Форум сайта alsak.ru
Задачи и вопросы по физике => Колебания и волны => Механические => : Антон Огурцевич 26 May 2016, 10:18
-
51. Сколько полных колебаний должен сделать маятник, логарифмический декремент затухания которого δ = 0,054, для того, чтобы амплитуда его колебаний уменьшилась в три раза? Сделать рисунок.
-
Решение: логарифмический декремент затухания равен коэффициенту затухания β, умноженному на период колебаний T, тогда период колебаний
\[ \delta =\beta \cdot T;\text{ }T=\frac{\delta }{\beta }. \]
Тогда к моменту уменьшения амплитуды в 3 раза маятник совершит N колебаний и пройдёт время t
\[ t=N\cdot T=\frac{N\cdot \delta }{\beta }. \]
Затухающие колебания, можно рассматривать как гармонические колебания, амплитуда которых меняется по экспоненциальному закону
\[ A={{A}_{0}}\cdot {{e}^{-\beta \cdot t}}, \]
Таким образом:
\[ A={{A}_{0}}\cdot {{e}^{-\beta \cdot \frac{N\cdot \delta }{\beta }}}={{A}_{0}}\cdot {{e}^{-N\cdot \delta }}, \]
\[ {{e}^{N\cdot \delta }}=\frac{{{A}_{0}}}{A};\text{ }ln{{e}^{N\cdot \delta }}=\ln \frac{{{A}_{0}}}{A};\text{ }N\cdot \delta =\ln \frac{{{A}_{0}}}{A}, \]
\[ N=\frac{1}{\delta }\cdot \ln \frac{{{A}_{0}}}{A}=\frac{1}{0,054}\cdot \ln 3=20,3. \]
Ответ: число полных колебаний - 20