Решение.
1) Определим угловое ускорение барабана. Разность сил натяжения (Т1 – Т2) создает вращательный момент, при отсутствии трения получим уравнение:\[ {{M}_{B}}=({{T}_{1}}-{{T}_{2}})\cdot R,\ {{M}_{B}}=J\cdot \varepsilon ,\ J\cdot \varepsilon =({{T}_{1}}-{{T}_{2}})\cdot R\ \ \ (1). \]
J – момент инерции диска, ε – угловое ускорение, m – масса диска.\[ \begin{align}
& J=\frac{m\cdot {{R}^{2}}}{2}\ \ \ (2),\ m=\frac{P}{g}(3),J=\frac{P\cdot {{R}^{2}}}{g\cdot 2}\,(4). \\
& \frac{P\cdot {{R}^{2}}}{g\cdot 2}\cdot \varepsilon =({{T}_{1}}-{{T}_{2}})\cdot R,\varepsilon =\frac{2\cdot g\cdot ({{T}_{1}}-{{T}_{2}})}{P\cdot R}(5). \\
& \varepsilon =\frac{2\cdot 10\cdot (30-20)}{490\cdot 0,4}=1,02. \\
\end{align} \]
2). Определим число оборотов, которое сделает барабан.\[ \begin{align}
& \varepsilon =\frac{\omega -{{\omega }_{0}}}{t},{{\omega }_{0}}=0,t=\frac{\omega }{\varepsilon }(1),\omega =\frac{2\cdot \pi }{T},T=\frac{2\cdot \pi }{\omega }(2),T=\frac{t}{N},N=\frac{t}{T}(3), \\
& N=\frac{{{\omega }^{2}}}{\varepsilon \cdot 2\cdot \pi }(4).N=\frac{240}{1,02\cdot 2\cdot 3,14}=900. \\
\end{align}
\]
Ответ: ε = 1,02 рад/с2, N = 900.