Автор Тема: Отношение кинетической энергии к потенциальной  (Прочитано 27520 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Fiz

  • Гость
Чему равно отношение кинетической энергии точки,
совершающей гармонические колебания, к ее потенциальной энергии для
момента времени t = T/12, где Т – период колебаний.
« Последнее редактирование: 29 Января 2011, 18:06 от alsak »

Оффлайн alsak

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 1976
  • Рейтинг: +8/-0
  • Не делает ошибок тот, кто ничего не делает
Ответ задачи зависит от начальной фазы колебаний. Есть ли в условии что-нибудь про начальную фазу?

Fiz

  • Гость
это всё условие, про начальную фазу ничего не сказано, единственно только отличается величина фаз энергий на \[ \frac{\pi}{2} \].


Оффлайн alsak

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 1976
  • Рейтинг: +8/-0
  • Не делает ошибок тот, кто ничего не делает
единственно только отличается величина фаз энергий на \[ \frac{\pi}{2} \].
Не понял. А это откуда вы взяли? В условии про это ничего нет.

Fiz

  • Гость
это по определению и формулам

Оффлайн alsak

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 1976
  • Рейтинг: +8/-0
  • Не делает ошибок тот, кто ничего не делает
это по определению и формулам

Вы прогрессируете на глазах.  :o

Если никто вам не поможет, вечером выложу решение.
« Последнее редактирование: 30 Января 2011, 07:19 от alsak »

Оффлайн alsak

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 1976
  • Рейтинг: +8/-0
  • Не делает ошибок тот, кто ничего не делает
Уравнение гармонического колебания материальной точки имеет вид

x = A⋅sin (ω⋅t + φ0),

где А — амплитуда колебаний, ω — циклическая частота колебаний. Считаем, по  умолчанию, что начальная фаза колебаний φ0 = 0. Тогда

x = A⋅sin ω⋅t,
υ = x' = A⋅ω⋅cos ω⋅t,

где υ — скорость точки (скорость равна первой производной от координаты).

Кинетическая энергия материальной точки равна
 
\[ W_{k} = \frac{m \cdot \upsilon^{2}}{2} = \frac{m}{2} \cdot \left(A \cdot \omega \cdot \cos \omega \cdot t \right)^{2}. \]

1 способ. Потенциальная энергия равна

Wp = W – Wk,

где W — полная механическая энергия системы, равная
 
\[ W = \frac{m \cdot \upsilon_{\max}^{2}}{2} = \frac{m \cdot \left(A \cdot \omega \right)^{2}}{2}. \]

Тогда
 
\[ W_{p} = \frac{m \cdot \left(A \cdot \omega \right)^{2}}{2} - \frac{m}{2} \cdot \left(A \cdot \omega \cdot \cos \omega \cdot t \right)^{2} = \]

\[ = \frac{m \cdot \left(A \cdot \omega \right)^{2}}{2} \left(1 - \cos^{2} \omega \cdot t \right) = \frac{m \cdot A^{2} \cdot \omega^{2}}{2} \cdot \sin^{2} \omega \cdot t. \]

2 способ. Потенциальная энергия равна
 
\[ W_{p} = \frac{k \cdot x^{2}}{2} = \frac{k}{2} \cdot \left(A \cdot \sin \omega \cdot t \right)^{2}.
 \]

Коэффициент жесткости колебательной системы найдем следующим образом:
 
\[ \omega = \sqrt{\frac{k}{m}}, \, \, \, k = m \cdot \omega^{2}. \]


В итоге получаем
 
\[ \frac{W_{k}}{W_{p}} = \frac{m \cdot \left(A \cdot \omega \cdot \cos \omega \cdot t \right)^{2}}{2} \cdot \frac{2}{m \cdot \omega^{2} \cdot \left(A \cdot \sin \omega \cdot t \right)^{2}} = ctg^{2} \omega \cdot t. \]

Так как ω = 2π/T и t = T/12, то
 
\[ \frac{W_{k}}{W_{p}} = ctg^{2} \frac{2 \pi}{T} \cdot \frac{T}{12} = ctg^{2} \frac{\pi}{6} = 3. \]
« Последнее редактирование: 25 Марта 2011, 19:27 от alsak »

Fiz

  • Гость
Извините меня пожалуйста, но у меня есть вопросы по решению)))

Почему в первом выражении синус, а не косинус?

Оффлайн alsak

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 1976
  • Рейтинг: +8/-0
  • Не делает ошибок тот, кто ничего не делает
sin или cos писать в уравнении гармонического колебания зависит от начальных условий (начальной фазы) колебаний. В условии ничего про начальные условия не сказано, поэтому я предположил, что колебания происходят по закону sin и "считаем, по  умолчанию, что начальная фаза колебаний φ0 = 0".

Fiz

  • Гость
Объясните пожалуйста формулу для потенциальной энергии

А если учесть, что \[ t=0 \], тогда как решать и такой ли ответ мы получим?
« Последнее редактирование: 30 Января 2011, 19:12 от Fiz »

 

Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24