-
Решения задач из книги:
Капельян, С.Н. Физика: пособие для подготовки к централизованному тестированию /С.Н. Капельян, В.А. Малышонок. — Минск: Аверсэв, 2011. — 480 с.
6. Импульс тела. Закон сохранения импульса
Тест А1
| 1 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10917.msg46914.html#msg46914) | 2 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10917.msg46915.html#msg46915) | 3 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10917.msg46916.html#msg46916) | 4 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10917.msg46917.html#msg46917) | 5 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10917.msg46969.html#msg46969) | 6 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10917.msg46970.html#msg46970) | 7 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10917.msg46971.html#msg46971) | 8 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10917.msg46972.html#msg46972) | 9 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10917.msg46973.html#msg46973) | 10 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10917.msg46974.html#msg46974) |
Тест А2
| 1 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10917.msg47015.html#msg47015) | 2 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10917.msg47016.html#msg47016) | 3 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10917.msg47017.html#msg47017) | 4 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10917.msg47074.html#msg47074) | 5 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10917.msg47075.html#msg47075) | 6 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10917.msg47076.html#msg47076) | 7 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10917.msg47077.html#msg47077) | 8 | 9 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10917.msg47078.html#msg47078) | 10 |
Тест В1
| 1 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10917.msg47079.html#msg47079) | 2 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10917.msg47080.html#msg47080) | 3 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10917.msg47081.html#msg47081) | 4 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10917.msg47084.html#msg47084) | 5 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10917.msg47082.html#msg47082) | 6 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10917.msg47083.html#msg47083) | 7 | 8 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10917.msg47085.html#msg47085) | 9 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10917.msg47086.html#msg47086) | 10 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10917.msg47087.html#msg47087) |
Тест В2
| 1 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10917.msg47088.html#msg47088) | 2 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10917.msg47089.html#msg47089) | 3 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10917.msg47090.html#msg47090) | 4 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10917.msg47091.html#msg47091) | 5 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10917.msg47092.html#msg47092) | 6 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10917.msg47093.html#msg47093) | 7 | 8 | 9 | 10 |
-
Тест А1. 1. Если модуль импульса тела массой m =100 г р = 0,2 кг∙м/с, то модуль скорости тела составляет:
1) 1 м/с; 2) 2 м/с; 3) 4 м/с; 4) 6 м/с; 5) 8 м/с.
Решение.\[ p=m\cdot \upsilon ,\ \upsilon =\frac{p}{m},\ \upsilon =\frac{0,2}{0,1}=2. \]
Ответ: 2) 2 м/с.
-
Тест А1. 2. Два шарика массами m1 = 2,0 г и m2 = 3,0 г движутся в горизонтальной плоскости со скоростями, модули которых υ1 = 6,0 м/с и υ2 = 4,0 м/с соответственно. Направления движения шариков составляют друг с другом угол α = 90°. Чему равен модуль суммарного импульса шариков?
1) 0,0050 кг∙м/с; 2) 0,0070 кг∙м/с; 3) 0,010 кг∙м/с; 4) 0,017кг∙м/с; 5) 0.
Решение.
Покажем рисунок. Модуль суммарного импульса шариков определим используя теорему косинусов.\[ \begin{align}
& \vec{p}={{{\vec{p}}}_{1}}+{{{\vec{p}}}_{2}},\ p=\sqrt{{{({{m}_{1}}\cdot {{\upsilon }_{1}})}^{2}}+{{({{m}_{2}}\cdot {{\upsilon }_{2}})}^{2}}}. \\
& p=\sqrt{{{(2,0\cdot {{10}^{-3}}\cdot 6,0)}^{2}}+{{(3,0\cdot {{10}^{-3}}\cdot 4,0)}^{2}}}=16,97\cdot {{10}^{-3}}. \\
\end{align} \]
Ответ: 4) 0,017 кг∙м/с.
-
Тест А1. 3. Вагон массой m1 = 50 т движется со скоростью, модуль которой
υ1 = 12 км/ч, и встречает стоящую на пути платформу массой m2 = 30 т. Расстояние, пройденное вагоном и платформой после сцепления, если коэффициент трения μ = 0,050, составляет:
1) 2,1 м; 2) 3,2 м; 3) 4,3 м; 4) 5,6 м; 5) 8,3 м.
Решение.
Определим совместную скорость вагона и платформы после сцепления.
Для системы вагон платформа можно применить закон сохранения импульса.\[ \begin{align}
& {{m}_{1}}\cdot {{{\vec{\upsilon }}}_{1}}+m\cdot {{{\vec{\upsilon }}}_{2}}=({{m}_{1}}+{{m}_{2}})\cdot \vec{\upsilon }. \\
& Ox:\ {{m}_{1}}\cdot {{\upsilon }_{1}}=({{m}_{1}}+{{m}_{2}})\cdot \upsilon ,\ \upsilon =\frac{{{m}_{1}}\cdot {{\upsilon }_{1}}}{{{m}_{1}}+{{m}_{2}}}. \\
& \upsilon =\frac{50\cdot {{10}^{3}}\cdot 12}{(50\cdot {{10}^{3}}+30\cdot {{10}^{3}})\cdot 3,6}=2,0833. \\
\end{align}
\]
Определим пройденный путь используя второй закон Ньютона.
Покажем силы, которые действуют на вагон и платформу после сцепления:\[ {{\vec{F}}_{tr}}+m\cdot \vec{g}+\vec{N}=m\cdot \vec{a}. \]
Найдем проекции на ось Ох и ось Оу: \[ \ Ox:{{F}_{tr}}=m\cdot a\ \ \ (1),\ y:N-m\cdot g=0\ \ \ (2), \]
по определению сила трения движущегося тела находится по формуле:\[ {{F}_{tr}}=\mu \cdot N\ \ \ (3). \]
Из (2) выразим N и подставим в (3), (3) подставим в (1) и выразим ускорение, зная ускорение и начальную скорость определим пройденный путь.\[ \begin{align}
& N=m\cdot g,\ {{F}_{tp}}=\mu \cdot m\cdot g,\ \mu \cdot m\cdot g=m\cdot a,\ a=\mu \cdot g,\ s=\frac{{{\upsilon }^{2}}-\upsilon _{0}^{2}}{-2\cdot a},\ \upsilon =0,\ s=\frac{\upsilon _{0}^{2}}{2\cdot a}. \\
& s=\frac{2,0833\cdot 2,0833}{2\cdot 0,05\cdot 10}=4,34. \\
\end{align} \]
Ответ: 3) 4,3 м.
-
Тест А1. 4. Охотник стреляет с легкой надувной лодки. Ствол ружья во время выстрела направлен под углом α = 60° к горизонту. Если масса охотника с лодкой М = 70 кг, масса дроби m = 35 г, модуль средней начальной скорости дроби υ0 = 320 м/с, то в момент выстрела модуль скорости лодки будет равен:
1) 2,0 см/с; 2) 4,0 см/с; 3) 8,0 см/с; 4) 12 см/с; 5)16 см/с.
Решение.
Для решения задачи используем закон сохранения импульса:\[ {{\vec{p}}_{1}}={{\vec{p}}_{2}}\ \ \ (1). \]
р1 – импульс до взаимодействия (Охотник перед выстрелом):
р1 = 0 (2).
р2 – импульс после выстрела:\[ {{\vec{p}}_{2}}=(M-m)\cdot \vec{\upsilon }+m\cdot {{\vec{\upsilon }}_{0}}\ \ (3). \]
Найдем проекции на ось Ох:
0 = (М – m)∙υ – m∙υ0∙соsα (4).
Из (4) выразим скорость легкой надувной лодки вследствие отдачи:\[ \upsilon =\frac{m\cdot {{\upsilon }_{0}}\cdot \cos \alpha }{M-m},\ \upsilon =\frac{35\cdot {{10}^{-3}}\cdot 320\cdot 0,5}{70-35\cdot {{10}^{-3}}}=0,08. \]
υ = 0,08 м/с.
Ответ: 3) 8,0 см/с.
-
Тест А1. 5. В двухступенчатой ракете массой m = 1200 кг после достижения скорости, модуль которой υ0 = 200 м/с, отделилась первая ступень массой m1 = 700 кг. Если первая ступень после отделения имела скорость, модуль которой υ1 = 150 м/с, то вторая ступень приобретет скорость, модуль которой равен:
1) 300 м/с; 2) 270 м/с; 3) 220 м/с; 4)190 м/с; 5) 150м/с.
Решение.
Учитываем, что при отделении ступени, в начальный момент она будет двигаться, в направлении движения ракеты. Покажем рисунок. Для решения задачи используем закон сохранения импульса для абсолютно неупругого взаимодействия. \[ m\cdot \vec{\upsilon }={{m}_{1}}\cdot {{\vec{\upsilon }}_{1}}+(m-{{m}_{1}})\cdot {{\vec{\upsilon }}_{2}}. \]
Находим проекции на ось Ох и определим скорость которую приобрела вторая ступень: \[ \begin{align}
& Ox:m\cdot \upsilon ={{m}_{1}}\cdot {{\upsilon }_{1}}+(m-{{m}_{1}})\cdot {{\upsilon }_{2}}. \\
& {{\upsilon }_{2}}=\frac{m\cdot \upsilon -{{m}_{1}}\cdot {{\upsilon }_{1}}}{m-{{m}_{1}}}. \\
& {{\upsilon }_{2}}=\frac{1200\cdot 200-700\cdot 150}{1200-700}=270. \\
\end{align} \]
Ответ: 2) 270 м/с.
-
Тест А1. 6. Тело массой m = 1 кг движется равномерно по окружности со скоростью модуль которой υ = 2 м/с. Изменение модуля импульса тела после того, как оно пройдет половину окружности составит:
1) 0; 2) 1 кг∙м/с; 3) 2 кг∙м/с; 4) 2∙√2 кг∙м/с; 5) 4 кг∙м/с.
Решение.
Покажем рисунок. Изменения импульса тела определим по формуле: \[ \begin{align}
& \Delta \vec{p}=m\cdot {{{\vec{\upsilon }}}_{2}}-m\cdot {{{\vec{\upsilon }}}_{1}}\ \ (1). \\
& Ox:\ \Delta p=m\cdot {{\upsilon }_{2}}+m\cdot {{\upsilon }_{1}}\ ,\ {{\upsilon }_{2}}={{\upsilon }_{1}},\Delta p=2\cdot m\cdot \upsilon . \\
\end{align} \]
∆р = 4,0 кг∙м/с.
Ответ 5) 4 кг∙м/с.
-
Тест А1. 7. Свободно падающий шарик массой m = 200 г ударился о пол со скоростью, модуль которой υ0 = 5,0 м/с, и подпрыгнул на высоту h = 80 см. Модуль изменения импульса шарика при ударе равен:
1) 1,8 кг∙м/с; 2) 1,3 кг∙м/с; 3) 1,2 кг∙м/с; 4) 0,8 кг∙м/с; 5) 0,2 кг∙м/с.
Решение.
Покажем рисунок. Изменения импульса тела определим по формуле:\[ \begin{align}
& \Delta \vec{p}=m\cdot \vec{\upsilon }-m\cdot {{{\vec{\upsilon }}}_{0}}\ \ (1). \\
& Oу:\ \Delta p=m\cdot \upsilon +m\cdot {{\upsilon }_{0}}\ ,\ \upsilon =\sqrt{2\cdot g\cdot h},\Delta p=m\cdot (\sqrt{2\cdot g\cdot h}+{{\upsilon }_{0}}). \\
& \Delta p=0,2\cdot (\sqrt{2\cdot 10\cdot 0,8}+5)=1,8. \\
\end{align} \]
∆р = 1,8 кг∙м/с.
Ответ 1) 1,8 кг∙м/с.
-
Тест А1. 8. Если шар массой m, двигавшийся со скоростью модулем υ, столкнется с неподвижны шаром такой же массы, то в результате абсолютно упругого центрального удара первый шар начнет двигаться со скоростью, модуль которой:
1) -2υ; 2) -υ; 3) –υ/2; 4) 0; 5) υ/2.
Решение.
В частном случае, когда оба шара имеют одинаковые массы (m1 = m2), первый шар после соударения останавливается (υ1 = 0), а второй движется со скоростью υ2 = υ, т. е. шары обмениваются скоростями (и, следовательно, импульсами).
Ответ: 4) 0.
-
Тест А1. 9. Два тела массами m1 и m2 движутся навстречу друг другу со скоростями, модули которых υ1 = 6,0 м/с и υ2 = 2,0 м/с соответственно. Если после неупругого соударения модули скоростей обоих тел υ = 2,0 м/с и направлены в сторону движения первого тела, то отношение их масс m1/m2 равно:
1) 4,0; 2) 3,0; 3) 1,4; 4)1,0; 5) 1/3.
Решение.
Для решения задачи используем закон сохранения импульса для абсолютно неупругого взаимодействия. \[ {{m}_{1}}\cdot {{\vec{\upsilon }}_{1}}+{{m}_{2}}\cdot {{\vec{\upsilon }}_{2}}=({{m}_{1}}+{{m}_{2}})\cdot \vec{\upsilon }. \]
Находим проекции на ось Ох и найдем отношение m1/m2 :\[ \begin{align}
& {{m}_{1}}\cdot {{\upsilon }_{1}}-{{m}_{2}}\cdot {{\upsilon }_{2}}=({{m}_{1}}+{{m}_{2}})\cdot \upsilon . \\
& \frac{{{m}_{1}}\cdot {{\upsilon }_{1}}}{{{m}_{2}}}-{{\upsilon }_{2}}=\frac{{{m}_{1}}\cdot \upsilon }{{{m}_{2}}}+\upsilon ,\ \frac{{{m}_{1}}\cdot {{\upsilon }_{1}}}{{{m}_{2}}}-\frac{{{m}_{1}}\cdot \upsilon }{{{m}_{2}}}={{\upsilon }_{2}}+\upsilon , \\
& \ \frac{{{m}_{1}}}{{{m}_{2}}}=\frac{{{\upsilon }_{2}}+\upsilon }{{{\upsilon }_{1}}-\upsilon },\ \ \frac{{{m}_{1}}}{{{m}_{2}}}=\frac{2+2}{6-2}=1,0. \\
\end{align} \]
Ответ: 4) 1,0.
-
Тест А1. 10. Чтобы сцепить три одинаковых вагона, стоящих на рельсах на небольшом расстоянии друг от друга, первому сообщают скорость, модуль которой υ = 3 м/с. После сцепления модуль скорости вагонов станет равен:
1) 9 м/с; 2) 6 м/с; 3) 1 м/с; 4) 0,7 м/с; 5) 0,3 м/с.
Решение.
Для решения задачи используем закон сохранения импульса для абсолютно неупругого взаимодействия. Покажем рисунки. Определим скорость после сцепления первого и второго вагона.\[ \begin{align}
& {{m}_{1}}\cdot {{{\vec{\upsilon }}}_{1}}+{{m}_{2}}\cdot {{{\vec{\upsilon }}}_{2}}=({{m}_{1}}+{{m}_{2}})\cdot {{{\vec{\upsilon }}}_{12}}.\ {{\upsilon }_{2}}=0,\ {{m}_{1}}={{m}_{2}}. \\
& Ox\ :\ m\cdot {{\upsilon }_{1}}=2\cdot m\cdot {{\upsilon }_{12}},\ {{\upsilon }_{12}}=\frac{{{\upsilon }_{1}}}{2}. \\
\end{align} \]
Определим скорость после сцепления трех одинаковых вагонов.\[ \begin{align}
& 2\cdot m\cdot {{{\vec{\upsilon }}}_{12}}+{{m}_{3}}\cdot {{{\vec{\upsilon }}}_{3}}=3\cdot m\cdot \vec{\upsilon }.\ {{\upsilon }_{3}}=0,\ {{m}_{1}}={{m}_{2}}={{m}_{3}}. \\
& Ox\ :\ 2\cdot m\cdot {{\upsilon }_{12}}=3\cdot m\cdot \upsilon ,\ \upsilon =\frac{2\cdot {{\upsilon }_{12}}}{3},\ \upsilon =\frac{2\cdot {{\upsilon }_{1}}}{3\cdot 2}=\frac{{{\upsilon }_{1}}}{3}. \\
\end{align} \]
υ = 1,0 м/с.
Ответ: 3) 1 м/с.
-
Тест А2. 1. Шарик массой m = 10 г, летящий перпендикулярно стенке со скоростью, модуль которой υ = 2 м/с, ударяется о стенку без потери скорости. Модуль изменения импульса шарика за время удара равен:
1) 0,01 кг∙м/с; 2) 0,02 кг∙м/с; 3) 0,04 кг∙м/с; 4) 0,08 кг∙м/с; 5) 0.
Решение. Покажем рисунок. Шарик ударяется об стенку без потери скорости, удар абсолютно упругий. Определим модуль изменения импульса шарика за время удара.\[ \begin{align}
& \Delta \vec{p}=m\cdot {{{\vec{\upsilon }}}_{2}}-m\cdot {{{\vec{\upsilon }}}_{1}},\ Ox:\ \Delta p=m\cdot {{\upsilon }_{2}}+m\cdot {{\upsilon }_{1}},\ {{\upsilon }_{1}}={{\upsilon }_{2}}=\upsilon ,\ \Delta p=2\cdot m\cdot \upsilon . \\
& \Delta p=2\cdot 10\cdot {{10}^{-3}}\cdot 2=40\cdot {{10}^{-3}}=0,04. \\
\end{align} \]
Ответ: 3) 0,04 кг∙м/с.
-
Тест А2. 2. Из орудия в горизонтальном направлении вылетает снаряд со скоростью, модуль которой υ = 500 м/с. Если модуль силы трения FТР =
4500 Н, масса орудия М = 1500 кг, масса снаряда m = 12 кг, то расстояние, на которое откатятся орудие, равно:
1) 1,3 м; 2) 1,8 м; 3) 2,7 м; 4) 3,4 м; 5) 5,5 м.
Решение. Определим скорость орудия после выстрела. Для системы снаряд орудие можно применить закон сохранения импульса. До выстрела скорость системы была равна нулю, определим начальную скорость отката орудия. \[ \begin{align}
& (M+m)\cdot \vec{\upsilon }=M\cdot {{{\vec{\upsilon }}}_{1}}+m\cdot {{{\vec{\upsilon }}}_{2}}.\ \upsilon =0. \\
& Ox:\ 0=M\cdot {{\upsilon }_{1}}-m\cdot {{\upsilon }_{2}},\ {{\upsilon }_{1}}=\frac{m\cdot {{\upsilon }_{2}}}{M}. \\
& {{\upsilon }_{1}}=\frac{500\cdot 12}{1500}=4. \\
\end{align} \]
Определим расстояние, на которое откатится орудие используя второй закон Ньютона. Покажем силы, которые действуют на орудие после выстрела:\[ {{\vec{F}}_{tr}}+M\cdot \vec{g}+\vec{N}=M\cdot \vec{a}. \]
Найдем проекции на ось Ох: \ \[ Ox:{{F}_{tr}}=M\cdot a\ \ \ (1). \]
\[ \begin{align}
& {{F}_{tr}}=M\cdot a,\ a=\frac{{{\upsilon }^{2}}-\upsilon _{1}^{2}}{-2\cdot s},\ \upsilon =0,\ {{F}_{tr}}=M\cdot \frac{\upsilon _{1}^{2}}{2\cdot s}.\ s=\frac{M\cdot \upsilon _{1}^{2}}{2\cdot {{F}_{tr}}}. \\
& s=\frac{1500\cdot 4\cdot 4}{2\cdot 4500}=2,7. \\
\end{align} \]
Ответ: 3) 2,7 м.
-
Тест А2. 3. На тело в течение времени t = 10 с действует постоянная сила модулем F = 50 Н. Если модуль изменения скорости в результате действия силы ∆υ = 5,0 м/с, то масса тела равна:
1) 25 кг; 2) 50 кг; 3) 100 кг; 4) 200 кг; 5) 250 кг.
Решение. Изменение импульса тела равно импульсу силы.\[ F\cdot t=m\cdot \Delta \upsilon ,\ m=\frac{F\cdot t}{\Delta \upsilon }.\ m=\frac{50\cdot 10}{5,0}=100. \]
Ответ: 3) 100 кг.
-
Тест А2. 4. Два шара движутся по гладкой горизонтальной плоскости вдоль одной прямой. Первый шар имеет массу m1 = 0,5 кг и скорость, модуль которой υ1 = 10 м/с, а второй — массу m2 = 1кг и скорость, модуль которой υ2 = 5 м/с. После того как первый шар догонит второй, происходит упругий удар и скорость первого шара уменьшается до величины u1 = 8 м/с. Модуль скорости второго шара после удара составит:
1) 1,0 м/с; 2) 2,0 м/с; 3) 4,0 м/с; 4) 6,0 м/с; 5)9,0 м/с.
Решение.
Для решения задачи используем закон сохранения импульса для абсолютно упругого взаимодействия.\[ {{m}_{1}}\cdot {{\vec{\upsilon }}_{1}}+{{m}_{2}}\cdot {{\vec{\upsilon }}_{2}}={{m}_{1}}\cdot {{\vec{u}}_{1}}+{{m}_{2}}\cdot {{\vec{u}}_{2}}. \]
Находим проекции на ось Ох и выразим скорость второго шара после удара.\[ \begin{align}
& {{m}_{1}}\cdot {{\upsilon }_{1}}+{{m}_{2}}\cdot {{\upsilon }_{2}}={{m}_{1}}\cdot {{u}_{1}}+{{m}_{2}}\cdot {{u}_{2}}. \\
& {{u}_{2}}=\frac{{{m}_{1}}\cdot {{\upsilon }_{1}}+{{m}_{2}}\cdot {{\upsilon }_{2}}-{{m}_{1}}\cdot {{u}_{1}}}{{{m}_{2}}}.\ {{u}_{2}}=\frac{0,5\cdot 10+1\cdot 5-0,5\cdot 8}{1}=6. \\
\end{align} \]
Ответ: 4) 6.
-
Тест А2. 5. Если горизонтально летящая пуля массой m, застревая в подвешенном на нити теле такой же массы, сообщает ему модуль скорости υ, то при увеличении массы тела в n = 2 раза та же пуля при тех же условиях сообщит ему скорость, модуль которой равен:
1) υ/3; 2) υ/2; 3) 2∙υ/3; 4) 3∙υ/4; 5) 3∙υ/2.
Решение. Рассмотрим первый случай. Для решения задачи используем закон сохранения импульса для абсолютно неупругого взаимодействия. \[ m\cdot {{\vec{\upsilon }}_{1}}=(m+M)\cdot \vec{\upsilon }. \]
Находим проекции на ось Ох и найдем скорость пули до удара.\[ m\cdot {{\upsilon }_{1}}=(m+M)\cdot \upsilon .\ M=m,\ {{\upsilon }_{1}}=\frac{2\cdot m\cdot \upsilon }{m},\ {{\upsilon }_{1}}=2\cdot \upsilon . \]
Рассмотрим второй случай, массу тела увеличили в два раза. Для решения задачи используем закон сохранения импульса для абсолютно неупругого взаимодействия. \[ m\cdot {{\vec{\upsilon }}_{1}}=(m+{{M}_{2}})\cdot {{\vec{\upsilon }}_{2}}. \]
Находим проекции на ось Ох и найдем скорость тела после взаимодействия.\[ \begin{align}
& m\cdot {{\upsilon }_{1}}=(m+{{M}_{2}})\cdot {{\upsilon }_{2}}.\ {{M}_{2}}=2\cdot m,\ \ {{\upsilon }_{1}}=2\cdot \upsilon ,\ \\
& m\cdot 2\cdot \upsilon =(m+2\cdot m)\cdot {{\upsilon }_{2}}.\ {{\upsilon }_{2}}=\frac{2\cdot m\cdot \upsilon }{3\cdot m}=\frac{2\cdot \upsilon }{3}. \\
\end{align} \]
Ответ: 3) 2∙υ/3.
-
Тест А2. 6. Если два тела, летящие навстречу друг другу со скоростями, модуль каждой из которых υ = 5 м/с, после абсолютно неупругого удара стали двигаться со скоростью, модуль которой u = 2,5 м/с, то отношение масс этих тел составляет:
1) 1; 2) 1 2; 3) 3; 4) 4; 5) 5.
Решение.
Для решения задачи используем закон сохранения импульса для абсолютно неупругого взаимодействия. \[ {{m}_{1}}\cdot {{\vec{\upsilon }}_{1}}+{{m}_{2}}\cdot {{\vec{\upsilon }}_{2}}=({{m}_{1}}+{{m}_{2}})\cdot \vec{u}. \]
Находим проекции на ось Ох и найдем отношение m1/m2 :\[ \begin{align}
& {{m}_{1}}\cdot \upsilon -{{m}_{2}}\cdot \upsilon =({{m}_{1}}+{{m}_{2}})\cdot u. \\
& \frac{{{m}_{1}}\cdot \upsilon }{{{m}_{2}}}-\upsilon =\frac{{{m}_{1}}\cdot u}{{{m}_{2}}}+u,\ \frac{{{m}_{1}}\cdot \upsilon }{{{m}_{2}}}-\frac{{{m}_{1}}\cdot u}{{{m}_{2}}}=\upsilon +u, \\
& \ \frac{{{m}_{1}}}{{{m}_{2}}}=\frac{\upsilon +u}{\upsilon -u},\ \ \frac{{{m}_{1}}}{{{m}_{2}}}=\frac{5+2,5}{5-2,5}=3. \\
\end{align} \]
Ответ: 3) 3.
-
Тест А2. 7. Тело брошено под углом α = 60° к горизонту со скоростью, модуль которой υ = 20 м/с. Модуль импульса тела при броске больше модуля импульса в верхней точке траектории в
1) в 1,0 раза; 2) в 1,2 раза; 3) в 2,0 раза; 4) в 2,9 раза; 5) в 3,7 раза.
Решение.
Определим модуль импульса тела при броске.
р1 = m∙υ (1).
Определим модуль импульса тела в верхней точке траектории.\[ \begin{align}
& {{p}_{2}}=m\cdot {{\upsilon }_{2}}\ \ \ (2),\ {{\upsilon }_{2}}=\sqrt{\upsilon _{x}^{2}+\upsilon _{y}^{2}},\ {{\upsilon }_{x}}=\upsilon \cdot \cos \alpha ,\ {{\upsilon }_{x}}=\frac{\upsilon }{2},\ {{\upsilon }_{y}}=0. \\
& {{\upsilon }_{2}}=\frac{\upsilon }{2},\ {{p}_{2}}=m\cdot \frac{\upsilon }{2}.\ \frac{{{p}_{1}}}{{{p}_{2}}}=\frac{m\cdot \upsilon }{m\cdot \frac{\upsilon }{2}}=2. \\
\end{align} \]
Ответ: 3) в 2,0 раза.
-
Тест А2. 9. Изменение модуля импульса шарика массой m, упавшего на горизонтальную плиту с высоты h и подпрыгнувшего на высоту Н, в момент удара составило:
1) m∙√(2∙g∙H + 2∙gh); 2) m∙√(2∙g∙H - 2∙gh); 3) m∙(√(2∙g∙H) - √(2∙gh)); 4); m∙√(g∙H + gh)5) m∙(√(2∙g∙H) + √(2∙gh)).
Решение. Покажем рисунок.
Изменения импульса тела определим по формуле:\[ \begin{align}
& \Delta \vec{p}=m\cdot {{{\vec{\upsilon }}}_{2}}-m\cdot {{{\vec{\upsilon }}}_{1}}\ \ (1). \\
& Ox:\ \Delta p=m\cdot {{\upsilon }_{2}}+m\cdot {{\upsilon }_{1}}\ ,\ {{\upsilon }_{1}}=\sqrt{2\cdot g\cdot h},\ {{\upsilon }_{2}}=\sqrt{2\cdot g\cdot H}, \\
& \Delta p=m\cdot (\sqrt{2\cdot g\cdot H}+\sqrt{2\cdot g\cdot h}). \\
\end{align} \]
Ответ 5) m∙(√(2∙g∙H) + √(2∙gh)).
-
Тест В1. 1. Мальчик, бегущий со скоростью, модуль которой υ1 = 4,0 м/с, догоняет тележку, движущуюся со скоростью модулем υ2 = 3,0 м/с, и вскакивает на нее. Масса мальчика m1 = 50 кг, масса тележки m2 = 80 кг. Модуль скорости тележки в тот момент, когда мальчик вскочил на нее, составляет … м/с.
Решение. Покажем рисунок. Для решения задачи используем закон сохранения импульса для абсолютно неупругого взаимодействия: \[ {{m}_{1}}\cdot {{\vec{\upsilon }}_{1}}+{{m}_{2}}\cdot {{\vec{\upsilon }}_{2}}=({{m}_{1}}+{{m}_{2}})\cdot \vec{\upsilon }\ \ \ (1). \]
Находим проекции на ось Ох и выразим скорость тележки в тот момент, когда мальчик вскочил на нее: \[ \begin{align}
& {{m}_{1}}\cdot {{\upsilon }_{1}}+{{m}_{2}}\cdot {{\upsilon }_{2}}=({{m}_{1}}+{{m}_{2}})\cdot \upsilon \ \\
& \upsilon =\frac{{{m}_{1}}\cdot {{\upsilon }_{1}}+{{m}_{2}}\cdot {{\upsilon }_{2}}}{{{m}_{1}}+{{m}_{2}}}.\ \upsilon =\frac{50\cdot 4,0+80\cdot 3,0}{50+80}\ =3,384. \\
\end{align} \]
υ = 3,4 м/с.
Ответ: 3,4 м/с.
-
Тест В1. 2. Автомат выпускает пули с частотой ν = 600 мин-1. Масса каждой пули m = 4,0 г, модуль начальной скорости υ = 500 м/с. Модуль средней силы отдачи при стрельбе составляет … Н.
Решение. Определим изменение импульса одной пули.\[ \Delta p=m\cdot \vec{\upsilon }-m\cdot {{\vec{\upsilon }}_{0}},\ oX:\ \Delta p=m\cdot \upsilon \ \ \ (1). \]
Изменение импульса тела равно импульсу силы. Определим силу отдачи при выстреле одной пули.\[ {{F}_{1}}\cdot t=\Delta p,\ {{F}_{1}}\cdot t=m\cdot \upsilon ,\ {{F}_{1}}=\frac{m\cdot \upsilon }{t}\ \ \ (2). \]
Модуль средней силы отдачи при стрельбе составит:\[ \begin{align}
& F=N\cdot {{F}_{1}},\ N=\nu \cdot t,\ F=\nu \cdot t\cdot \frac{m\cdot \upsilon }{t},\ F=\nu \cdot m\cdot \upsilon . \\
& F=\frac{600}{60}\cdot 4,0\cdot {{10}^{-3}}\cdot 500=20. \\
\end{align}
\]
Ответ: 20 Н.
-
Тест В1. 3. Частицы массами m1 = 4,0 и m2 = 6,0 г со скоростями, модули которых υ1 = 2,0 м/с и υ2 = 1,0 м/с, движутся взаимно перпендикулярно. При столкновении частиц происходит неупругий удар, в результате которого частицы начинают двигаться вместе. Модуль скорости частиц после удара составляет … м/с.
Решение. Покажем рисунок.
Для решения задачи используем закон сохранения импульса для абсолютно неупругого взаимодействия. \[ \begin{align}
& {{m}_{1}}\cdot {{{\vec{\upsilon }}}_{1}}+{{m}_{2}}\cdot {{{\vec{\upsilon }}}_{2}}=({{m}_{1}}+{{m}_{2}})\cdot \vec{\upsilon }.\ {{({{m}_{1}}\cdot {{\upsilon }_{1}})}^{2}}+{{({{m}_{2}}\cdot {{\upsilon }_{2}})}^{2}}={{(({{m}_{1}}+{{m}_{2}})\cdot \upsilon )}^{2}}. \\
& \upsilon =\frac{\sqrt{{{({{m}_{1}}\cdot {{\upsilon }_{1}})}^{2}}+{{({{m}_{2}}\cdot {{\upsilon }_{2}})}^{2}}}}{({{m}_{1}}+{{m}_{2}})}.\ \\
& \upsilon =\frac{\sqrt{{{(4\cdot {{10}^{-3}}\cdot 2,0)}^{2}}+{{(6,0\cdot {{10}^{-3}}\cdot 1,0)}^{2}}}}{(4\cdot {{10}^{-3}}+6,0\cdot {{10}^{-3}})}=1,0. \\
\end{align} \]
Ответ: 1,0 м/с.
-
Тест В1. 5. Человек, находящийся в лодке, переходит с носа на корму. Если длина лодки составляет l = 3,0 м, масса человека m = 60 кг, а масса лодки М = 120 кг, то лодка переместится на расстояние … м.
Решение. Для решения задачи используем закон сохранения импульса:\[ {{\vec{p}}_{1}}={{\vec{p}}_{2}}\ \ \ (1). \]
р1 – импульс до взаимодействия (человек стоит ):
р1 = 0 (2).
р2 – импульс во время взаимодействия (человек переходит с носа на корму в одну сторону, лодка вместе с человеком движется в другую сторону)
р2 = m∙υ1 – (М + m)∙υ2 (3).
Подставим (3) и (2) в (1) выразим перемещение лодки:\[ \begin{align}
& {{\upsilon }_{1}}=\frac{l}{t},\ {{\upsilon }_{1}}=\frac{s}{t},\ m\cdot \frac{l}{t}=(M+m)\cdot \frac{s}{t},\ s=\frac{m\cdot l}{M+m}. \\
& s=\frac{60\cdot 3,0}{60+120}=1,0. \\
\end{align} \]
s = 1,0 м.
Ответ: 1,0 м.
-
Тест В1. 6. Тележка массой m1 = 120 кг движется по рельсам без трения со скоростью, модуль которой υ1 = 6,0 м/с. С тележки соскакивает человек массой m2 = 80 кг под углом 30° к направлению ее движения в горизонтальной плоскости. Если модуль скорости тележки уменьшается при этом до u1 = 5,0 м/с, то модуль скорости человека относительно земли во время прыжка равен … м/с.
Решение. Для решения задачи используем закон сохранения импульса для абсолютно неупругого взаимодействия.
Находим проекции на ось Ох и выразим скорость человека в тот момент, когда он выскочит из нее : \[ \begin{align}
& ({{m}_{1}}+{{m}_{2}})\cdot \vec{\upsilon }={{m}_{1}}\cdot {{{\vec{u}}}_{1}}+{{m}_{2}}\cdot {{{\vec{\upsilon }}}_{2}}.\ \\
& Ox:\ ({{m}_{1}}+{{m}_{2}})\cdot \upsilon ={{m}_{1}}\cdot {{u}_{1}}+{{m}_{2}}\cdot {{\upsilon }_{2}}\cdot \cos \alpha ,\ \\
& {{\upsilon }_{2}}=\frac{({{m}_{1}}+{{m}_{2}})\cdot \upsilon -{{m}_{1}}\cdot {{u}_{1}}}{{{m}_{2}}\cdot \cos \alpha },\ {{\upsilon }_{2}}=\frac{(120+80)\cdot 6,0-120\cdot 5,0}{80\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}=8,67. \\
\end{align} \]
Ответ: 8,7 м/с.
-
Тест В1. 4. Снаряд, летящий со скоростью, модуль которой υ0 = 100 м/с, в верхней точке траектории на высоте h = 100 м разорвался на две части массами m1 = 1,0 кг и m2 = 1,5 кг. Модуль скорости большего осколка υ2 = 250 м/с и совпадает по направлению с υ0. Расстояние между точками падения обоих осколков составляет ... км.
Решение. Будем считать, что снаряд летит горизонтально. Покажем рисунок. Для решения задачи используем закон сохранения импульса для абсолютно неупругого взаимодействия, определим скорость первого осколка.\[ \begin{align}
& ({{m}_{1}}+{{m}_{2}})\cdot {{{\vec{\upsilon }}}_{0}}={{m}_{1}}\cdot {{{\vec{\upsilon }}}_{1}}+{{m}_{2}}\cdot {{{\vec{\upsilon }}}_{2}}.\ Ox:\ \ ({{m}_{1}}+{{m}_{2}})\cdot {{\upsilon }_{0}}={{m}_{2}}\cdot {{\upsilon }_{2}}-{{m}_{1}}\cdot {{\upsilon }_{1}}, \\
& {{\upsilon }_{1}}=\frac{{{m}_{2}}\cdot {{\upsilon }_{2}}-({{m}_{1}}+{{m}_{2}})\cdot {{\upsilon }_{0}}}{{{m}_{1}}},\ {{\upsilon }_{1}}=\frac{1,5\cdot 250-(1,5+1,0)\cdot 100}{1,0}=125. \\
\end{align} \]
Определим время падения осколков, перемещение по горизонтали первого и второго осколка и расстояние между точками падения обоих осколков.\[ \begin{align}
& t=\sqrt{\frac{2\cdot h}{g}},\ t=\sqrt{\frac{2\cdot 100}{10}}=\sqrt{20}.\ {{s}_{1}}={{\upsilon }_{1}}\cdot t,\ {{s}_{2}}={{\upsilon }_{2}}\cdot t,\ s={{s}_{1}}+{{s}_{2}}, \\
& s=t\cdot ({{\upsilon }_{1}}+{{\upsilon }_{2}}),\ s=\sqrt{20}\cdot (125+250)=1677,05. \\
\end{align} \]
Ответ: 1,7 км.
-
Тест В 1. 8. Граната, летевшая горизонтально со скоростью, модуль которой υ = 10 м/с, разорвалась на две части массами m1 = 1,0 кг и m2 = 1,5 кг. Если скорость большего осколка осталась горизонтальной и модуль ее υ2 = 26 м/с, то модуль скорости меньшего осколка составляет ... м/с.
Решение. Покажем рисунок. Для решения задачи используем закон сохранения импульса для абсолютно неупругого взаимодействия, определим скорость меньшего осколка. \[ \begin{align}
& ({{m}_{1}}+{{m}_{2}})\cdot \vec{\upsilon }={{m}_{1}}\cdot {{{\vec{\upsilon }}}_{1}}+{{m}_{2}}\cdot {{{\vec{\upsilon }}}_{2}}.\ Ox:\ \ ({{m}_{1}}+{{m}_{2}})\cdot \upsilon ={{m}_{2}}\cdot {{\upsilon }_{2}}-{{m}_{1}}\cdot {{\upsilon }_{1}}, \\
& {{\upsilon }_{1}}=\frac{{{m}_{2}}\cdot {{\upsilon }_{2}}-({{m}_{1}}+{{m}_{2}})\cdot \upsilon }{{{m}_{1}}},\ {{\upsilon }_{1}}=\frac{1,5\cdot 26-(1,5+1,0)\cdot 10}{1,0}=14. \\
\end{align} \]
Ответ: 14 м/с.
-
Тест В 1. 9. К неподвижному аэростату массой М = 1140 кг привязана веревочная лестница, на которой стоит человек массой m = 60 кг. Если человек начнет подниматься по лестнице с постоянной по модулю скоростью υ = 1,0 м/с относительно лестницы, то аэростат будет перемещаться со скоростью, модуль которой равен ... см/с.
Решение.
Для решения задачи используем закон сохранения импульса:\[ {{\vec{p}}_{1}}={{\vec{p}}_{2}}\ \ \ (1). \]
р1 – импульс до взаимодействия (человек стоит на лестнице ):
р1 = 0 (2).
р2 – импульс во время взаимодействия (человек поднимается в одну сторону, аэростат вместе с человеком движется в другую сторону)
р2 = m∙υ – (М + m)∙υ2 (3).
\[ \begin{align}
& 0=m\cdot \upsilon -(M+m)\cdot {{\upsilon }_{2}},\ \ {{\upsilon }_{2}}=\frac{m\cdot \upsilon }{M+m}. \\
& {{\upsilon }_{2}}=\frac{60\cdot 1,0\cdot 100}{60+1140}=5,0. \\
\end{align} \]
υ2 = 5,0 см/с.
Ответ: 5 см/с.
-
Тест В 1. 10. Тело массой m = 200 г брошено с начальной скоростью, модуль которой υ0 =50 м/с, под углом α = 30° к горизонту. Модуль изменения импульса тела за время полета равен … кг∙м/с.
Решение.\[ \begin{align}
& \Delta \vec{p}=m\cdot {{{\vec{\upsilon }}}_{2}}-m\cdot {{{\vec{\upsilon }}}_{1}}.\ \\
& Ox:\ \Delta {{p}_{x}}=m\cdot {{\upsilon }_{0}}\cdot \cos \alpha -m\cdot {{\upsilon }_{0}}\cdot \cos \alpha =0, \\
& Oy:\ \Delta {{p}_{y}}=m\cdot {{\upsilon }_{0}}\cdot sin\alpha +m\cdot {{\upsilon }_{0}}\cdot sin\alpha ,\ \Delta {{p}_{y}}=2\cdot m\cdot {{\upsilon }_{0}}\cdot sin\alpha . \\
& \Delta p=\sqrt{\Delta p_{x}^{2}+\Delta p_{y}^{2}}=2\cdot m\cdot {{\upsilon }_{0}}\cdot sin\alpha . \\
& \Delta p=2\cdot 0,2\cdot 50\cdot \frac{1}{2}=10. \\
\end{align} \]
Ответ: 10 кг∙м/с.
-
Тест В2. 1. Конькобежец массой m1 = 70 кг, стоя на коньках на льду, бросает в горизонтальном направлении камень массой m2 = 3,0 кг со скоростью, модуль которой υ = 8,0 м/с. Если коэффициент трения коньков о лед μ = 0,02 0, то конькобежец откатится на расстояние ... см.
Решение. Определим скорость конькобежца после бросания камня.
Для системы конькобежец камень можно применить закон сохранения импульса.
До броска скорость системы была равна нулю, определим начальную скорость отката конькобежца.\[ \begin{align}
& 0={{m}_{1}}\cdot {{{\vec{\upsilon }}}_{1}}+{{m}_{2}}\cdot \vec{\upsilon }=0. \\
& Ox:\ 0={{m}_{1}}\cdot {{\upsilon }_{1}}-{{m}_{2}}\cdot \upsilon ,\ {{\upsilon }_{1}}=\frac{{{m}_{2}}\cdot \upsilon }{{{m}_{1}}}. \\
& {{\upsilon }_{1}}=\frac{3,0\cdot 8,0}{70}=\frac{12}{35}. \\
\end{align} \]
Определим расстояние, на которое откатится конькобежец, используя второй закон Ньютона. Покажем силы, которые действуют на конькобежца после броска:\[ {{\vec{F}}_{tr}}+{{m}_{1}}\cdot \vec{g}+\vec{N}={{m}_{1}}\cdot \vec{a}. \]
Найдем проекции на ось Ох и Оу: \[ \begin{align}
& \ Ox:{{F}_{tr}}={{m}_{1}}\cdot a\ \ \ (1),\ Oy:\ N-{{m}_{1}}\cdot g=0\ \ \ (2),\ {{F}_{tr}}=\mu \cdot N\ \ \ (3), \\
& \mu \cdot {{m}_{1}}\cdot g={{m}_{1}}\cdot a\ ,\ a=\mu \cdot g\ \ \ (4). \\
\end{align} \]
\[ \begin{align}
& a=\frac{\upsilon _{k}^{2}-\upsilon _{1}^{2}}{-2\cdot s},\ {{\upsilon }_{k}}=0,\ \mu \cdot g=\frac{\upsilon _{1}^{2}}{2\cdot s}\ s=\frac{\upsilon _{1}^{2}}{2\cdot \mu \cdot g}. \\
& s=\frac{{{(\frac{12}{35})}^{2}}}{2\cdot 10\cdot 0,02}\cdot 100=29,387. \\
\end{align}
\]
Ответ: 29,387 см.
-
Тест В2. 2. Тело массой m1 = 2,0 кг движется навстречу второму телу
m2 = 1,5 кг и не упруго сталкивается с ним. Модули скоростей тел непосредственно перед ударом υ1 = 1,0 м/с и υ2 = 2,0 м/с. Если коэффициент трения μ = 0,050, то тела после удара будут двигаться в течение времени ... с.
Решение.
Для решения задачи используем закон сохранения импульса для абсолютно неупругого взаимодействия. \[ {{m}_{1}}\cdot {{\vec{\upsilon }}_{1}}+{{m}_{2}}\cdot {{\vec{\upsilon }}_{2}}=({{m}_{1}}+{{m}_{2}})\cdot \vec{\upsilon }. \]
Находим проекции импульсов тел на ось Ох и найдем скорость совместного движения тел.\[ \begin{align}
& {{m}_{1}}\cdot {{\upsilon }_{1}}-{{m}_{2}}\cdot {{\upsilon }_{2}}=({{m}_{1}}+{{m}_{2}})\cdot \upsilon . \\
& \upsilon =\frac{{{m}_{1}}\cdot {{\upsilon }_{1}}-{{m}_{2}}\cdot {{\upsilon }_{2}}}{({{m}_{1}}+{{m}_{2}})},\ \upsilon =\frac{2,0\cdot 1,0-1,5\cdot 2,0}{2,0+1,5}=-\frac{1}{3,5}. \\
\end{align} \]
Скорость направлена против выбранной нами оси.
Определим время, на протяжении которого будут двигаться тела после взаимодействия до полной остановки, используя второй закон Ньютона. Движение равнозамедленное, начальная скорость равна скорости, которую получат тела сразу после взаимодействия. Покажем силы, которые действуют на тело массой m1 + m2.\[ {{\vec{F}}_{tr}}+m\cdot \vec{g}+\vec{N}=m\cdot \vec{a}. \]
Найдем проекции на ось Ох и Оу: \[ \begin{align}
& \ Ox:{{F}_{tr}}=m\cdot a\ \ \ (1),\ Oy:\ N-m\cdot g=0\ \ \ (2),\ {{F}_{tr}}=\mu \cdot N\ \ \ (3), \\
& \mu \cdot m\cdot g=m\cdot a\ ,\ a=\mu \cdot g\ \ \ (4). \\
\end{align} \]
\[ \begin{align}
& \upsilon ={{\upsilon }_{0}}-a\cdot t,\ t=\frac{{{\upsilon }_{0}}}{a},\ t=\frac{{{\upsilon }_{0}}}{\mu \cdot g}. \\
& t=\frac{1}{3,5\cdot 10\cdot 0,05}=0,57. \\
\end{align} \]
Ответ: 0,57 с.
-
Тест В2. 3. Частицы 1 и 2 имеют одинаковую массу m и скорости, модули которых υ1 = З м/с и υ2 = 4 м/с. Скорости частиц направлены взаимно перпендикулярно. Если в результате удара первая частица останавливается, то модуль скорости второй частицы после удара будет равен ... м/с.
Решение. Покажем рисунок.
Для решения задачи используем закон сохранения импульса для абсолютно неупругого взаимодействия. \[ \begin{align}
& m\cdot {{{\vec{\upsilon }}}_{1}}+m\cdot {{{\vec{\upsilon }}}_{2}}=m\cdot \vec{\upsilon }.\ {{(m\cdot {{\upsilon }_{1}})}^{2}}+{{(m\cdot {{\upsilon }_{2}})}^{2}}={{(m\cdot \upsilon )}^{2}}. \\
& \upsilon =\frac{\sqrt{{{(m\cdot {{\upsilon }_{1}})}^{2}}+{{(m\cdot {{\upsilon }_{2}})}^{2}}}}{m}=\sqrt{{{\upsilon }_{1}}^{2}+\upsilon _{2}^{2}}.\ \\
& \upsilon =\sqrt{{{(3)}^{2}}+{{(4)}^{2}}}=5. \\
\end{align} \]
Ответ: 5 м/с.
-
Тест В2. 4. Снаряд в верхней точке траектории имеет скорость, модуль которого υ = 12 м/с. Снаряд разорвался на две части массами m1 = 10 кг и m2
= 5,0 кг. Модуль скорости большего осколка υ2 = 25 м/с и скорость направлена под углом α = 30° к горизонту вниз и вперед. Величина скорости меньшего осколка составляет ... м/с.
Решение.\[ \begin{align}
& ({{m}_{1}}+{{m}_{2}})\cdot \vec{\upsilon }={{m}_{2}}\cdot {{{\vec{\upsilon }}}_{1}}+{{m}_{1}}\cdot {{{\vec{\upsilon }}}_{2}}.\ \\
& {{({{m}_{2}}\cdot {{\upsilon }_{1}})}^{2}}={{(({{m}_{1}}+{{m}_{2}})\cdot \upsilon )}^{2}}+{{({{m}_{1}}\cdot {{\upsilon }_{2}})}^{2}}-2\cdot ({{m}_{1}}+{{m}_{2}})\cdot \upsilon )\cdot ({{m}_{1}}\cdot {{\upsilon }_{2}})\cdot cos\alpha , \\
& {{\upsilon }_{1}}=\sqrt{\frac{{{(({{m}_{1}}+{{m}_{2}})\cdot \upsilon )}^{2}}+{{({{m}_{1}}\cdot {{\upsilon }_{2}})}^{2}}-2\cdot ({{m}_{1}}+{{m}_{2}})\cdot \upsilon \cdot ({{m}_{1}}\cdot {{\upsilon }_{2}})\cdot cos\alpha }{m_{2}^{2}}}, \\
& {{\upsilon }_{1}}=\frac{\sqrt{{{((10+5,0)\cdot 12)}^{2}}+{{(10\cdot 25)}^{2}}-2\cdot (10+5,0)\cdot 12\cdot 10\cdot 25\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}}{5,0}=26. \\
\end{align} \]
Ответ: 26 м/с.
-
Тест В2. 5. Тележка с песком массой М = 16 кг движется по горизонтальным рельсам со скоростью, модуль которой υ = 5,0 м/с. Вертикально падающий камень массой m = 4,0 кг попадает в песок и движется вместе с тележкой. Модуль скорости тележки после падения камня будет равен ... м/с.
Решение. Определим совместную скорость тележки с песком после падения на нее камня.
Для системы тележка с песком камень можно применить закон сохранения импульса.\[ \begin{align}
& M\cdot \vec{\upsilon }+m\cdot {{{\vec{\upsilon }}}_{2}}=(M+m)\cdot {{{\vec{\upsilon }}}_{1}}. \\
& Ox:\ M\cdot \upsilon =(M+m)\cdot {{\upsilon }_{1}},\ {{\upsilon }_{1}}=\frac{M\cdot \upsilon }{M+m}. \\
& \upsilon =\frac{16\cdot 5,0}{(16+4,0)}=4,0. \\
\end{align} \]
Ответ: 4,0 м/с.
-
Тест В2. 6. Два рыбака сидят в неподвижной лодке на расстоянии l = 5,0 м друг от друга. Масса лодки М = 280 кг, массы рыбаков m1 = 70 кг и m2 = 140 кг. Если рыбаки поменяются местами, лодка сместится на ... см.
Решение.
Внутренние силы, при любых изменениях внутри системы не могут изменить положение центра масс лодки относительно берега. Если рыбаки меняются местами, лодка вместе с рыбаками будет двигаться в сторону противоположную перемещению рыбака с большей массой для того чтобы не изменить положение центра масс лодки относительно берега.
Для решения задачи используем закон сохранения импульса:\[ {{\vec{p}}_{1}}={{\vec{p}}_{2}}\ \ \ (1). \]
р1 – импульс до взаимодействия (два рыбака стоят на лодке, лодка не движется):
р1 = 0 (2).
р2 – импульс во время взаимодействия (рыбаки меняются местами, лодка вместе с рыбаками будет двигаться в сторону противоположную перемещению рыбака с большей массой). \[ \begin{align}
& {{{\vec{p}}}_{2}}={{m}_{1}}\cdot {{{\vec{\upsilon }}}_{1}}+{{m}_{2}}\cdot {{{\vec{\upsilon }}}_{2}}+(M+{{m}_{1}}+{{m}_{2}})\cdot \vec{\upsilon }, \\
& Ox:\ {{p}_{2}}={{m}_{1}}\cdot {{\upsilon }_{1}}-{{m}_{2}}\cdot {{\upsilon }_{2}}+(M+{{m}_{1}}+{{m}_{2}})\cdot \upsilon \ \ \ (3). \\
\end{align} \]
Подставим (3) и (2) в (1) определим перемещение лодки:\[ \begin{align}
& 0={{m}_{1}}\cdot {{\upsilon }_{1}}-{{m}_{2}}\cdot {{\upsilon }_{2}}+(M+{{m}_{1}}+{{m}_{2}})\cdot \upsilon ,\ {{\upsilon }_{1}}=\frac{l}{t}\ \ \ (4),\ {{\upsilon }_{2}}=\frac{l}{t}\ \ \ (5),\ \upsilon =\frac{{{l}_{1}}}{t}\ \ \ (6), \\
& 0={{m}_{1}}\cdot \frac{l}{t}-{{m}_{2}}\cdot \frac{l}{t}+(M+{{m}_{1}}+{{m}_{2}})\cdot \frac{{{l}_{1}}}{t},\ l\cdot ({{m}_{2}}-{{m}_{1}})=(M+{{m}_{1}}+{{m}_{2}})\cdot {{l}_{1}}, \\
& {{l}_{1}}=\frac{l\cdot ({{m}_{2}}-{{m}_{1}})}{(M+{{m}_{1}}+{{m}_{2}})}\ \ \ \ (7).\ {{l}_{1}}=\frac{5,0\cdot (140-70)}{280+140+70}=0,713. \\
\end{align} \]
l1 = 0,713 м.
Ответ: 71 см.
-
Тест В2. 7. Ракета, масса которой без топлива составляет М = 400 г, при сгорании топлива поднимается на высоту h = 125 м. Масса топлива m = 50 г. Если сгорание происходит мгновенно, то модуль скорости выхода газов из ракеты составляет ... км/с.
Решение.
До старта импульс системы ракета топливо был равен нулю, используя закон сохранения импульса определим скорость выхода газов из ракеты при старте.\[ \begin{align}
& 0=M\cdot {{{\vec{\upsilon }}}_{1}}+m\cdot \vec{\upsilon }. \\
& Ox:\ 0=M\cdot {{\upsilon }_{1}}-m\cdot \upsilon ,\ \upsilon =\frac{M\cdot {{\upsilon }_{1}}}{m},\ {{\upsilon }_{1}}=\sqrt{2\cdot g\cdot h},\ \ \upsilon =\frac{M\cdot \sqrt{2\cdot g\cdot h}}{m}, \\
& \upsilon =\frac{0,4\cdot \sqrt{2\cdot 10\cdot 125}}{0,05}=400. \\
\end{align} \]
Ответ: 0,4 км/с.
-
Тест В2. 9. Струя воды падает перпендикулярно на стенку и стекает с нее. Если модуль скорости течения воды в струе υ = 10,0 м/с, то давление, оказываемое водой на стенку, составляет ... кПа.
Решение.
Изменение импульса воды равно импульсу силы. \[ \begin{align}
& F\cdot t=\Delta p,\Delta p=m\cdot \upsilon ,\ m=\rho \cdot V,\ V=S\cdot l,\ F\cdot t=\rho \cdot S\cdot l\cdot \upsilon , \\
& \frac{F}{S}=\frac{\rho \cdot l\cdot \upsilon }{t}=\rho \cdot {{\upsilon }^{2}}.\ \frac{F}{S}=1000\cdot {{10}^{2}}={{10}^{5}}. \\
\end{align}
\]
Ответ: 100 кПа.
-
Тест В2. 10. Гидрореактивный (водометный) катер всасывает и выбрасывает ежесекундно забортную воду объёмом V = 0,500 м3. Если модуль скорости вбрасываемой воды относительно катера υ = 25,0 м/с, то модуль реактивной силы составляет ... кН.
Решение. Изменение импульса забортной воды относительно катера равно импульсу силы.
\[ \begin{align}
& \Delta \vec{p}=m\cdot \vec{\upsilon }-m\cdot {{{\vec{\upsilon }}}_{0}},\ {{\upsilon }_{0}}=0,\ Ox:\ \Delta p=m\cdot \upsilon ,\ m=\rho \cdot V,\ F\cdot t=\Delta p, \\
& F=\frac{\rho \cdot V\cdot \upsilon }{t}.\ F=\frac{1000\cdot 0,5\cdot 25}{1}=12500. \\
\end{align} \]
F = 12,5 кН.