Решение.
Для решения задачи необходимы: μ − магнитная проницаемость среды, μ =1, μ0 = 4π⋅10-7 Гн/м − магнитная постоянная. Направление линий магнитной индукции вокруг проводника с током определим по правилу буравчика. Вектор магнитной индукции проводника направлен по касательной в точке к линиям магнитной индукции.
Рассмотрим четыре участка, АВ, ВС, СД, ДА.
В точке О результирующий вектор магнитной индукции направлен от нас. Применим принцип суперпозиции.\[ \begin{align}
& \vec{B}={{{\vec{B}}}_{AB}}+{{{\vec{B}}}_{BC}}+{{{\vec{B}}}_{CD}}+{{{\vec{B}}}_{DA}},\ \\
& Ox:\ B={{B}_{AB}}+{{B}_{BC}}+{{B}_{CD}}+{{B}_{DA}}\ \ \ (1). \\
\end{align} \]
Определим модуль вектора магнитной индукции на участке АВ.
Индукция магнитного поля в произвольной точке О, созданного отрезком проводника с током конечной длины, определим используя закон Био - Савара - Лапласа.\[ \begin{align}
& dB=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot I}{4\cdot \pi \cdot R}\cdot \sin \alpha d\alpha ,\ B=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot I}{4\cdot \pi \cdot R}\cdot \int\limits_{{{\alpha }_{1}}}^{{{\alpha }_{2}}}{\sin \alpha d\alpha ,} \\
& B=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot I}{4\cdot \pi \cdot R}\cdot (\cos {{\alpha }_{1}}-\cos {{\alpha }_{2}})\ \ \ (3). \\
\end{align} \]
Где: R - расстояние от т. О до проводника; – α1 и α2 углы, образованные радиус-вектором, проведенном в т. О соответственно из начала и конца проводника, с направлением тока.
Определим модуль вектора магнитной индукции на каждом участке.
α2 = 3∙π/4, α1 = π/ 4.\[ \begin{align}
& B=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot I}{4\cdot \pi \cdot R}\cdot (\cos \frac{\pi }{4}-\cos \frac{3\cdot \pi }{4})\ ,\ B=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot I}{4\cdot \pi \cdot R}\cdot (\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2})\ , \\
& {{B}_{BC}}={{B}_{DA}}={{B}_{CD}}={{B}_{AB}}=\frac{\sqrt{2}\cdot {{\mu }_{0}}\cdot I}{4\cdot \pi \cdot R}\ \ \ (5),R=\frac{l}{8}\ \ \ (6), \\
& B=4\cdot \frac{2\cdot \sqrt{2}\cdot {{\mu }_{0}}\cdot I}{\pi \cdot l},\ B=8\cdot \frac{\sqrt{2}\cdot {{\mu }_{0}}\cdot I}{\pi \cdot l}\ \ \ (7). \\
& B=\frac{8\cdot 1,41\cdot 4\cdot 3,14\cdot {{10}^{-7}}\cdot 10}{3,14\cdot 1}=4,512\cdot {{10}^{-5}}. \\
\end{align}
\]
В = 4,512∙10-5 Тл.