Задачи и вопросы по физике > Решение задач Н.Е. Савченко
Основы статики из сборника Савченко Н.Е.
alsak:
Решение задач по физике из книги Савченко Н.Е. Решение задач по физике. – Мн.: Высш. школа, 2003. – 479 с.
284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317
dx/dt:
№317. Однородный стержень согнули посередине под прямым углом и подвесили на шарнире за один из концов (см. рис.). Найти угол α между прикрепленной частью стержня и вертикалью.
Решение. Запишем условие равновесия стержня:
M1=M2,
где M1=mgx1 – момент силы тяжести, действующей на нижнюю половину стержня, относительно оси, проходящей через точку подвеса O; M2=mgx2 – момент силы тяжести, действующей на вторую половину стержня, относительно той же оси; 2m – масса стержня.
Из равенства моментов следует равенство расстояний x1 и x2 (см. рис.). А это значит, что отрезок C2A разбивается на три равных отрезка, и вертикальная линия OE делит отрезок C2А в отношении 1:2, считая от точки C2. Но C2A есть не что иное, как ¼ часть длины стержня (C2 – середина AB). И если этот маленький отрезок C2E обозначить за L, то длина всего стержня будет равна 12L, а остальные расстояния выразятся через L следующим образом:
AB=AO=6L (стержень согнут посередине),
AC2=3L, EA=2L.
Теперь можно из прямоугольного треугольника OAE найти угол α:
\[ tg\alpha =tg\angle EOA=\frac{EA}{OA}=\frac{2L}{6L}=\frac{1}{3},\;\; \alpha =arctg\frac{1}{3}\approx 18{}^\circ. \]
Ответ: α = 18°.
dx/dt:
Еще одно возможное решение задачи №317.
Задачу можно решать, отталкиваясь от того факта, что центр тяжести согнутого стержня ( на рисунке обозначен буквой С) находится под точкой подвеса.
В этом случае задача получается чисто геометрической. Сначала отмечаем середины половинок стержня – точки A и B. Центр тяжести С будет находиться в середине отрезка AB и, кроме того, лежать на вертикальной прямой (на рисунке показана пунктиром). Далее, рассматривая равнобедренный прямоугольный треугольник, образованный половинками стержня, и учитывая, что AB – это средняя линия этого треугольника, а точка С – середина средней линии, можно найти неизвестный угол α.
dx/dt:
№316. Однородный шар массой m=10 кг удерживается на гладкой наклонной плоскости веревкой, укрепленной над плоскостью (рис. 114). Угол наклона плоскости к горизонту α=30⁰, угол между веревкой и наклонной плоскостью β=45⁰ . Определить силу, с которой шар давит на наклонную плоскость.
Решение. На шар действуют три силы: сила натяжения нити T, сила нормальной реакции опоры N и сила тяжести mg. Так как шар находится в равновесии, то
\[ \vec{T}+\vec{N}+m\vec{g}=\vec{0}. \]
Найдем проекции этих сил на координатные оси:
\[ Ox:T\cos \beta -mg\sin \alpha =0, \;\;\; (1)\;\;Oy:T\sin \beta +N-mg\cos \alpha =0. \;\;\; (2) \]
Выражая из уравнения (1) силу T и подставляя значение T в уравнение (2), получим:
\[ N=mg\left[ \cos \alpha -\sin \alpha \cdot tg\beta\right]. \]
По третьему закону Ньютона модуль силы F, с которой шар давит на наклонную плоскость, равен модулю силы, с которой плоскость действует на шар, то есть
\[ F=N=mg\left[ \cos \alpha -\sin \alpha \cdot tg\beta\right]. \]
Подставляя численные значения величин, получим F=36 Н.
Ответ: F=36 Н.
dx/dt:
№315. Два тела A и B, массы которых m1=1,5 кг m2=0,45 кг соответственно, подвешены на нитях к легкому коромыслу, плечи которого имеют длину l1=0,6 м и l2=1 м, причем тело A лежит на полу (рис.113). На какой минимальный угол α следует отклонить подвес тела B, чтобы после его отпускания тело A оторвалось от пола?
Решение. В момент отрывания от пола тело А не действует своим весом на пол, а действует только на рычаг посредством нити, сила натяжения которой T1= m1g.
Условие равновесия рычага определяется равенством моментов сил, действующих на его плечи:
\[ {{T}_{1}}{{l}_{1}}={{T}_{2}}{{l}_{2}},\;\;{{m}_{1}}g{{l}_{1}}={{T}_{2}}{{l}_{2}},\;\;{{T}_{2}}={{m}_{1}}g\frac{{{l}_{1}}}{{{l}_{2}}} - \]
сила, действующая на плечо l2.
Запишем уравнение второго закона Ньютона для тля тела В в момент прохождения им низшей точки (именно в этот момент тело А отрывается от пола) в проекции на вертикальную ось Oy:
\[ {{T}_{2}}-{{m}_{2}}g={{m}_{2}}a. \]
Подставляя в последнюю формулу найденное ранее значение для силы T2 и, учитывая, что центростремительное ускорение вычисляется по формуле a=v2/R (R – длина подвеса второго тела), получим:
\[ {{m}_{1}}g\frac{{{l}_{1}}}{{{l}_{2}}}-{{m}_{2}}g={{m}_{2}}\frac{{{v}^{2}}}{R}. \;\;\; (*) \]
Далее воспользуемся законом сохранения энергии, рассматривая движение тела В из начальной точки в самую нижнюю. Энергия переходит из потенциальной в кинетическую, при этом полная механическая энергия тела В не изменяется:
\[ {{E}_{p}}+{{E}_{k}}=const,\;\;{{m}_{2}}gh+0=0+\frac{{{m}_{2}}{{v}^{2}}}{2},\;\;{{v}^{2}}=2gh. \]
Подставим значение v2 в формулу (*):
\[ {{m}_{1}}g\frac{{{l}_{1}}}{{{l}_{2}}}-{{m}_{2}}g={{m}_{2}}\frac{2gh}{R}, \]
и, рассматривая прямоугольный треугольник (см. рис.), находим:
\[ \cos \alpha =\frac{R-h}{R}\Rightarrow \frac{h}{R}=1-\cos \alpha , \]
и формула (*) уже будет иметь вид:
\[ {{m}_{1}}g\frac{{{l}_{1}}}{{{l}_{2}}}-{{m}_{2}}g={{m}_{2}}2g\cdot (1-\cos \alpha ), \]
откуда находим угол α:
\[ \alpha =\arccos (\frac{3}{2}-\frac{{{m}_{1}}{{l}_{1}}}{2{{m}_{2}}{{l}_{2}}}); \]
α = 60̊.
Ответ: α =60̊.
Навигация
Перейти к полной версии