Задачи и вопросы по физике > Решение задач Н.Е. Савченко
Линзы из сборника Савченко Н.Е.
alsak:
Здесь вы можете задать вопрос по решению любой задачи из книги «Савченко Н.Е. Решение задач по физике» из раздела «Линзы».
Решение задач по физике из книги Савченко Н.Е. Решение задач по физике. – Мн.: Высш. школа, 2003. – 479 с.
859 860 861 862 863 864 865 866 867 868 869 870 871 872 873 874 875 876 877 878 879 880 881 882 883 884 885 886 887 888 889 890 891 892 893 894 895 896
andrey:
869 872 865
Kivir:
872. На каком расстоянии перед рассеивающей линзой с оптической силой D = –2 дптр надо поставить предмет, чтобы его мнимое изображение получилось на середине расстояния между линзой и её мнимым фокусом?
Решение: запишем формулу тонкой линзы (с учётом правила знаков):
\[ -\left|D\right|=\frac{1}{d} -\frac{1}{f}. \]
Здесь d – искомое расстояние между предметом и линзой. По условию задачи, расстояние между линзой и изображением f равно половине фокусного расстояния, которое связано с оптической силой:
\[ \begin{array}{l} {\left|D\right|=\frac{1}{F} ,F=\frac{1}{\left|D\right|} ,} \\ {f=\frac{F}{2} =\frac{1}{2\cdot \left|D\right|}.} \end{array} \]
Подставим в формулу линзы и выразим искомую величину:
\[ \begin{array}{l} {-\left|D\right|=\frac{1}{d} -2\cdot \left|D\right|,} \\ {d=\frac{1}{\left|D\right|}.} \end{array} \]
Ответ: 0,5 м.
Kivir:
869. Линза с фокусным расстоянием F = 3 см создаёт перевёрнутое изображение предмета. Расстояния от предмета до линзы и от линзы до изображения отличаются на l = 8 см. С каким увеличением изображён предмет.
Решение: проанализируем ситуацию. Линза, явно, собирающая и изображение, о котором идёт речь в условии задачи – действительное (собирающая линза даёт всегда перевёрнутое действительное изображение, прямое изображение в собирающей линзе – мнимое, а рассеивающая линза всегда даёт прямое, мнимое изображение). Запишем формулу тонкой линзы (с учётом правила знаков):
\[ \frac{1}{F} =\frac{1}{d} +\frac{1}{f}. \]
Здесь d – искомое расстояние между предметом и линзой, f –расстояние между линзой и изображением. По условию задачи, d и f отличаются на l. Тогда возможны два случая: d < f , тогда изображение, создаваемое линзой, будет увеличенным, и d > f ,при этом изображение будет уменьшенным. Увеличение линзы определим через d и f :
\[ \Gamma =\frac{f}{d}. \]
Рассмотрим первый случай: d < f, тогда:
f – d = l, f = l + d.Подставим в формулу линзы, и определим d (правда для этого придётся решить квадратное уравнение, отрицательный корень которого откинем – расстояние не может быть отрицательным). Например:
\[ \begin{array}{l} {\frac{1}{F} =\frac{1}{d} +\frac{1}{l+d} ,\frac{1}{F} =\frac{l+2d}{d\cdot \left(l+d\right)} ,} \\ {d\cdot l+d^{2} =F\cdot l+2d\cdot F,} \\ {d^{2} +\left(l-2F\right)\cdot d-F\cdot l=0.} \end{array} \]
Дискриминант и положительный корень уравнения:
\[ \begin{array}{l} {D=\left(l-2F\right)^{2} -4\cdot \left(-F\cdot l\right)=l^{2} +4F^{2} ,} \\ {d=\frac{2F-l+\sqrt{l^{2} +4F^{2} } }{2} .} \end{array} \]
Тогда расстояние f:
\[ f=l+d=\frac{2F+l+\sqrt{l^{2} +4F^{2}}}{2}. \]
Искомое увеличение линзы (ответ):
\[ \Gamma =\frac{2F+l+\sqrt{l^{2} +4F^{2} } }{2F-l+\sqrt{l^{2} +4F^{2} } } =3. \]
Во втором случае: d > f, тогда:
d – f = l, f = d – l .Подставляя в формулу линзы и проведя аналогичные выкладки, получим ответ:
\[ \Gamma =\frac{2F-l+\sqrt{l^{2} +4F^{2} } }{2F+l+\sqrt{l^{2} +4F^{2} } } =\frac{1}{3}. \]
Kivir:
865. Фокусное расстояние собирающей линзы F = 10 см, расстояние от предмета до переднего фокуса l = 5 см, а линейный размер предмета h = 2 см. Определить размер изображения. На каком расстоянии от линзы нужно расположить предмет, чтобы получить изображение с увеличением Г = 10?
Решение: т.к. предмет расположен перед передним фокусом линзы, то тогда расстояние между предметом и линзой d равно:
d = F +l.Запишем формулу тонкой линзы (т.к d >F, то изображение действительное):
\[ \frac{1}{F} =\frac{1}{d} +\frac{1}{f}. \]
Здесь f –расстояние между линзой и изображением, определим его:
\[ \begin{array}{l} {\frac{1}{F} =\frac{1}{F+l} +\frac{1}{f} ,\frac{1}{f} =\frac{1}{F} -\frac{1}{F+l} ,} \\ {f=\frac{F\cdot \left(F+l\right)}{l} .} \end{array} \]
Размеры изображения H определим через линейное увеличение линзы:
\[ \begin{array}{l} {\Gamma =\frac{f}{d} =\frac{H}{h} ,H=h\cdot \frac{f}{d} ,} \\ {H=h\cdot \frac{F\cdot \left(F+l\right)}{l\cdot \left(F+l\right)} =h\cdot \frac{F}{l}.} \end{array} \]
Ответ: H = 4 см.
Для ответа на второй вопрос задачи, снова воспользуемся линейным увеличением линзы:
\[ \Gamma =\frac{f}{d} ,f=d\cdot \Gamma. \]
и формулой линзы, но при этом возможно два варианта.
Изображение действительное:
\[ \begin{array}{l} {\frac{1}{F} =\frac{1}{d_{1} } +\frac{1}{d_{1} \cdot \Gamma } ,d_{1}^{2} \cdot \Gamma =F\cdot d_{1} \cdot \left(\Gamma +1\right),} \\ {d_{1} =F\cdot \left(1+\frac{1}{\Gamma } \right).} \end{array} \]
d1 = 11 см.
Изображение мнимое:
\[ \begin{array}{l} {\frac{1}{F} =\frac{1}{d_{2} } -\frac{1}{d_{2} \cdot \Gamma } ,d_{2}^{2} \cdot \Gamma =F\cdot d_{2} \cdot \left(\Gamma -1\right),} \\ {d_{2} =F\cdot \left(1-\frac{1}{\Gamma } \right).} \end{array} \]
d2 = 9 см.
Навигация
Перейти к полной версии