Уравнение гармонического колебания материальной точки имеет вид
x = A⋅sin (ω⋅t + φ0),
где А — амплитуда колебаний, ω — циклическая частота колебаний. Считаем, по умолчанию, что начальная фаза колебаний φ0 = 0. Тогда
x = A⋅sin ω⋅t,
υ = x' = A⋅ω⋅cos ω⋅t,
где υ — скорость точки (скорость равна первой производной от координаты).
Кинетическая энергия материальной точки равна
\[ W_{k} = \frac{m \cdot \upsilon^{2}}{2} = \frac{m}{2} \cdot \left(A \cdot \omega \cdot \cos \omega \cdot t \right)^{2}. \]
1 способ. Потенциальная энергия равна
Wp = W – Wk,
где W — полная механическая энергия системы, равная
\[ W = \frac{m \cdot \upsilon_{\max}^{2}}{2} = \frac{m \cdot \left(A \cdot \omega \right)^{2}}{2}. \]
Тогда
\[ W_{p} = \frac{m \cdot \left(A \cdot \omega \right)^{2}}{2} - \frac{m}{2} \cdot \left(A \cdot \omega \cdot \cos \omega \cdot t \right)^{2} = \]
\[ = \frac{m \cdot \left(A \cdot \omega \right)^{2}}{2} \left(1 - \cos^{2} \omega \cdot t \right) = \frac{m \cdot A^{2} \cdot \omega^{2}}{2} \cdot \sin^{2} \omega \cdot t. \]
2 способ. Потенциальная энергия равна
\[ W_{p} = \frac{k \cdot x^{2}}{2} = \frac{k}{2} \cdot \left(A \cdot \sin \omega \cdot t \right)^{2}.
\]
Коэффициент жесткости колебательной системы найдем следующим образом:
\[ \omega = \sqrt{\frac{k}{m}}, \, \, \, k = m \cdot \omega^{2}. \]
В итоге получаем
\[ \frac{W_{k}}{W_{p}} = \frac{m \cdot \left(A \cdot \omega \cdot \cos \omega \cdot t \right)^{2}}{2} \cdot \frac{2}{m \cdot \omega^{2} \cdot \left(A \cdot \sin \omega \cdot t \right)^{2}} = ctg^{2} \omega \cdot t. \]
Так как ω = 2π/T и t = T/12, то
\[ \frac{W_{k}}{W_{p}} = ctg^{2} \frac{2 \pi}{T} \cdot \frac{T}{12} = ctg^{2} \frac{\pi}{6} = 3. \]
Потенциальная энергия деформированного тела
\[ W_{p} = \frac{k \cdot \Delta l^{2}}{2}, \]
где Δl - удлинение системы (например, пружины).
Так как мы выбрали колебания, которые происходят по закону sin с начальной фазой равной нулю, то, следовательно, точка в начальный момент времени находилась в положении равновесия (Δl = 0). И при таком выборе начальных условий Δl = x.
Если не вводить потенциальную энергию деформированного тела, то потенциальную энергию можно найти через разность полной энергии и кинетической. Полную энергию можно найти через максимальную скорость.
То есть Вы хотите сказать, что если \[ \phi=0 \], то и \[ t=0 \]?
Где вы такое вычитали? Я писал так:
Уравнение гармонического колебания материальной точки имеет вид
x = A⋅sin (ω⋅t + φ0)
… Считаем, по умолчанию, что начальная фаза колебаний φ0 = 0.
Начальное условие должно быть задано примерно так: "в момент времени t = 0 (или в начальный момент времени) тело находилось в положении равновесия". Мое решение и дается для этого начального условия.
Почему так? Найдем значение начальной фазы для данного начального условия.
Так как «в момент времени t = 0 тело находилось в положении равновесия», то при t = 0 координата x = 0. Решим уравнение
0 = A⋅sin (ω⋅0 + φ0) = A⋅sin (φ0) или φ0 = 0