Решение.
Покажем рисунок. Для того чтобы система находилась в равновесии, необходимо чтобы заряд q3 находился между зарядами.\[ \begin{align}
& {{{\vec{F}}}_{13}}+{{{\vec{F}}}_{23}}=0.\ Ox:\ {{F}_{13}}-{{F}_{23}}=0\ \ \ \ (1). \\
& {{F}_{13}}=\frac{k\cdot \left| {{q}_{1}} \right|\cdot \left| {{q}_{3}} \right|}{{{(r-x)}^{2}}}\ \ \ (2),\ {{F}_{23}}=\frac{k\cdot \left| {{q}_{2}} \right|\cdot \left| {{q}_{3}} \right|}{{{x}^{2}}}\ \ \ \ (3). \\
& \frac{k\cdot \left| {{q}_{1}} \right|\cdot \left| {{q}_{3}} \right|}{{{(r-x)}^{2}}}=\frac{k\cdot \left| {{q}_{2}} \right|\cdot \left| {{q}_{3}} \right|}{{{x}^{2}}},\ \frac{\left| {{q}_{1}} \right|}{{{(r-x)}^{2}}}=\frac{\left| {{q}_{2}} \right|}{{{x}^{2}}},\ \frac{{{x}^{2}}}{{{(r-x)}^{2}}}=\frac{\left| {{q}_{2}} \right|}{\left| {{q}_{1}} \right|}, \\
& \frac{{{x}^{2}}}{{{(r-x)}^{2}}}=\frac{9}{1},\ \frac{x}{(r-x)}=\frac{3}{1},\ x=3\cdot r-3\cdot x\ ,\ 4\cdot x=3\cdot r,\ x=\frac{3\cdot r}{4}\ \ \ (4). \\
\end{align} \]
Третий заряд необходимо поместить на расстоянии 75 см от второго заряда и на расстоянии 25 см от первого заряда.
Будет ли это равновесие устойчивым, если перемещения зарядов возможны только вдоль прямой, проходящей через закреплённые заряды. Рассмотрим случай когда заряд q3 положительный. При смещении заряда вправо (рис) сила F13 уменьшается, сила F23 увеличивается, возникает равнодействующая сила которая пытается вернуть заряд на прежнее место. Если заряд q3 положительный равновесие будет устойчивым.
Рассмотрим случай когда заряд q3 отрицательный. При смещении заряда вправо (рис) сила F13 уменьшается, сила F23 увеличивается, возникает равнодействующая сила которая пытается отодвинуть заряд от положения равновесия. Если заряд q3 отрицательный равновесие будет не устойчивым.
От величины третьего заряда равновесие не зависит.