Задачу решим, используя закон сохранения энергии. За нулевую высоту примем высоту груза, находящегося в нижнем положении. Тогда
полная механическая энергия груза в начальном состоянии равна
W01 = 0.
Предположим, что при подъеме верхний блок совершил полный оборот. Так как погонный метр содержит N звеньев, то длина одного звена цепи
l1 = 1/N (м).
В этом случае перемещение точки приложения силы F1 (рис. 1) будет
Δr1 = n⋅l1 = n/N
(точка приложения этой силы находится на шкиве большего диаметра, в котором n зубцов). Левый участок цепи с грузом (находящейся на шкиве меньшего диаметра, в котором (n – 1) зубцов) опуститься вниз на
Δl1 = (n – 1)⋅l1 = (n – 1)/N,
правый участок цепи с грузом (находящейся на шкиве большего диаметра) поднимется вверх на
Δl2 = n⋅l1 = n/N.
Груз поднимется вверх на высоту
\[ h_{1} =\frac{\Delta l_{2} -\Delta l_{1} }{2} =\frac{n-\left(n-1\right)}{2N} =\frac{1}{2N}. \]
Тогда полная механическая энергия груза в конечном состоянии равна
\[ W_{1} = m\cdot g\cdot h_{1} =\frac{m\cdot g}{2N}, \]
где m — масса груза.
На груз действуют внешняя сила F1 и сила трения Ft. Работа силы F1 равна
A1 = F1⋅Δr1 = F1⋅n/N,
работу силы трения обозначим At. Работа внешних сил равна:
A1 + At = W1 – W01
или
\[ F_{1} \cdot \frac{n}{N} +A_{t} = \frac{m \cdot g}{2N}. \] (1)
Продолжение следует
Аналогично получим уравнения для случая, когда груз опускают вниз под действием силы F2 (рис. 2). Опять верхний блок совершил полный оборот. Перемещение точки приложения силы F2 будет
Δr2 = (n – 1)⋅l1 = (n – 1)/N
(точка приложения этой силы находится на шкиве меньшего диаметра, в котором (n – 1) зубцов). Левый участок цепи с грузом поднимется вверх на
Δl1 = (n – 1)⋅l1 = (n – 1)/N,
правый участок цепи с грузом (находящейся на шкиве большего диаметра) опуститься вниз на
Δl2 = n⋅l1 = n/N.
Груз опуститься вниз на высоту
\[ h_{2} =h_{1} =\frac{\Delta l_{2} -\Delta l_{1} }{2} =\frac{1}{2N}. \]
Тогда полная механическая энергия груза в начальном состоянии равна
\[ W_{02} =m\cdot g\cdot h_{2} =\frac{m\cdot g}{2N}, \]
полная механическая энергия груза в конечном состоянии равна
W2 = 0.
На груз действуют внешняя сила F2 и сила трения Ft. Работа силы F2 равна
A2 = F2⋅Δr2 = F2⋅(n – 1)/N,
работа силы трения останется прежней At. Работа внешних сил равна:
A2 + At = W2 – W02
или
\[ F_{2} \cdot \frac{n-1}{N} +A_{t} =-\frac{m\cdot g}{2N}.\;\;\; (2) \]
По условию силы, необходимые для подъема или опускания груза, отличаются в R раз, т.е.
F1 = R⋅F2. (3)
Решим систему уравнений (1)-(3). Например,
\[ F_{1} \cdot \frac{n}{N} -F_{2} \cdot \frac{n-1}{N} = \frac{2m\cdot g}{2N}, \; \; \; F_{2} \cdot \left(R\cdot n-\left(n-1\right)\right) = m\cdot g, \]
\[ F_{2} = \frac{m\cdot g}{\left(R-1\right)\cdot n+1}, \; \; \; F_{1} = \frac{R\cdot m \cdot g}{\left(R-1\right) \cdot n+1}. \]