Форум сайта alsak.ru

Задачи и вопросы по физике => Колебания и волны => Механические => : Антон Огурцевич 19 March 2016, 15:04

: На гладкой горизонтальной поверхности стола под действием лёгкой пружины
: Антон Огурцевич 19 March 2016, 15:04

Задача 2. Пружинный маятник
На гладкой горизонтальной поверхности стола под действием лёгкой пружины брусок совершает колебания с амплитудой A = 12,5 см и периодом T = 3,14 с. Чему равна скорость бруска в момент, когда удлинение пружины составляет x = 0,8A? Ответ выразить в см/с, округлив до целых. Считать, что π = 3,14. Сделать рисунок.

: Re: На гладкой горизонтальной поверхности стола под действием лёгкой пружины
: Виктор 24 March 2016, 13:08

Решение: запишем уравнение гармонического колебания. Т.к. в условии не сказано, по какому закону колеблется тело (и не указаны начальные условия), то придётся рассматривать два случая.
Случай 1 - воспользоваться законом косинуса (начальная фаза равна нулю).
\[ x=A\cdot \cos \left( \omega t \right),
 \]Здесь ω = 2π/T – циклическая частота. Определим время, когда смещение от положения равновесия бруска составит x = 0,8A:
\[ x=A\cdot \cos \left( \frac{2\pi }{T}\cdot {{t}_{1}} \right),\text{             }\cos \left( \frac{2\pi }{T}\cdot {{t}_{1}} \right)=\frac{x}{A},\text{           }{{t}_{1}}=\frac{T}{2\pi }\cdot \arccos \left( \frac{x}{A} \right). \]
Скорость это первая производная от координаты по времени:
\[ \upsilon ={x}'={{\left( A\cdot \cos \left( \omega t \right) \right)}^{\prime }}=-\omega \cdot A\cdot \sin \left( \omega t \right), \]
Таким образом, искомая скорость
\[ \upsilon =-\frac{2\pi }{T}\cdot A\cdot \sin \left( \frac{2\pi }{T}\cdot {{t}_{1}} \right)=-\frac{2\pi }{T}\cdot A\cdot \sin \left( \arccos \left( \frac{x}{A} \right) \right). \]
\[ \upsilon =-\frac{2\cdot 3,14}{3,14}\cdot 12,5\cdot \sin \left( \arccos \left( \frac{0,8A}{A} \right) \right)=-15. \]
Ответ: 15 см/с, направлена против положительного направления оси x.
Случай 2 - воспользоваться законом синуса (начальная фаза равна нулю).
\[ x=A\cdot \sin \left( \omega t \right), \]
Определим время, когда смещение составит x = 0,8A:
x=\[ A\cdot \sin \left( \frac{2\pi }{T}\cdot {{t}_{1}} \right),\text{       }{{t}_{1}}=\frac{T}{2\pi }\cdot \arcsin \left( \frac{x}{A} \right). \]
Скорость это первая производная от координаты по времени:
\[ \upsilon ={x}'={{\left( A\cdot \sin \left( \omega t \right) \right)}^{\prime }}=\omega \cdot A\cdot \cos \left( \omega t \right), \]
Таким образом, искомая скорость
\[ \upsilon ==\frac{2\pi }{T}\cdot A\cdot \cos \left( \arcsin \left( \frac{x}{A} \right) \right). \]
\[ \upsilon =\frac{2\cdot 3,14}{3,14}\cdot 12,5\cdot \cos \left( \arcsin \left( \frac{0,8A}{A} \right) \right)=15. \]
Ответ: 15 см/с, направлена в положительном направлении оси x.