Решение.
Дифференциальное уравнение свободных колебаний в LC-контуре имеет вид \[ \frac{{{d}^{2}}q}{d{{t}^{2}}}+2\cdot \beta \frac{dq}{dt}+\omega _{0}^{2}q=0 \]
β – коэффициент затухания, β = 0\[ \frac{{{d}^{2}}q}{d{{t}^{2}}}+\omega _{0}^{2}q=0 \]
ω2 = 1012, ω = 106 рад/с.
Определим индуктивность контура\[ \omega =\frac{1}{\sqrt{L\cdot C}},{{\omega }^{2}}=\frac{1}{L\cdot C},L=\frac{1}{{{\omega }^{2}}\cdot C}.L=\frac{1}{{{({{10}^{6}})}^{2}}\cdot {{10}^{-9}}}={{10}^{-3}}.
\]
Запишем уравнение колебаний заряда в контуре, если в начальный момент заряд на обкладках конденсатора максимален и равен qmax, используем функцию косинус
q = qmах∙соs(ω0∙t + φ0), если t = 0 то q = qmах∙соsω0∙0 , соs0 = 1, φ0 = 0, q = qmах.
q =0,1∙10-6 ∙соs106∙t.
Запишем уравнение колебаний тока в контуре\[ \begin{align}
& i=\frac{dq}{dt},i=({{q}_{\max }}\cdot cos{{\omega }_{0}}\cdot t{)}'=-{{q}_{\max }}\cdot {{\omega }_{0}}\cdot sin{{\omega }_{0}}\cdot t, \\
& i=-0,1\cdot {{10}^{-6}}\cdot {{10}^{6}}\cdot sin{{10}^{6}}\cdot t, \\
& i=-0,1\cdot sin{{10}^{6}}\cdot t. \\
\end{align} \]