Пусть длина тени палки на дне озера АС, ОА = h – глубина озера, ОЕ = h1 – высота поднимающейся над водой части палки, β – высота солнца над горизонтом. Помним, что углы падения и преломления (отражения) отсчитываются от нормали к преломляющей поверхности
Тогда
АС = АВ + ВС.
АВ = ОА·tgγ = h·tgγ;
BC = OD = h1·tgα;
α = 90 – β = 60.
\[ tg\gamma =\frac{\sin \gamma }{\cos \gamma } \]
sinγ найдем из закона преломления
\[ \frac{\sin \alpha }{\sin \gamma }=n,\sin \gamma =\frac{\sin \alpha }{n} \]
где n = 1,33 – показатель преломления воды. Показатель преломления воздуха равен 1.
Учитывая, что
cos2γ + sin2γ = 1
получим выражение для tgγ
\[ tg\gamma =\frac{\sin \gamma }{\sqrt{1-{{\sin }^{2}}\gamma }}=\frac{\sin \alpha }{n\cdot \sqrt{1-\frac{{{\sin }^{2}}\alpha }{{{n}^{2}}}}}=\frac{\sin \alpha }{\sqrt{{{n}^{2}}-{{\sin }^{2}}\alpha }} \]
Длина тени палки на дне озера
\[ AB=h\cdot \frac{\sin \alpha }{\sqrt{{{n}^{2}}-{{\sin }^{2}}\alpha }}+{{h}_{1}}\cdot tg\alpha \]