html#msg46573) В8 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10870.msg46574.html#msg46574) В9 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10870.msg46575.html#msg46575) В10 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10870.msg46576.html#msg46576)

Обобщающий тест 8
1 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10870.msg46828.html#msg46828) 2 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10870.msg46829.html#msg46829) 3 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10870.msg46830.html#msg46830) 4 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10870.msg46831.html#msg46831) 5 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10870.msg46866.html#msg46866) 6 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10870.msg46867.html#msg46867) 7 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10870.msg46868.html#msg46868) 8 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10870.msg46869.html#msg46869) 9 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10870.msg46870.html#msg46870) 10 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10870.msg46871.html#msg46871)
11 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10870.msg46872.html#msg46872) 12 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10870.msg46873.html#msg46873) 13 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10870.msg46874.html#msg46874) 14 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10870.msg46875.html#msg46875) 15 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10870.msg46876.html#msg46876) 16 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10870.msg46877.html#msg46877) 17 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10870.msg46878.html#msg46878) 18 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10870.msg46879.html#msg46879) 19 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10870.msg46880.html#msg46880) 20 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10870.msg46881.html#msg46881)
: Re: 30. Линзы. Оптические приборы
: Виктор 06 June 2015, 12:43
А1.1. Укажите правильные утверждения, касающиеся предмета и его изображения, полученного с помощью линзы:
а) мнимое изображение всегда прямое;
б) действительное изображение может быть прямым и перевёрнутым;
в) действительное изображение всегда перевёрнутое;
г) с помощью рассеивающей линзы можно получить только мнимое изображение;
д) с помощью собирающей линзы можно получить только действительное  изображение.
   1) а, в, г;       2) а, г, д;       3) в, г;       4) а, г;      5) б, в, д.
Решение: если вспомнить правила построения изображений в линзах (например, что для построения можно использовать 2 луча: через оптический центр и параллельный оптической оси), то можно прийти к выводу: в собирающей линзе может быть и действительное и мнимое изображения, причём действительное только перевёрнутое, а мнимое только прямое. В рассеивающей линзе изображение всегда мнимое и прямое. Поэтому
Ответ: 1) а, в, г.
: Re: 30. Линзы. Оптические приборы
: Виктор 06 June 2015, 12:55
А1.2. Пучок лучей, параллельных главной оптической оси, после преломления в линзе расходится. Если продолжения лучей пересекаются на расстоянии l = 16 см от линзы, то её оптическая сила составляет:
     1) – 4 дптр;   2) – 6,3 дптр;     3) – 32 дптр;     4) + 0,16 дптр;    5) + 2,5 дптр.
Решение: поскольку лучи, параллельные главной оптической оси, падают на рассеивающую линзу, то после преломления они разойдутся так, что мнимые продолжения рассеянных лучей пересекутся в её фокусе. Таким образом, расстояние l является фокусным расстоянием этой линзы. Оптическая сила  это величина, обратная фокусному расстоянию  D = 1/F и в системе СИ измеряется в диоптриях (дптр = м-1). Для рассеивающей линзы D < 0, для собирающей D > 0. Таким образом: F = l = 0,16 м,  D = – 1/0,16 = – 6,25 дптр.
Ответ: 2) – 6,3 дптр.
: Re: 30. Линзы. Оптические приборы
: Виктор 06 June 2015, 12:58
А1.3. Если изображение предмета, помещённого на расстоянии d = 10 см от собирающей линзы, получается на расстоянии f = 20 см от неё, то увеличение линзы равно:
  1) 1,0;      2) 2,0;       3) 2,5;      4) 3,0;       5) 4,0.
Решение: под линейным увеличением Г линзы понимают отношение линейного размера изображения (расстояния до изображения от линзы) к линейному размеру предмета (расстояния до предмета от линзы), т.е.
\[ \Gamma =\frac{f}{d} =\frac{20}{10}=2. \]
Ответ: 2) 2,0; 
: Re: 30. Линзы. Оптические приборы
: Виктор 06 June 2015, 13:02
А1.4. Единица измерения оптической силы линзы в СИ может быть представлена как:
1) Н;      2) 1/Н;       3) м;      4) 1/м;       5) среди ответов нет правильного.
Решение: оптическая сила  это величина, обратная фокусному расстоянию D = 1/F и в системе СИ измеряется в диоптриях (дптр = м-1). Для рассеивающей линзы D < 0, для собирающей D > 0. Таким образом
Ответ: 4) 1/м.
: Re: 30. Линзы. Оптические приборы
: Виктор 06 June 2015, 13:05
А1.5. Если действительное изображение предмета, помещённого на рас-стоянии d = 15 см от собирающей линзы, получается на расстоянии f = 30 см от неё, то оптическая сила линзы равна:
1)  0,1 дптр;   2)  0,2 дптр;     3)  1,0 дптр;     4)  5,0 дптр;    5)  10 дптр.
Решение: применим формулу тонкой линзы
\[ D=\frac{1}{F} =\frac{1}{d} +\frac{1}{f}, \]
Здесь все слагаемые положительные т.к. линза собирающая, предмет и изображение действительные. После подстановки данных в единицах СИ
Ответ: 5)  10 дптр.
: Re: 30. Линзы. Оптические приборы
: Виктор 06 June 2015, 13:08
А1.6. Расстояние l между предметом и равным ему действительным изображением составляет 2 м. Оптическая сила линзы равна:
1)  1 дптр;   2)  2 дптр;     3)  3 дптр;     4)  4 дптр;    5)  5 дптр.
Решение: пусть d – расстояние от предмета до линзы, f – расстояние от линзы до изображения, тогда l = d + f . Линейное увеличение линзы Г = 1 (размер изображения равен предмету). Составим систему уравнений, используя формулы тонкой линзы и линейного увеличения и условие задачи
\[ \left\{\begin{array}{l} {D=\frac{1}{d} +\frac{1}{f} ,} \\ {l=d+f,} \\ {\frac{f}{d} =\Gamma =1.} \end{array}\right. \]
Решим полученную систему уравнений, например
\[ \begin{array}{l} {f=d,{\rm \; \; \; \; \; }l=2\cdot d,{\rm \; \; \; \; \; }f=d=\frac{l}{2},} \\ {D=\frac{1}{d} +\frac{1}{f} =\frac{2}{l} +\frac{2}{l} =\frac{4}{l}.} \end{array} \]
Ответ: 2)  2 дптр.
: Re: 30. Линзы. Оптические приборы
: Виктор 06 June 2015, 13:11
А1.7. Фокусное расстояние собирающей линзы F = 0,20 м. На каком расстоянии от линзы следует установить предмет, чтобы его изображение получилось в натуральную величину?
1)  10 см;   2)  20 см;     3)  40 см;     
4)  80 см;   5)  такое положение невозможно.
Решение: линейное увеличение линзы Г = 1 (изображение в натураль-ную величину). Пусть d – расстояние от предмета до линзы (искомое расстояние),  f – расстояние от линзы до изображения. Запишем формулу линейного увеличения и формулу линзы:
\[ \begin{array}{l} {\frac{f}{d} =\Gamma =1,{\rm \; \; \; \; \; }f=d,} \\ {\frac{1}{F} =\frac{1}{d} +\frac{1}{f} =\frac{1}{d} +\frac{1}{d} =\frac{2}{d},} \\ {d=2\cdot F.} \end{array} \]
Ответ: 3)  40 см.
: Re: 30. Линзы. Оптические приборы
: Виктор 06 June 2015, 13:15
А1.8. Если действительное изображение предмета, полученное с помощью собирающей линзы с фокусным расстоянием F = 10 см, находится на расстоянии f = 30 см от линзы, то предмет находится от линзы на расстоянии, равном:
1)  5,0 см;   2)  10 см;     3)  15 см;    4)  25 см;     5)  50 см.
Решение: запишем формулу линзы (все слагаемые положительные, т.к. линза собирающая, изображение и предмет действительные)
\[ \begin{array}{l} {\frac{1}{F} =\frac{1}{d} +\frac{1}{f} ,{\rm \; \; \; \; \; \; }\frac{1}{d} =\frac{1}{F} -\frac{1}{f} =\frac{f-F}{F\cdot f} ,} \\ {d=\frac{F\cdot f}{f-F}.} \end{array} \]
Ответ: 3)  15 см.
: Re: 30. Линзы. Оптические приборы
: Виктор 06 June 2015, 13:18
9. Наибольшее расстояние между предметом и собирающей линзой с оптической силой D = 2,5 дптр, при котором получается прямое изображение предмета, равно:
1)  25 см;   2)  40 см;     3)  80 см;    4)  2,5 м;     5)  4 м.
Решение: в собирающей линзе может быть и действительное и мнимое изображения, причём действительное только перевёрнутое, а мнимое только прямое. Мнимое изображение в такой линзе получается только в одном случае, если расстояние между предметом и линзой меньше фокусного:
\[ d<F,{\rm \; \; \; \; \; }F=\frac{1}{D} ,{\rm \; \; \; \; \; }d<\frac{1}{D}. \]
Ответ: 2)  40 см.
: Re: 30. Линзы. Оптические приборы
: Виктор 06 June 2015, 13:21
10. Лупа позволяет получить пятикратное увеличение. Оптическая сила этой лупы равна:
1)  5 дптр;   2)  10 дптр;     3)  20 дптр;     4)  25 дптр;    5)  –10 дптр.
Решение: увеличение лупы (Г = 5) с учётом оптической силы D = 1 / F
\[ \begin{array}{l} {\Gamma =\frac{d_{0} }{F} =d_{0} \cdot D,} \\ {D=\frac{\Gamma }{d_{0}}.} \end{array} \]
здесь d0 = 25 см – расстояние наилучшего зрения для нормального глаза человека.
Ответ: 3)  20 дптр.
: Re: 30. Линзы. Оптические приборы
: Виктор 06 June 2015, 13:28
1. На тонкую собирающую линзу падает сходящийся пучок лучей. Продолжения лучей пересекаются за линзой на расстоянии l1  = 50 см, а преломлённые лучи – на расстоянии l2 = 25 см. Если обе точки лежат на главной оптической оси, то фокусное расстояние составляет:
1)  25 см;   2)  33 см;     3)  50 см;    4)  75 см;     5)  100 см.
Решение: рассмотрим крайний луч. Поскольку он, падает на собирающую линзу не параллельно оптической оси, то после преломления он должен пройти через побочный фокус. Проведём побочную оптическую ось, параллельную падающему лучу, на пересечении этой оси с преломлённым лучом и будет расположен побочный фокус линзы. Опустим  из него перпендикуляр на главную оптическую ось (фокальная плоскость) и получим положение главного фокуса линзы F (см. рисунок)
Анализируя рисунок, нетрудно заметить две пары подобных треугольников: треугольники FF'O и OCВ, а также FF'А и OCА. Причём  OF = F – фокусное расстояние линзы (его нужно определить), OA = l2, OB = l1 - согласно условия задачи. Из подобия этих треугольников, следует
\[ \begin{array}{l} {\frac{FF'}{OC} =\frac{FO}{OB} =\frac{F}{l_{1}},} \\ {\frac{FF'}{OC} =\frac{FA}{OA} =\frac{F-l_{2}}{l_{2}} ,} \end{array} \]
Таким образом, приравняв, получим
\[ \begin{array}{l} {\frac{F}{l_{1}} =\frac{F-l_{2}}{l_{2}},} \\ {F=\frac{l_{1} \cdot l_{2}}{l_{1} -l_{2}}.} \end{array} \]
Ответ: 3)  50 см.
: Re: 30. Линзы. Оптические приборы
: Виктор 06 June 2015, 13:32
2. Если расстояние l от предмета до его изображения в k = 5 раз больше, чем расстояние d от предмета до линзы, то её увеличение составляет:
1)  2;      2)  3;     3)  4;      4)  5;     5)  10.
Решение: если d – расстояние от предмета до линзы, то  f – расстояние от линзы до изображения, тогда  l = d + f -  расстояние от предмета до его изображения. Линейное увеличение линзы  Г = f / d.  По условию задачи l = 5∙d. Тогда
\[ d+f\; =5\cdot d,{\rm \; \; \; \; \; \; }f=4\cdot d,{\rm \; \; \; \; \; }\Gamma =\frac{f}{d} =4. \]
Ответ: 3)  4.
: Re: 30. Линзы. Оптические приборы
: Виктор 06 June 2015, 13:36
3. Предмет расположен на главной оптической оси собирающей линзы на расстоянии d = 20 см от неё. Если действительное изображение предмета получено на расстоянии 4F от линзы (F – фокусное расстояние), то величина F равна:
1)  5,0 см;   2)  10 см;     3)  15 см;    4)  20 см;     5)  40 см.
Решение: запишем формулу линзы (все слагаемые положительные, т.к. линза собирающая, изображение и предмет действительные), учтём, что по условию задачи  f = 4F:
\[ \begin{array}{l} {\frac{1}{F} =\frac{1}{d} +\frac{1}{f} =\frac{1}{d} +\frac{1}{4\cdot F} ,{\rm \; \; \; \; \; \; }\frac{1}{F} -\frac{1}{4\cdot F} =\frac{1}{d} ,} \\ {\frac{3}{4\cdot F} =\frac{1}{d} ,{\rm \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; }F=\frac{3\cdot d}{4} .} \end{array} \]
Ответ: 3)  15 см
: Re: 30. Линзы. Оптические приборы
: Виктор 06 June 2015, 13:39
4. С помощью линзы на экране получено изображение предмета, в 4 раза по площади больше, чем сам предмет. Если предмет расположен на расстоянии d = 30 см от линзы, то фокусное расстояние линзы равно:
1)  7,5 см;   2)  15 см;     3)  20 см;    4)  60 см;     5)  120 см.
Решение: пусть высота предмета H, ширина h, высота изображения H′, ширина h′. Тогда площадь предмета S = H∙h, изображения S′ = H′∙h′. По условию задачи S′=4∙S. Размеры предмета и изображения можно связать линейным увеличением, т.е.
\[ \begin{array}{l} {\Gamma =\frac{f}{d} =\frac{H'}{H} =\frac{h'}{h} ,} \\ {H'=\Gamma \cdot H,{\rm \; \; \; \; \; \; }h'=\Gamma \cdot h,{\rm \; \; \; \; \; \; \; }f=\Gamma \cdot d,} \\ {S'=4\cdot S,{\rm \; \; \; \; }H'\cdot h'=4\cdot H\cdot h,{\rm \; \; \; \; \; }\Gamma \cdot H\cdot \Gamma \cdot h=4\cdot H\cdot h,} \\ {\Gamma ^{2} =4,{\rm \; \; \; \; \; }\Gamma =2.} \end{array} \]
Запишем формулу линзы (все слагаемые положительные, т.к. линза собирающая, изображение действительное т.к. получено на экране:
\[ \begin{array}{l} {\frac{1}{F} =\frac{1}{d} +\frac{1}{f} =\frac{1}{d} +\frac{1}{\Gamma \cdot d} =\frac{\Gamma +1}{\Gamma \cdot d},} \\ {F=\frac{\Gamma \cdot d}{\Gamma +1}.} \end{array} \]
Ответ: 3)  20 см.
: Re: 30. Линзы. Оптические приборы
: Виктор 06 June 2015, 13:41
5. Если мнимое изображение предмета, расположенного на расстоянии d = 15 см от собирающей линзы, получается на расстоянии f = 30 см от неё, то оптическая сила линзы равна:
1)  1,0 дптр;   2)  2,3 дптр;     3)  3,3 дптр;     4)  6,6 дптр;    5)  10 дптр.
Решение: применим формулу тонкой линзы
\[ D=\frac{1}{d} -\frac{1}{f}, \]
Здесь изображение мнимое, поэтому появился знак минус. После подстановки данных в единицах СИ
Ответ: 3)  3,3 дптр.
: Re: 30. Линзы. Оптические приборы
: Виктор 06 June 2015, 13:43
6. Линейный размер H действительного изображения в 2 раза больше предмета. Если расстояние от предмета до линзы d = 40 см, то расстояние от линзы до изображения равно:
1)  10 см;   2)  20 см;     3)  40 см;    4)  80 см;     5)  1,6 м.
Решение: под линейным увеличением Г линзы понимают отношение линейного размера изображения (расстояния до изображения от линзы) к линейному размеру предмета (расстояния до предмета от линзы), т.е.
\[ \begin{array}{l} {\Gamma =\frac{H}{h} =\frac{f}{d} =2,} \\ {f=2\cdot d.} \end{array} \]
Ответ: 4)  80 см.
: Re: 30. Линзы. Оптические приборы
: Виктор 06 June 2015, 13:58
7. Предмет расположен на расстоянии d = 50 см от линзы с оптической силой D = 2,5 дптр. Если предмет приблизить к линзе на Δd = 5,0 см, то его изображение увеличится:
1)  в 0,50 раза;   2)  в 1,1 раза;     3)  в 1,4 раза;    4)  в 1,8 раза;     5)  в 2,0 раза.
Решение: пусть h – высота предмета, Н – высота изображения в первой ситуации, H′ -  высота изображения во втором случае, f – расстояние до изображения в первом, а f′ – во втором случаях. Составим систему уравнений, используя формулы тонкой линзы и линейного увеличения для двух случаев
\[ \left\{\begin{array}{l} {D=\frac{1}{d} +\frac{1}{f} ,} \\ {D=\frac{1}{d-\Delta d} +\frac{1}{f'}} \\ {\frac{H}{h} =\frac{f}{d} ,} \\ {\frac{H'}{h} =\frac{f'}{d-\Delta d}.} \end{array}\right. , \]
Из первых двух уравнений найдём расстояния до изображения, подставим их  в уравнения линейного увеличения и разделим уравнения друг на друга
\[ \begin{array}{l} {f=\frac{d}{d\cdot D-1} =2;{\rm \; \; \; \; \; }f'=\frac{d-\Delta d}{\left(d-\Delta d\right)\cdot D-1} =3,6;} \\ {\frac{H'}{H} =\frac{f'}{d-\Delta d} \cdot \frac{d}{f} =2.} \end{array} \]
Ответ: 5)  в 2,0 раза.
: Re: 30. Линзы. Оптические приборы
: Виктор 06 June 2015, 14:02
8. Источник света расположен на главной оптической оси собирающей линзы на расстоянии d1 = 20 см от неё, а его мнимое изображение – на расстоянии f1 = 30 см. Если источник будет находиться на расстоянии d2 = 10 см от линзы, то расстояние от его изображения до линзы составит:
1)  6,0 см;   2)  6,7 см;     3)  12 см;    4)  15 см;     5)  45 см.
Решение: собирающая линза даёт мнимое изображение при условии, что предмет расположен перед линзой на расстоянии меньше фокусного. А т.к. источник придвинули к линзе, то и во втором случае будет мнимое изображение. Запишем формулу линзы для двух случаев, с учётом правила знаков
\[ \begin{array}{l} {D=\frac{1}{d_{1}} -\frac{1}{f_{1}} ,{\rm \; \; \; \; \; \; }D=\frac{1}{d_{2}} -\frac{1}{f_{2}} ,} \\ {\frac{1}{d_{1}} -\frac{1}{f_{1}} =\frac{1}{d_{2} } -\frac{1}{f_{2}} ,{\rm \; \; \; \; \; }\frac{1}{f_{2}} =\frac{1}{d_{2} } -\frac{1}{d_{1}} +\frac{1}{f_{1} } =\frac{50}{6},} \\ {f_{2} =\frac{6}{50} =0,12.} \end{array} \]
Ответ: 3)  12 см.
: Re: 30. Линзы. Оптические приборы
: Виктор 06 June 2015, 14:09
А2.9. Рассеивающую линзу с оптической силой D = – 0,5 дптр перемещают вдоль главной оптической оси относительно предмета. Перемещение, при котором линейное увеличение возрастёт от Г1 = 0,2 до Г2 = 0,5, составляет
1)  2 м;   2)  4 м;     3)  6 м;    4)  8 м;     5)  9 м.
Решение: запишем формулы: линзы (с учётом правила знаков – линза рассеивающая, изображение мнимое) и увеличения
\[ \begin{array}{l} {D=\frac{1}{d} -\frac{1}{f} ,{\rm \; \; \; \; \; }\Gamma {\rm =}\frac{f}{d} ,{\rm \; \; \; \; \; \; }f{\rm =}\Gamma \cdot d,} \\ {D=\frac{1}{d} -\frac{1}{\Gamma \cdot d} =\frac{\Gamma -1}{\Gamma \cdot d} ,{\rm \; \; \; \; \; }d=\frac{\Gamma -1}{\Gamma \cdot D}.} \end{array}  \]
Тогда искомое перемещение будет равно d1d2, т.е.
\[ d_{1} -d_{2} =\frac{\Gamma _{1} -1}{\Gamma _{1} \cdot D} -\frac{\Gamma _{2} -1}{\Gamma _{2} \cdot D} =\frac{1}{D} \cdot \frac{\Gamma _{1} -\Gamma _{2} }{\Gamma _{1} \cdot \Gamma _{2}}. \]
Ответ: 3)  6 м.
: Re: 30. Линзы. Оптические приборы
: Виктор 06 June 2015, 14:11
А2.10. Фокусное расстояние собирающей линзы F = 10 см, расстояние от предмета до переднего фокуса l = 5 см. Если линейный размер предмета h = 2 см, то размер его действительного изображения равен:
1)  1 см;   2)  2 см;     3)  3 см;    4)  4 см;     5)  5 см.
Решение: пусть Н – высота изображения,  f –  расстояние до изображения. Расстояние от предмета до линзы d =  F + l  = 15 см. Воспользуемся формулами тонкой линзы и линейного увеличения
\[ \begin{array}{l} {\frac{1}{F} =\frac{1}{d} +\frac{1}{f} ,{\rm \; \; \; \; }\frac{H}{h} =\frac{f}{d} ,} \\ {f=\frac{F\cdot d}{d-F} =\frac{F\cdot \left(F+l\right)}{\left(F+l\right)-F} =\frac{F\cdot \left(F+l\right)}{l} ,} \\ {H=\frac{f}{d} \cdot h=\frac{F\cdot \left(F+l\right)}{l\cdot \left(F+l\right)} \cdot h=\frac{F\cdot h}{l}.} \end{array} \]
Ответ: 4)  4 см.
: Re: 30. Линзы. Оптические приборы
: Виктор 06 June 2015, 14:51
В1.1. Ось X прямоугольной системы координат (x; y) совпадает с главной оптической осью линзы. Если источнику света, расположенному в точке с координатами (10 м; 5,0 м), соответствует изображение с координатами (40 м; –10 м), то оптическая сила линзы составляет … дптр.
Решение: данную задачу проще всего решить построением: для построения изображения используем основные лучи, тогда на рисунке будут хорошо видны все расстояния.
Как видно из рисунка: расстояние от источника до линзы d = 10 м, расстояние от линзы до изображения f = 20 м. Запишем формулу линзы (из построения видно, что линза собирающая, изображение действительное)
\[ D=\frac{1}{d} +\frac{1}{f} =\frac{1}{10} +\frac{1}{20} =\frac{3}{20}.  \]
Ответ: 0,15 дптр.
: Re: 30. Линзы. Оптические приборы
: Виктор 06 June 2015, 14:55
В1.2. Ось X прямоугольной системы координат (x; y) совпадает с главной оптической осью линзы. Если источнику света, расположенному в точке с координатами (10 м; 5,0 м), соответствует изображение с координатами (50 м; –15 м), то x – координата оптического центра линзы составляет … м.
Решение: данную задачу проще всего решить построением: для построения изображения используем основные лучи, тогда на рисунке будут хорошо видны все расстояния и положение линзы.
Ответ: 20 м.
: Re: 30. Линзы. Оптические приборы
: Виктор 06 June 2015, 15:03
В1.3. Если изображение предмета, помещённого перед линзой на расстоянии d = 50 см, мнимое и уменьшенное в k = 3 раза, то оптическая сила линзы будет равна… дптр.
Решение: запишем формулы: линзы (с учётом правила знаков – линза рассеивающая, т.к. только у неё мнимое уменьшенное изображение) и увеличения (по условию Г = 1/k)
\[ D=\frac{1}{d} -\frac{1}{f} ,{\rm \; \; \; \; \; }\Gamma {\rm =}\frac{f}{d} ,{\rm \; \; \; \; \; \; }f{\rm =}\Gamma \cdot d=\frac{d}{k} . \]
\[ D=\frac{1}{d} -\frac{k}{d} =\frac{1-k}{d}. \]
Ответ: – 4 дптр.
: Re: 30. Линзы. Оптические приборы
: Виктор 06 June 2015, 15:06
В1.5. На пути сходящегося пучка поставили собирающую линзу с фокусным расстоянием F = 10 см, в результате чего лучи сошлись на расстоянии l2 = 5,0 см от линзы. Если линзу убрать, то расстояние от места, где она стояла, до точки схождения лучей в этом случае составит…см.
Решение: См решение задания №1, тест А2 этого параграфа.
\[ l_{1} =\frac{F\cdot l_{2}}{F-l_{2}}.  \]
Ответ: 10 см.
: Re: 30. Линзы. Оптические приборы
: Виктор 07 June 2015, 11:21
В1.6. На тонкую собирающую линзу с фокусным расстоянием F = 50 см падает сходящийся пучок лучей так, что их продолжения  пересекаются в заднем фокусе. При этом преломлённые лучи пересекутся на расстоянии от линзы. равном…см.
Решение: См решение задания №1, тест А2 этого параграфа.
l1= F по условию, l2 нужно определить.
\[ l_{2} =\frac{F\cdot l_{1}}{F+l_{1}}. \]
Ответ: 25 см.
: Re: 30. Линзы. Оптические приборы
: Виктор 07 June 2015, 11:29
В1.8. На экране получено два чётких изображения одного предмета при двух разных положениях линзы между предметом и экраном. Если высота одного изображения H1 = 2 см, а другого – H2 = 8 см, то высота предмета составляет … см.
Решение: согласно условию задачи, положение предмета и экрана не меняется, а перемещают линзу. Линзу, после того, как получили первое четкое изображение, пододвинули (отодвинули) к (от) предмета для получения второго четкого изображения. Пусть d2 и d1 – расстояние между предметом и линзой во втором и первом положениях, а расстояние между линзой и изображением в первом и втором положениях равны  f1 и  f2 соответственно, h – искомая высота предмета.
Вследствие принципа обратимости световых лучей
d1 = f2;   f1 = d2.
Тогда получаем систему уравнений на основании формулы увеличения
\[ \left\{\begin{array}{l} {\frac{H_{1} }{h} =\frac{f_{1}}{d_{1}} ,} \\ {\frac{H_{2} }{h} =\frac{f_{2} }{d_{2} } } \end{array}\right. {\rm \; \; }\Rightarrow {\rm \; \; }\frac{H_{1} \cdot H_{2} }{h^{2}} =\frac{f_{1} \cdot f_{2}}{d_{1} \cdot d_{2}} =1. \]
Откуда
\[ h=\sqrt{H_{2} \cdot H_{1}}. \]
Ответ: 4 см.
: Re: 30. Линзы. Оптические приборы
: Виктор 07 June 2015, 11:33
В1.9. Для  того чтобы весь фасад здания уместился на кадре плёнки размером H1 х H2 = 24 х 36 мм, здание длиной l = 50 м надо сфотографировать с минимального расстояния…м. Фокусное расстояние объектива F = 50 мм.
Решение: пусть  d – расстояние от предмета до объектива (искомое), f – расстояние от объектива до изображения. Минимальным расстояние будет в том случае, если мы уместим фасад на широкую сторону кадра, в этом случае H2 = 36 мм – размер изображения. Тогда, используя формулу увеличения линзы и формулу тонкой линзы, получим
\[ \frac{H_{2}}{l} =\frac{f}{d} ,{\rm \; \; \; }f=\frac{H_{2} \cdot d}{l} , \]
\[ \frac{1}{F} =\frac{1}{d} +\frac{1}{f} =\frac{1}{d} +\frac{l}{H_{2} \cdot d} =\frac{H_{2} +l}{H_{2} \cdot d} , \]
\[ d=\frac{F\cdot \left(H_{2} +l\right)}{H_{2}}. \]
Ответ: 69 м.
: Re: 30. Линзы. Оптические приборы
: Виктор 07 June 2015, 11:35
В1.10. Диапозитив имеет размеры h1 х h2 = 8,0 х 8,0 см. Расстояние от объектива проектора до экрана f = 4,0 м. На экране наблюдают резкое изображение диапозитива. Размер изображения 2,0 х 2,0 м. Оптическая сила объектива проектора равна…дптр.
Решение: ввиду равенства сторон изображения и предмета, неважно какой из размеров брать. Пусть размер изображения h = 2 м.  Используя формулу увеличения линзы и формулу тонкой линзы, получим
\[ \frac{h}{h_{1} } =\frac{f}{d} ,{\rm \; \; \; }d=\frac{f\cdot h_{1}}{h} , \]
\[ D=\frac{1}{d} +\frac{1}{f} =\frac{h}{f\cdot h_{1} } +\frac{1}{f} =\frac{h_{1} +h}{f\cdot h_{1}}. \]
Ответ: 6,5 дптр.
: Re: 30. Линзы. Оптические приборы
: Виктор 07 June 2015, 11:38
В2.1. Если предмет расположен на расстоянии l1= 10 см от переднего фокуса собирающей линзы, а экран, на котором получается изображение предмета, расположен на расстоянии l2 = 40 см от заднего фокуса линзы, то фокусное расстояние линзы равно… см.
Решение: т.к. предмет расположен перед фокусом, то расстояние от него до линзы d = F+l1, а т.к. изображение за фокусом, то расстояние от него до линзы f = F+l2. Воспользуемся формулой линзы
\[ \frac{1}{F} =\frac{1}{d} +\frac{1}{f} =\frac{1}{F+l_{1} } +\frac{1}{F+l_{2} } =\frac{F+l_{2} +F+l_{1} }{\left(F+l_{1} \right)\cdot \left(F+l_{2} \right)}, \]
\[ \left(F+l_{1} \right)\cdot \left(F+l_{2} \right)=F\cdot \left(2\cdot F+l_{2} +l_{1} \right), \]
\[ F^{2} +F\cdot l_{2} +F\cdot l_{1} +l_{1} \cdot l_{2} =2\cdot F^{2} +F\cdot l_{2} +F\cdot l_{1}, \]
\[ F^{2} =l_{1} \cdot l_{2} ,{\rm \; \; \; \; \; \; }F=\sqrt{l_{1} \cdot l_{2}}. \]
Ответ: 20 см.
: Re: 30. Линзы. Оптические приборы
: Виктор 07 June 2015, 11:43
В2.2. С помощью тонкой линзы получают двукратно увеличенное действительное изображение предмета. Затем линзу передвигают на расстояние l =10 см и получают мнимое изображение такого же размера. Фокусное расстояние линзы составляет… см.
Решение: запишем формулы: линзы (с учётом правила знаков) и увеличения, учтём, что мнимое изображение получается, если предмет находится между фокусом и линзой, т.е. в нашем случае линзу придвинули к предмету на расстояние l, увеличение в обоих случаях Г = 2.
\[ \frac{1}{F} =\frac{1}{d_{1} } +\frac{1}{f_{1} } ,{\rm \; \; \; \; \; }\Gamma {\rm =}\frac{f_{1} }{d_{1} } ,{\rm \; \; \; \; \; \; }f_{1} {\rm =}\Gamma \cdot d_{1}, \]
\[ \frac{1}{F} =\frac{1}{d_{1} -l} -\frac{1}{f_{2} } ,{\rm \; \; \; \; \; }\Gamma {\rm =}\frac{f_{2} }{d_{1} -l} ,{\rm \; \; \; \; }f_{2} {\rm =}\Gamma \cdot \left(d_{1} -l\right). \]
Решим данную систему уравнений относительно фокусного расстояния
\[ \frac{1}{F} =\frac{1}{d_{1} } +\frac{1}{\Gamma \cdot d_{1} } ,{\rm \; \; \; \; \; }d_{1} =\frac{\left(\Gamma +1\right)\cdot F}{\Gamma }, \]
\[ \frac{1}{F} =\frac{1}{d_{1} -l} -\frac{1}{\Gamma \cdot \left(d_{1} -l\right)} =\frac{\Gamma -1}{\Gamma \cdot \left(d_{1} -l\right)} , \]
\[ \Gamma \cdot \left(\frac{\left(\Gamma +1\right)\cdot F}{\Gamma } -l\right)=\left(\Gamma -1\right)\cdot F, \]
\[ \Gamma \cdot F+F-\Gamma \cdot l=\Gamma \cdot F-F, \]
\[ F=\frac{\Gamma \cdot l}{2}. \]
Ответ: 10 см.
: Re: 30. Линзы. Оптические приборы
: Виктор 07 June 2015, 11:46
В2.3. Точечный источник света описывает окружность в плоскости, перпендикулярной оптической оси тонкой собирающей линзы с фокусным расстоянием F = 7 см. Изображение источника наблюдается на экране, расположенном на расстоянии f = 0,35 м от линзы. Модули ускорений, с которыми движутся изображение и источник, различаются в …раз (раза).
Решение: точка находится на расстоянии от линзы, большем фокусного расстояния, её изображение будет действительным, обратным. Пусть радиус вращения точки равен r, а изображения R. (данные радиусы можно считать высотами предмета и изображения). Период вращения у них одинаковый (одинакова и угловая скорость вращения). Ускорение (центростремительное) находится как произведение радиуса вращения на угловую скорость, поэтому модули ускорений будут отличаться в линейное увеличение раз.
Составим систему уравнений на основании формул тонкой линзы и линейного увеличения
\[ \frac{1}{F} =\frac{1}{d} +\frac{1}{f} ,{\rm \; \; \; \; \; }\frac{R}{r} =\frac{f}{d}, \]
\[ d=\frac{F\cdot f}{f-F} ,{\rm \; \; \; }\frac{R}{r} =\frac{f-F}{F}. \]
Ответ: 4.
: Re: 30. Линзы. Оптические приборы
: Виктор 07 June 2015, 11:52
В2.4. Расстояние l между двумя точечными источниками света, расположенными на главной оптической оси линзы, 24 см. Фокусное расстояние линзы F = 9,0 см. Если изображения обоих источников наблюдаются в одной точке, то расстояние от линзы до одного из источников составляет…см.
Решение: линза собирающая, поэтому если изображения наблюдаются в одной точке, то одно изображение действительное, а второе мнимое. При этом источники расположены по разные стороны от линзы (мнимое изображение образуется по одну сторону с предметом), поэтому d1 + d2 = l. Расстояние от линзы до изображений одинаковое: f1 = f2 = f. Запишем формулу линзы для двух источников с учётом правила знаков:
\[ \frac{1}{F} =\frac{1}{d_{1} } +\frac{1}{f} ,{\rm \; \; \; \; \; }\frac{1}{F} =\frac{1}{d_{2} } -\frac{1}{f} ,{\rm \; \; \; \; }d_{1} +d_{2} =l, \]
Решим полученную систему относительно расстояний до источников
\[ \frac{1}{f} =\frac{1}{F} -\frac{1}{d_{1} } ,{\rm \; \; \; \; \; \; \; }\frac{1}{f} =\frac{1}{d_{2} } -\frac{1}{F} ,{\rm \; \; \; \; \; \; \; }d_{2} =l-d_{1} , \]
\[ \frac{1}{F} -\frac{1}{d_{1} } =\frac{1}{l-d_{1} } -\frac{1}{F} ,{\rm \; \; \; \; \; \; }\frac{2}{F} =\frac{1}{l-d_{1} } +\frac{1}{d_{1} } =\frac{l}{d_{1} \cdot \left(l-d_{1} \right)} , \]
\[ 2\cdot d_{1}^{2} -2l\cdot d_{1} +F\cdot l=0, \]
\[ d_{1} =\frac{l\pm \sqrt{l^{2} -2\cdot F\cdot l}}{2} \]
Ответ: d1 = 18 см,  d2 = 6 см. (примечание – с ответом не сходится, да и вопрос неоднозначен до какого из источников?)
: Re: 30. Линзы. Оптические приборы
: Виктор 08 June 2015, 19:59
В2.5. Точечный источник света расположен на главной оптической оси тонкой собирающей линзы на расстоянии a = 30 см от линзы. На экране, расположенном перпендикулярно главной оптической оси на расстоянии l1 = 10 см от линзы, наблюдается светлое пятно. Размеры пятна не изменяются, если экран расположить на расстоянии l2 = 20 см от линзы. Фокусное расстояние линзы равно … см.
Решение: проведём построение, используя крайние лучи и побочную оптическую ось.
Как видно из рисунка (например, из соображений симметрии), расстояние от изображения до линзы равно
\[ f=l_{1} +\frac{l_{2} -l_{1} }{2} =\frac{l_{2} +l_{1}}{2}. \]
Запишем формулу линзы и определим фокусное расстояние
\[ \frac{1}{F} =\frac{1}{d} +\frac{1}{f} =\frac{1}{a} +\frac{2}{l_{2} +l_{1} } , \]
\[ F=\frac{a\cdot \left(l_{1} +l_{2} \right)}{2\cdot a+\left(l_{1} +l_{2} \right)} . \]
Ответ: 10 см.
: Re: 30. Линзы. Оптические приборы
: Виктор 08 June 2015, 20:02
В2.6. Линза формирует действительное изображение, увеличенное в 3 раза. Если при неизменном расстоянии между предметом и линзой её оптическую силу D уменьшить вдвое, то увеличение Г составит … .
Решение: воспользуемся формулой линзы и линейного увеличения.
\[ D=\frac{1}{d} +\frac{1}{f_{1} } ,{\rm \; \; \; \; \; }3{\rm =}\frac{f_{1} }{d} ,{\rm \; \; \; \; \; \; }f_{1} {\rm =}3\cdot d,{\rm \; \; \; \; \; }D=\frac{4}{3\cdot d} , \]
\[ \frac{D}{2} =\frac{1}{d} +\frac{1}{f_{2} } ,{\rm \; \; \; \; \; }\Gamma {\rm =}\frac{f_{2} }{d} ,{\rm \; \; \; \; }f_{2} {\rm =}\Gamma \cdot d,{\rm \; \; \; \; }\frac{D}{2} =\frac{1}{d} +\frac{1}{\Gamma \cdot d}, \]
\[ \frac{4}{2\cdot 3\cdot d} =\frac{1}{d} +\frac{1}{\Gamma \cdot d} ,{\rm \; \; \; \; \; \; }\frac{2}{3} =1+\frac{1}{\Gamma } ,{\rm \; \; \; \; \; }\Gamma =-3. \]
При расчётах увеличение получилось отрицательным, это означает только одно, во втором случае изображение мнимое, прямое, увеличенное в 3 раза. (в формуле линзы мы считали изображение действительным)
Ответ: 3.
: Re: 30. Линзы. Оптические приборы
: Виктор 08 June 2015, 20:12
В2.7. Расстояние между предметом и экраном l = 3,0 м. Линза, помещённая между ними, даёт чёткое изображение предмета при двух положениях, расстояние между которыми Δl = 1,0 м. Фокусное расстояние линзы равно …см.
Решение: по условию задачи, положение предмета и экрана не меняется, а перемещают линзу. Пусть линзу, после того, как получили первое изображение, пододвинули к экрану для получения четкого второго изображения предмета. Тогда
Δl = d2d1,
где d2 и d1 – расстояние между предметом и линзой во втором и первом по-ложениях. Расстояние между линзой и изображением в первом и втором положениях равны f1 и  f2 соответственно, тогда
l = d1 + f1 = d2 + f2.
Вследствие принципа обратимости лучей (мы им можем пользоваться т.к. положение предмета и экрана не менялось)
f2 = d1;   f1 = d2.
Тогда получаем систему уравнений
\[ \left\{\begin{array}{l} {d_{2} -d_{1} =\Delta l,} \\ {d_{2} +d_{1} =l} \end{array}\right. {\rm \; \; }\Rightarrow {\rm \; \; }d_{2} =\frac{l+\Delta l}{2} ;{\rm \; \; }d_{1} =\frac{l-\Delta l}{2}. \]
Подставим в формулу тонкой линзы
\[ \frac{1}{F} =\frac{1}{d_{1} } +\frac{1}{f_{1} } =\frac{1}{d_{1}} +\frac{1}{d_{2} } =\frac{2}{l-\Delta l} +\frac{2}{l+\Delta l} =\frac{4\cdot l}{l^{2} -\Delta l^{2}}, \]
\[ F=\frac{l^{2} -\Delta l^{2} }{4\cdot l}. \]
Ответ: 66,66 ≈ 67 см.
: Re: 30. Линзы. Оптические приборы
: Виктор 08 June 2015, 20:15
В2.8. Съёмка чертежа размером h1x h2 = 30 см x 40 см производится фотоаппаратом, фокусное расстояние объектива которого F1 = 20 см. Расстояние от объектива до чертежа d = 1,6 м. Чтобы изображение чертежа точно уложилось на фотопластинку размером H1 x H2 = 9,0 см x 12 см, фокусное расстояние насадочной линзы должно быть … см.
Решение: как видно из условия, соотношение размеров чертежа и фотопластинки не изменяются (3 x 4), поэтому неважно, с каким будем рабо-тать. При использовании насадочной линзы, мы получаем  систему двух линз, плотно прилегающих друг к другу, оптическая сила системы равна
\[ D=D_{1} +D_{2} =\frac{1}{F_{1} } +\frac{1}{F_{2}}. \]
Воспользуемся формулой линзы и линейного увеличения.
\[ D=\frac{1}{d} +\frac{1}{f} ,{\rm \; \; \; \; \; }\frac{f}{d} =\frac{H_{1} }{h_{1}}, \]
\[ \frac{1}{F_{1} } +\frac{1}{F_{2} } =\frac{1}{d} +\frac{h_{1} }{d\cdot H_{1}} =\frac{H_{1} +h_{1} }{d\cdot H_{1}}, \]
\[ F_{2} =\frac{1}{\frac{H_{1} +h_{1} }{d\cdot H_{1}} -\frac{1}{F_{1}}}. \]
Ответ: – 43,63 ≈ – 44 см (для рассеивающих линз фокусное расстоя-ние считают отрицательным числом).
: Re: 30. Линзы. Оптические приборы
: Виктор 08 June 2015, 20:27
В2.9. Расстояние наилучшего зрения человека d = 10 см. Оптическая сила очков, которые нужны человеку для исправления близорукости, составляет … дптр.
Решение: применим к глазу формулу тонкой линзы
\[ D=\frac{1}{d} +\frac{1}{f}, \]
где f – расстояние от оптического центра хрусталика глаза до сетчатки, D – оптическая сила глаза. Чтобы восполнить недостаток зрения, человеку нужны очки с линзой такой оптической силы D0, чтобы лучи, падающие от точек, удалённых на расстоянии d0 = 25 см (расстояние наилучшего зрения здорового глаза) фокусировались системой «очки – глаз» на сетчатке. Следовательно (учтём, что оптические силы системы линз суммируются)
\[ D+D_{0} =\frac{1}{d_{0} } +\frac{1}{f}. \]
Вычитая из второго уравнения первое, получим
\[ D_{0} =\frac{1}{d_{0} } -\frac{1}{d} =\frac{d-d_{0} }{d\cdot d_{0}}. \]
Ответ: – 6 дптр.
: Re: 30. Линзы. Оптические приборы
: Виктор 08 June 2015, 20:30
В2.10. Расстояние наилучшего зрения человека d = 50 см. Оптическая сила очков, которые нужны человеку для исправления дальнозоркости, составляет … дптр.
Решение: см. решение предыдущей задачи: часть В2 №9
\[ D_{0} =\frac{1}{d_{0} } -\frac{1}{d} =\frac{d-d_{0} }{d\cdot d_{0}}.  \]
Ответ: 2 дптр.
: Re: 30. Линзы. Оптические приборы
: Виктор 14 July 2015, 08:16
ОТ8.1. В воздухе  интерферируют когерентные световые волны с частотой ν = 5 ∙ 1014 Гц. Если разность хода двух световых волн, пришедших в некоторую точку, Δx = 2,4 мкм, то в этой точке будет наблюдаться:
1) ослабление света, так как разность хода равна чётному числу полуволн;
2) ослабление света, так как разность хода равна нечётному числу полуволн;
3) усиление света, так как разность хода равна нечётному числу полуволн;
4) усиление света, так как разность хода равна чётному числу полуволн;
5) при данных численных значениях интерференция наблюдаться не будет.
Решение: найдём длину волны излучения
\[ \lambda =\frac{c}{\nu } =\frac{3\cdot 10^{8}}{5\cdot 10^{14} } =6\cdot 10^{-7}. \]
Проверим условие максимума интерференции: разность хода равна чётному числу полуволн.
\[ \Delta x=2\cdot m\cdot \frac{\lambda }{2} ,{\rm \; \; \; \; \; }m=\frac{\Delta x}{\lambda } =4. \]
Ответ: 4) усиление света, так как разность хода равна чётному числу полуволн.
: Re: 30. Линзы. Оптические приборы
: Виктор 14 July 2015, 08:20
ОТ8.2. На дифракционную решётку с периодом d = 1,0 мкм перпендикулярно к ней падает световая волна. Если угол между первыми симметричными главными максимумами α = 60°, то длина световой волны равна:
1) 0,20 мкм;     2) 0,40 мкм;    3) 0,50 мкм;    4) 0,60 мкм;     5) 0,70 мкм.
Решение: воспользуемся формулой дифракционной решётки
\[ d\cdot \sin \phi =m\cdot \lambda , \]
здесь φ = α/2 – угол, под которым виден максимум порядка m (по условию m = 1), λ – искомая длина волны.
\[ \lambda =\frac{d\cdot \sin \frac{\alpha }{2}}{m}. \]
Ответ: 3) 0,50 мкм.
: Re: 30. Линзы. Оптические приборы
: Виктор 14 July 2015, 08:25
ОТ8.3. На дифракционную решётку, имеющую штрихи в количестве N = 200 на l = 1,00 мм, падает нормально свет с длиной волны λ = 500 нм. Расстояние от решётки до экрана L = 1,0 м. Расстояние от центрального до первого максимума равно:
1) 2,0 см;     2) 4,5 см;    3) 6,0 см;    4) 8,2 см;     5) 10 см.
Решение: сделаем схематичный рисунок. Расстояние до экрана достаточно большое, поэтому угол α, под которым виден первый максимум будет мал. Для малых углов (до 10°), синус угла равен тангенсу, т.е.
\[ \sin \alpha =tg\alpha =\frac{h}{L}. \]
Период решётки связан с числом штрихов следующим образом
\[ d=\frac{l}{N}. \]
Воспользуемся формулой дифракционной решётки (m = 1)
\[ \begin{array}{l} {d\cdot \sin \alpha =m\cdot \lambda ,{\rm \; \; \; \; \; \; }\frac{l}{N} \cdot \frac{h}{L} =m\cdot \lambda ,} \\ {h=\frac{N\cdot L\cdot m\cdot \lambda }{l}.} \end{array} \]
Ответ: 5) 10 см.
: Re: 30. Линзы. Оптические приборы
: Виктор 14 July 2015, 08:33
ОТ8.4. Период дифракционной решётки d = 5,0 мкм. Общее число дифракционных максимумов для жёлтой линии Na с длиной волны λ = 5,89∙10–7 м равно:   
1) 7;     2) 11;    3) 13;    4) 15;     5) 17.
Решение: воспользуемся формулой дифракционной    решётки:
              
   d∙sinφ = k∙λ,
В идеале дифракционная решётка может отклонить световой луч на угол φ = 90º (sin90º = 1). При этом будет наблюдаться максимум наибольшего порядка. При расчёте данного максимума нужно учесть, что это целое число, поэтому нужно будет взять целую часть от выражения для расчёта kmax:
\[ k_{\max } =\left[\frac{d}{\lambda } \right] \].   
квадратные скобки означают: «целая часть числа». 
Общее число максимумов равно удвоенному kmax (картина симметрична), плюс центральный максимум
\[ N=2\cdot k_{\max } +1. \]
Ответ: 5) 17.
: Re: 30. Линзы. Оптические приборы
: Виктор 19 July 2015, 20:25
ОТ8.5. Высота Солнца над горизонтом φ = 50°. Чтобы отразившиеся от плоского зеркала солнечные лучи распространялись вертикально вверх, угол падения лучей на зеркало должен быть равен:
1) 54°;     2) 42°;    3) 36°;    4) 25°;     5) 20°.
Решение: пусть угол падения солнечных лучей на зеркало равен α, искомый угол – β. Как видно из рисунка
2α + φ = 90º,   α = (90º – φ)/2,
Искомый угол β равен
\[ \begin{array}{l} {90{}^\circ +\beta =90{}^\circ +\alpha ,} \\ {\beta =\alpha =\frac{90{}^\circ -\varphi }{2}.} \end{array} \]
Ответ: 5) 20°.
: Re: 30. Линзы. Оптические приборы
: Виктор 19 July 2015, 20:28
ОТ8.6. При переходе луча света из первой среды во вторую угол падения α = 30°, а угол преломления β = 60°. Относительный показатель преломления первой среды относительно второй равен:
1) 0,5;        2) 1/√3;       3) 1;      4) √3;       5) 2.
Решение: угол преломления связан с углом падения законом преломления света. Запишем его
\[ \frac{\sin \alpha }{\sin \beta } =\frac{n_{2}}{n_{1}} =n_{21} , \]
здесь n21 – относительный показатель преломления второй среды относительно первой. Перевернём выражение
\[ n_{12} =\frac{n_{1}}{n_{2}} =\frac{\sin \beta }{\sin \alpha } =\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} =\sqrt{3} \]
Ответ: 4) √3
: Re: 30. Линзы. Оптические приборы
: Виктор 19 July 2015, 20:30
ОТ8.7. Луч света распространяется в оптическом волокне в течение времени Δt = 2,0 мкс. Если предельный угол полного отражения для границы «волокно-воздух» α = 60°, то длина волокна равна:
1) 0,52 км;        2) 0,46 км;       3) 0,39 км;      4) 0,33 км;       5) 0,26 км.
Решение: при распространении света из оптически более плотной среды в менее плотную, наблюдается явление полного отражения. Предельный угол полного отражения равен
\[ \sin \alpha =\frac{n_{2} }{n_{1} } =\frac{1}{n} =\frac{\upsilon }{c}, \]
здесь n2 = 1 – показатель преломления воздуха, n1 = с / υ – показатель преломления волокна, c = 3 ∙ 108 м/с – скорость света в вакууме, υ – скорость света в  волокне. Определим эту скорость и пройденный путь
\[ \begin{array}{l} {\upsilon =c\cdot \sin \alpha ,} \\ {l=\upsilon \cdot \Delta t=c\cdot \Delta t\cdot \sin \alpha .} \end{array} \]
Ответ: 1) 0,52 км.
: Re: 30. Линзы. Оптические приборы
: Виктор 19 July 2015, 20:34
ОТ8.8. На плоскопараллельную стеклянную пластинку из воздуха падает световой луч. Угол падения луча  α = 30°. Толщина стеклянной пластинки, если показатель преломления стекла n = 1,5, а время распространения света в пластинке Δt = 0,025 нс, составляет:
1) 1,6 мм;        2) 3,2 мм;       3) 4,7 мм;      4) 6,2 мм;       5) 7,6 мм.
Решение: ход луча при прохождении стеклянной пластинки показан на рисунке. Показатель преломления стекла больше чем у воздуха, поэтому угол преломления β меньше угла падения α. Луч вышедший из пластинки, будет параллелен падающему.  Из прямоугольного треугольника ABC:
\[ d=AC\cdot \cos \beta . \]
Воспользуемся законом преломления
\[ \frac{\sin \alpha }{\sin \beta } =\frac{n_{2} }{n_{1} } =n,{\rm \; \; \; \; }\sin \beta =\frac{\sin \alpha }{n} . \]
Тогда из основного тригонометрического тождества
\[ \cos \beta =\sqrt{1-\sin ^{2} \beta } =\sqrt{1-\frac{\sin ^{2} \alpha }{n^{2} } } =\frac{1}{n} \cdot \sqrt{n^{2} -\sin ^{2} \alpha } . \]
Гипотенуза АС равна оптическому пути
\[ n=\frac{c}{\upsilon } ,{\rm \; \; \; \; \; }\upsilon =\frac{c}{n} ,{\rm \; \; \; \; \; \; }AC=\upsilon \cdot \Delta t=\frac{c}{n} \cdot \Delta t. \]
Таким образом, толщина пластинки
\[ d=\frac{c}{n^{2} } \cdot \Delta t\cdot \sqrt{n^{2} -\sin ^{2} \alpha }. \]
Ответ: 3) 4,7 мм.
: Re: 30. Линзы. Оптические приборы
: Виктор 19 July 2015, 20:37
ОТ8.9. Предельный угол полного отражения для стекла α0 = 45°. Модуль скорости света в стекле равен:
\[ 1){\rm \; }\frac{c}{2} ;{\rm \; \; \; \; 2)\; }\frac{c\sqrt{2} }{2} ;{\rm \; \; \; 3)\; }\frac{c\sqrt{3} }{2} ;{\rm \; \; \; \; 4)\; }\frac{3}{4} c;{\rm \; \; \; 5)\; }\frac{2c}{\sqrt{2}}.  \]
Решение: предельный угол полного отражения равен
\[ \sin \alpha =\frac{n_{2} }{n_{1} } =\frac{1}{n} =\frac{\upsilon }{c} , \]
здесь n2 = 1 – показатель преломления воздуха, n1 = с / υ – показатель пре-ломления стекла, c = 3 ∙ 108 м/с – скорость света в вакууме, υ – скорость света в  стекле. Определим эту скорость
\[ \upsilon =c\cdot \sin \alpha . \]
Ответ: 2).
: Re: 30. Линзы. Оптические приборы
: Виктор 19 July 2015, 20:43
ОТ8.10. В дно озера вбита свая высотой H = 4,0 м, выступающая из воды на высоту h = 1,0 м. Лучи Солнца падают на поверхность воды под углом α = 45°. Показатель преломления воды n = 4/3. Длина тени сваи на дне озера равна:         1) 1,6 м;        2) 1,9 м;       3) 2,4 м;      4) 2,9 м;       5) 3,6 м.
Решение: на границе воздух-вода будет наблюдаться преломление световых лучей. Угол падения световых лучей равен γ = 90° – α = 45° = α. Угол преломления равен β. Из закона преломления
\[ \frac{\sin \alpha }{\sin \beta } =\frac{n_{2}}{n_{1}} =n,{\rm \; \; \; \; }\sin \beta =\frac{\sin \alpha }{n},  \]
\[ \beta =\arcsin \left(\frac{\sin \alpha }{n} \right). \]
β = 32°.
Как видно из рисунка, длина тени l = l1+l2.
Воспользуемся определением тангенса для двух прямоугольных  треугольников, и найдём длину тени на дне
\[ l_{1} =h\cdot tg\alpha ,{\rm \; \; \; \; \; \; }l_{2} =\left(H-h\right)\cdot tg\beta ,  \]
\[ l=h\cdot tg\alpha +\left(H-h\right)\cdot tg\beta . \]
Ответ: 4) 2,9 м.
: Re: 30. Линзы. Оптические приборы
: Виктор 19 July 2015, 20:46
ОТ8.11. Луч света падает на плоскопараллельную пластинку с коэффициентом преломления n = 1,5 под углом α = 60°. Если при выходе из пластинки луч смещается на расстояние d = 2,0 см, то толщина пластинки равна:
1) 12 мм;        2) 24 мм;       3) 32 мм;      4) 39 мм;       5) 65 мм.
Решение: ход луча при прохождении стеклянной пластинки показан на рисунке. Показатель преломления стекла больше чем у воздуха, поэтому угол преломления β меньше угла падения α. Луч вышедший из пластинки, будет параллелен падающему. Если бы пластинки не было, то луч распространялся бы вдоль прямой AD. Из прямоугольных треугольников ABC и ADC, имеющих общую гипотенузу AC определим толщину пластинки h.
\[ AC=\frac{h}{\cos \beta } =\frac{d}{\sin \left(\alpha -\beta \right)},  \]
\[ h=d\cdot \frac{\cos \beta }{\sin \left(\alpha -\beta \right)}. \]
Воспользуемся законом преломления
\[ \frac{\sin \alpha }{\sin \beta } =\frac{n_{2}}{n_{1}} =n,{\rm \; \; \; \; \; \; }\sin \beta =\frac{\sin \alpha }{n},  \]
\[ \beta =\arcsin \left(\frac{\sin \alpha }{n} \right)=35,26{}^\circ . \]
Таким образом, искомая толщина пластинки
\[ h=2,0\cdot \frac{\cos 35,26{}^\circ }{\sin \left(60{}^\circ -35,26{}^\circ \right)} =3,9. \]
Ответ: 4) 39 мм.
: Re: 30. Линзы. Оптические приборы
: Виктор 19 July 2015, 20:56
ОТ8.12. На дне озера лежит камень. Истинная глубина h реки, если человеку, смотрящему перпендикулярно её поверхности, она кажется равной 3 м, составляет (показатель преломления воды n = 4/3):
1) 2 м;        2) 4 м;       3) 5 м;      4) 6 м;       5) 7 м.
Решение: нарисуем ход лучей идущих от камня на дне (см. рис.). Т.к. свет распространяется из оптически более плотной среды, то угол преломления β больше угла падения α. Если смотреть сверху, то камень расположенный в т. О нам будет казаться выше – в т. А. Т.е. если h – истинная толщина пластинки, то H – кажущаяся. Углы будем считать малыми (размеры глаза малы), а для малых углов значения синуса и тангенса совпадают.  Запишем закон преломления света
\[ \frac{\sin \alpha }{\sin \beta } =\frac{n_{2} }{n_{1} } =\frac{1}{n} ,{\rm \; \; \; \; \; }\frac{tg\alpha }{tg\beta } =\frac{1}{n}.  \]
Тангенсы углов определим из прямоугольных треугольников:
треугольник ОВС: tgα  = BC / ОB = BC / h;
треугольник АВС: tgβ  = BC / AB = BC / H.
Таким образом:
\[ \begin{array}{l} {\frac{tg\alpha }{tg\beta } =\frac{BC}{h} \cdot \frac{H}{BC} =\frac{1}{n},} \\ {h=n\cdot H.} \end{array} \]
Ответ: 2) 4 м.
: Re: 30. Линзы. Оптические приборы
: Виктор 19 July 2015, 21:00
ОТ8.13. Если изображение предмета, помещённого на расстоянии d = 15 см от собирающей линзы, получается на расстоянии f = 30 см от неё, то увеличение линзы равно:
1) 20;        2) 4,5;       3) 2,0;      4) 0,45;       5) 0,20.
Решение: линейное увеличение линзы рассчитывается по формуле
\[ \Gamma =\frac{H}{h} =\frac{f}{d}. \]
Ответ: 3) 2,0.
: Re: 30. Линзы. Оптические приборы
: Виктор 19 July 2015, 21:02
ОТ8.14. Чтобы изображение предмета было мнимым и увеличенным в n = 4 раза, его надо расположить на расстоянии от собирающей линзы с фокусным расстоянием F = 20 см, равном:
1) 80 см;     2) 15 см;    3) 10 см;    4) 5,0 см;     
5) для собирающей линзы изображение не может быть мнимым.
Решение: запишем формулы: линзы (с учётом правила знаков) и увеличения, учтём, что мнимое изображение получается, если предмет находится между фокусом и линзой, по условию увеличение Г = n = 4.
\[ \frac{1}{F} =\frac{1}{d} +\frac{1}{f} ,{\rm \; \; \; \; \; }\Gamma {\rm =}\frac{f}{d} =n,{\rm \; \; \; \; \; \; }f{\rm =}n\cdot d,  \]
\[ \frac{1}{F} =\frac{1}{d} -\frac{1}{n\cdot d} =\frac{1}{d} \cdot \left(1-\frac{1}{n} \right),  \]
\[ d=F\cdot \left(1-\frac{1}{n} \right). \]
Ответ: 2) 15 см.
: Re: 30. Линзы. Оптические приборы
: Виктор 19 July 2015, 21:05
ОТ8.15. С помощью линзы получают двукратно увеличенное действительное изображение предмета. Затем линзу перемещают на расстояние a = 10 см и получают мнимое изображение такого же размера. Фокусное расстояние линзы равно:
1) 2,0 см;     2) 5,0 см;    3) 7,0 см;    4) 10 см;     5) 13 см.
Решение: запишем формулы: линзы (с учётом правила знаков) и увеличения, учтём, что мнимое изображение получается, если предмет находится между фокусом и линзой, т.е. линзу пододвинули к предмету
\[ \frac{1}{F} =\frac{1}{d_{1}} +\frac{1}{f_{1}} ,{\rm \; \; \; \; \; }f_{1} {\rm =}\Gamma \cdot d_{1} ,{\rm \; \; \; \; }\frac{1}{F} =\frac{1}{d_{1}} +\frac{1}{\Gamma \cdot d_{1}} =\frac{1}{d_{1}} \cdot \left(1+\frac{1}{\Gamma } \right), \]
\[ d_{1} =F\cdot \left(1+\frac{1}{\Gamma } \right); \]
\[ d_{1} -a=F\cdot \left(1-\frac{1}{\Gamma } \right), \]
\[ F\cdot \left(1+\frac{1}{\Gamma } \right)-a=F\cdot \left(1-\frac{1}{\Gamma } \right),{\rm \; \; \; \; }\frac{F}{\Gamma } -a=-\frac{F}{\Gamma } ,{\rm \; \; \; \; \; }F=\frac{\Gamma \cdot a}{2}. \]
 Ответ: 4) 10 см.
: Re: 30. Линзы. Оптические приборы
: Виктор 19 July 2015, 21:07
ОТ8.16. Известно, что изображение предмета, помещённого перед линзой на расстоянии d = 0,5 м, мнимое и уменьшенное в k = 3 раза. Оптическая сила линзы равна:    1) – 4 дптр;     2) – 2 дптр;    3) 2 дптр;    4) 4 дптр;     5)  8 дптр.
Решение: мнимое уменьшенное изображение даёт только собирающая линза, поэтому оптическая сила её будет отрицательной. Из формулы линзы:
\[ D=\frac{1}{d} -\frac{1}{f} ,{\rm \; \; \; \; \; \; }f{\rm =}\Gamma \cdot d=\frac{d}{k} ,{\rm \; \; \; \; }D=\frac{1}{d} -\frac{k}{d} =\frac{1-k}{d}. \]
Ответ: 1) – 4 дптр.
: Re: 30. Линзы. Оптические приборы
: Виктор 19 July 2015, 21:12
ОТ8.17. Роговая оболочка глаза имеет оптическую силу D1 ≈ 40 дптр, а хрусталик D2 ≈ 20 дптр. Фокусное расстояние глаза равно:
1) 1,1 см;     2) 1,2 см;    3) 1,4 см;    4) 1,5 см;     5) 1,7 см.
Решение: оптическая сила системы линз, сложенных вплотную  -суммируется, таким образом
\[ D=\frac{1}{F} =D_{1} +D_{2} ,{\rm \; \; \; \; \; \; \; }F=\frac{1}{D_{1} +D_{2}}. \]
Ответ: 5) 1,7 см.
: Re: 30. Линзы. Оптические приборы
: Виктор 19 July 2015, 21:19
ОТ8.18. Лупа позволяет получить пятикратное увеличение. Оптическая сила этой лупы равна:
1) 5 дптр;     2) 10 дптр;    3) 20 дптр;    4) 25 дптр;     5)  –10 дптр.
Решение: увеличение лупы рассчитывается по формуле
\[ \Gamma =\frac{d_{0} }{F} =D\cdot d_{0} ,{\rm \; \; \; \; }D=\frac{\Gamma }{d_{0}}.  \]
Здесь d0 = 0,25 м – расстояние наилучшего зрения здорового глаза.
Ответ: 3) 20 дптр.
: Re: 30. Линзы. Оптические приборы
: Виктор 19 July 2015, 21:23
ОТ8.19. Расстояние, с которого надо фотографировать здание длиной l = 50 м, чтобы весь фасад здания уместился на кадре плёнки размером H1 x H2 = 24 мм x 36 мм при фокусном расстоянии объектива F = 50 мм, составляет:
1) 36 м;        2) 42 м;       3) 54 м;      4) 69 м;       5) 86 м.
Решение: фотоаппарат нужно расположить так, что бы фасад уместился на широкую сторону кадра, т.е. размер изображения H2 = 36 мм. Воспользуемся формулой линзы и линейного увеличения.
\[ \frac{1}{F} =\frac{1}{d} +\frac{1}{f} ,{\rm \; \; \; \; \; }\frac{f}{d} =\frac{H_{1}}{l}, \]
\[ \frac{1}{F} =\frac{1}{d} +\frac{l}{d\cdot H_{1}} =\frac{H_{1} +l}{d\cdot H_{1}}, \]
\[ d=\frac{F\cdot \left(H_{1} +l\right)}{H_{1}}. \]
Ответ: 4) 69 м.
: Re: 30. Линзы. Оптические приборы
: Виктор 19 July 2015, 21:25
ОТ8.20. Расстояние наилучшего зрения для дальнозоркого человека d = 50 см. Для исправления дальнозоркости человеку необходимо приобрести очки с оптической силой:
1) 1,5;        2) 2,0;       3) 2,5;      4) 3,0;       5) 3,5.
Решение: см. решение задачи: §30,часть В2, №9, 10.
\[ D_{0} =\frac{1}{d_{0} } -\frac{1}{d} =\frac{d-d_{0} }{d\cdot d_{0}}.  \]
Ответ: 2) 2,0.