Задачи и вопросы по физике > Решение задач Н.Е. Савченко
Механические колебания и волны из сборника Савченко Н.Е.
alsak:
Решение задач по физике из книги Савченко Н.Е. Решение задач по физике. – Мн.: Высш. школа, 2003. – 479 с.
742 743 744 745 746 747 748 749 750 751 752 753 754 755 756 757 758 759 760 761 762 763 764 765 766 767 768 769 770 771 772 773 774 775 776 777 778 779 780
alsak:
768. Математический маятник длиной l = 50,0 см колеблется в кабине самолета. Каков период его колебаний, если самолет: а) движется равномерно; б) летит горизонтально с ускорением а = 2,50 м/с2; в) планирует вниз под углом α = 15° к горизонту?
Решение. Случай а. При равномерном движении самолета период маятника будет равен
\[ T=2\pi \cdot \sqrt{\frac{l}{g}}, \]Т = 1,40 с.
В случаях б-в) перейдем с систему отсчета, связанную с самолетом. В этой системе на маятник будет дополнительно действовать сила инерции Fi, направленная в противоположную сторону ускорения самолета. Период колебаний математического маятника в этом случае равен
\[ T=2\pi \cdot \sqrt{\frac{l}{g*} }, \; \; \; \vec{g}*=\vec{g}+\vec{a}, \;\;\; (1) \]где g* — эффективное ускорение, характеризующее результирующее действие силы тяжести и силы инерции, a — ускорения шарика, вызванное силой инерции. Найдем значение эффективного ускорения.
Случай б. Построим треугольник ускорений для уравнения (1) (рис. 1). Так как ускорение a направлено горизонтально, то
\[ g*=\sqrt{g^{2} +a^{2}}. \]Тогда
\[ T=2\pi \cdot \sqrt{\frac{l}{\sqrt{g^{2} +a^{2}}}}, \]Т = 1,38 с.
Случай в. Найдем ускорение ac, с которым планирует (выключен двигатель) самолет. На самолет действуют сила тяжести (m⋅g) и подъемная сила (N) (рис. 2). Из второго закона Ньютона:
\[ m\cdot \vec{a}_{c} =m\cdot \vec{g}+\vec{N}, \]0X: m⋅aс = m⋅g⋅sin α, aс = g⋅sin α. (2)
Построим треугольник ускорений для уравнения (1) (рис. 3). Из рисунка видно, что по теореме косинусов
\[ g*=\sqrt{g^{2} +a^{2} -2g\cdot a\cdot \cos \beta }, \]где β = 90° – α, cos β = sin α, a = aс = g⋅sin α — из уравнения (2). Тогда
\[ g*=\sqrt{g^{2} +\left(g\cdot \sin \alpha \right)^{2} -2g\cdot g\cdot \sin \alpha \cdot \sin \alpha } =\sqrt{g^{2} -\left(g\cdot \sin \alpha \right)^{2} } =g\cdot \cos \alpha. \]
В итоге получаем
\[ T=2\pi \cdot \sqrt{\frac{l}{g\cdot \cos \alpha } }, \]Т = 1,43 с.
Kivir:
770. Ареометр массой m состоит из закрытого стеклянного сосуда с грузом и цилиндрической трубки, площадь поперечного сечения которой равна S. Он помещён в жидкость плотностью ρ (рис 246). Ареометр погружают в жидкость немного глубже, чем это нужно для его равновесия, и затем отпускают. Найти период свободных колебаний ареометра. Трением пренебречь.
Решение: При погружении в жидкость немного глубже, чем это нужно для равновесия, на ареометр начинает действовать возвращающая сила и при пренебрежении трением возникнут гармонические колебания. В данном случае, это сила Архимеда, действующая на цилиндрическую трубку, которая оказалась дополнительно погружённой в жидкость. Пусть ареометр погрузили на расстояние равное x. Тогда:
F = ρ∙g∙∆V= ρ∙g∙S∙xИменно эта сила сообщает ускорение колебательной системе. Воспользуемся вторым законом Ньютона: F=ma, здесь a = ω2x - модуль ускорения тела, совершающего гармонические колебания.
ρ∙g∙S∙x=m∙ ω2 ∙x
\[ ω =\sqrt{\frac{\rho \cdot g\cdot S\cdot x}{m\cdot x}}=\sqrt{\frac{\rho \cdot g\cdot S}{m}} \]
\[ T=\frac{2\pi }{\omega }=2\pi \sqrt{\frac{m}{\rho gS}} \]
Kivir:
742. Тело массой m = 2,0 кг совершает гармонические колебания по закону х = 50cos(πt/3), где все величины выражены в единицах СИ. Определить максимальные значения смешения, скорости, ускорения и силы. Найти полную энергию тела.
Решение: максимальное значение смещения – это коэффициент перед косинусом в уравнении колебаний: xmax = 50 м, т.к. косинус (синус) принимает максимальное значение равное единице.
Проекцию скорости определим, взяв первую производную от координаты по времени (физический смысл производной):
\[ {{\upsilon }_{x}}={{\left( 50\cos \frac{\pi }{3}t \right)}^{\prime }}=-\frac{\pi }{3}\cdot 50\cdot \sin \frac{\pi }{3}t. \]Откуда видно, что υmax=50π/3=52 м/с.
Проекцию ускорения определим, взяв производную от скорости по времени:
\[ {{a}_{x}}={{{\upsilon }'}_{x}}={{\left( -\frac{\pi }{3}\cdot 50\cdot \sin \frac{\pi }{3}t \right)}^{\prime }}=-{{\left( \frac{\pi }{3} \right)}^{2}}\cdot 50\cdot \cos \frac{\pi }{3}t=-{{\left( \frac{\pi }{3} \right)}^{2}}\cdot x. \]Тогда: amax = (π/3)2∙xmax = 54,7 м/с2.
Максимальное значение силы определим по второму закону Ньютона:
Fmax=m∙amax.Fmax=109,4 Н.
Kivir:
744. Медный шарик, подвешенный к пружине, совершает вертикальные колебания. Как изменится период колебаний, если к пружине подвесить вместо медного алюминиевый шарик такого же объема? Плотность меди ρ1= 8,9 ∙103 кг/м3, алюминия ρ2 = 2,7 ∙103 кг/м3.
Решение: Шарик, прикреплённый к пружине и совершающий колебания – это пружинный маятник, период колебаний которого:
\[ T=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} \]Массу определим через плотность и объём, подставим в формулу для периода и найдём отношение:
\[ \frac{{{T}_{1}}}{{{T}_{2}}}=\frac{2\pi \sqrt{\frac{{{\rho }_{1}}\cdot V}{k}}}{2\pi \sqrt{\frac{{{\rho }_{2}}\cdot V}{k}}}=\sqrt{\frac{{{\rho }_{1}}}{{{\rho }_{2}}}}=1,8. \]Ответ: уменьшится в 1,8 раз.
Навигация
Перейти к полной версии