Напряженность электрического поля, созданного точечным зарядом, в данной точке равна
\[ E = k \cdot \frac{\left| q \right|}{r^{2}}. \]
В любой точке пространства электрическое поле создано двумя зарядами q1 и q2. Результирующая напряженность полей в искомой точке будет равна
\[ \vec{E} = \vec{E}_{A} + \vec{E}_{B}, \]
где EA, ЕB — напряженности полей, создаваемых зарядами q1 (в точке А) и q2 (в точке В) в этой точке. Очевидно, что Е = 0 только в той точке, в которой векторы ЕA и ЕB равны по модулю и противоположны по направлению.
Рассмотрим напряженность в точках на прямой, соединяющей заряды (рис. ).
В любой точке L на прямой слева от q1 напряженность ЕL не равна 0, так как ELA > ELB (заряд в точке А больше по величине заряда в точке В, а расстояние меньше).
В любой точке C, расположенной между зарядами, напряженность ЕС не равна 0, т.к. векторы напряженностей ECA и ECB направлены в одну сторону.
Таким образом, мы приходим к выводу, что искомая точка - это точка D, которая лежит на прямой, проходящей через данные заряды, справа от меньшего заряда q2 на некотором расстоянии x от него. В этой точке EDA = EDB или
\[ \frac{k \cdot \left| q_{1} \right|}{DA^{2}} =
\frac{k \cdot \left| q_{2} \right|}{DB^{2}}, \; \;
\frac{\left| q_{1} \right|}{DA^{2}} = \frac{\left| q_{2} \right|}{DB^{2}}, \; \;
\frac{2q}{\left( d + x \right)^{2}} = \frac{q}{x^{2}}, \]
2x2 – (d + x)2 = 0, x2 – 2d⋅x – d2 = 0.
Получили квадратное уравнение, корни которого равны
\[ x = d \cdot \left( 1 \pm \sqrt{2} \right). \]
Так как х > 0 (точка D лежит правее точки В), то
\[ x = d \cdot \left( 1 + \sqrt{2} \right). \]