-
Помогите решить олимпиадную задачу.
Во время войны Пруссии и Дании (1864 г.) в ночном бою "при удачном попадании в бронированный борт броненосца видели сверкание внезапно раскалившегося ядра" (т. е. нагрев больше, чем на 700 °С). Оценить, какую скорость имели перед ударом железные ядра массой m = 12 кг, если в тепло переходит почти 80 % кинетической энергии. Известно, что половина из этой части расходуется на нагрев борта, причем передняя часть ядра раскаляется примерно втрое сильнее, чем остальная часть. Удельная теплоемкость железа с = 460 Дж/(кг⋅°С).
-
Будем считать, что передняя часть ядра — это половина ядра. Так как она «раскаляется примерно втрое сильнее», то передняя часть нагревается в три раза больше. А так как массы передней части и задней равны, то и энергии она получает втрое больше.
Пусть Q1 — это энергия, которую получит задняя часть ядра, тогда 3Q1 — энергия, которую получит передняя часть ядра. Вся энергия, полученная ядром, будет равна
Qядра = Q1 + 3Q1 = 4Q1. (1)
По условию, в тепло переходит η = 80 % = 0,80 кинетической энергии Wk, причем «половина из этой части расходуется на нагрев борта», следовательно, на нагрев ядра расходуется оставшаяся половина этой части, т.е.
Qядра = 1/2⋅η⋅Wk = 0,4Wk, (2)
где \[ W_{k} = \frac{m \cdot \upsilon^{2}}{2} \].
Так как передняя часть ядра нагревается на Δt2 = 700 °С, то
3Q1 = c⋅m/2⋅Δt2. (3)
Решим систему уравнений (1)-(3). Например,
\[ Q_{1} = \frac{c \cdot m \cdot \Delta t_{2}}{6}, \, \, \, 4Q_{1} = 0,4 \cdot \frac{m \cdot \upsilon^{2}}{2}, \, \, \, \upsilon = \sqrt{\frac{20Q_{1}}{m}} = \sqrt{\frac{10c \cdot \Delta t_{2}}{3}}
\]
υ = 1036 м/с.
Масса ядра — лишнее данное.
Примечание. Значение скорости получилось примерно в 2 раза больше реальной (400-500 м/с). Но для оценочной задачи это допустимо.
-
Спасибо за разъяснения. Кстати, хотелось бы знать Ваше мнение по поводу оформления работ (задач в частности).Нужны ли полные выкладки в буквенном выражении, т.е. необходимо ли получить конечную формулу для неизвестной величины?
-
Решение задач в общем виде это более сложный уровень решения задач, и в профильных классах я стараюсь заставить учеников решать так. Кроме того, есть ряд задач, которые решаются только в общем виде.
-
У меня возникло сомнение - правильно ли считать нагрев на 700 градусов только части ядра? В условии задачи пояснение дано конкретно после слова "ядро", что, по-моему, подразумевает нагрев целого ядра.
-
Nataha писал(а):
У меня возникло сомнение — правильно ли считать нагрев на 700 градусов только части ядра?
Я это предположение сделал на основании следующей фразы условия:
причем передняя часть ядра раскаляется примерно втрое сильнее, чем остальная часть.
.
По моему "раскаляется" в данном тексте аналогично "нагревается".
-
Есть такая же задача, но с другим условием: ...если почти вся кин. эн. идет на нагрев ядра, а передняя треть ядра раскаляется примерно вдвое сильнее, чем остальная часть.
В пояснении к ней сказано: кол-во теплоты, идущее на нагрев пер. части ядра m⋅v2/2⋅1/2 = c⋅m/3⋅Δt (коэффициент 1/2 в левой части, потому что передняя треть раскаляется вдвое сильнее, чем задняя, а значит на ее нагрев идет половина всей энергии, пошедшей на нагрев ядра). Не могу понять почему 1/2?
-
Так как «передняя треть ядра раскаляется примерно вдвое сильнее», то считаем, что эта часть нагрелась в два раза больше, т.е. Δt2 = 2Δt1, где Δt2 = 700 °С. Пусть Q1 — это энергия, которую получит задняя часть ядра, Q2 — энергия, которую получит передняя часть ядра. Сравним эти энергии. Так как масса передней части ядра m2 = m/3, то масса задней части — m1 = 2/3m. Тогда
\[ Q_{1} = c \cdot \frac{2m}{3} \cdot \Delta t_{1}, \, \, \, Q_{2} = c \cdot \frac{m}{3} \cdot \Delta t_{2} = c \cdot \frac{m}{3} \cdot 2 \Delta t_{1} = Q_{1}. \]
Следовательно, и передняя часть ядра, и задняя получают одинаковое количество энергии, т.е. Q1 = Q2. Вся энергия, полученная ядром, будет равна
Qядра = Q1 + Q2 = 2Q2. (1)
По условию, на нагрев ядра идет вся кинетическая энергия Wk, поэтому
Qядра = Wk, (2)
где \[ W_{k} = \frac{m \cdot \upsilon^{2}}{2}. \]
Так как передняя часть ядра нагревается на Δt2 = 700 °С, то
Q2 = c⋅m/3⋅Δt2. (3)
Решим систему уравнений (1)-(3). Например,
\[ 2Q_{2} = \frac{m \cdot \upsilon^{2}}{2}, \, \, \, \upsilon = \sqrt{\frac{4Q_{1}}{m}} = \sqrt{\frac{4c \cdot \Delta t}{3}}
\]
υ = 655 м/с.
-
Значит ли это, что, если в первом условии задачи принять за переднюю часть 1/4 ядра, то пер. и задн. части ядра тоже получат одинаковое кол-во энергии? И окончательное уравнение примет вид:
1/2⋅0,4⋅m⋅v2/2 = c⋅m/4⋅Δt?
И вообще получается, что при определении скорости масса ядра не имеет значения. Зачем она дана в задаче?
-
В первом условии «передняя часть ядра раскаляется примерно втрое сильнее», поэтому считаем, что эта часть нагрелась в три раза больше, т.е. Δt2 = 3Δt1, где Δt2 = 700 °С. Так как масса передней части ядра m2 = m/4, то масса задней части — m1 = 3/4m. Тогда
\[ Q_{1} = c \cdot \frac{3m}{4} \cdot \Delta t_{1}, \, \, \, Q_{2} = c \cdot \frac{m}{4} \cdot \Delta t_{2} = c \cdot \frac{m}{4} \cdot 3 \Delta t_{1} = Q_{1}. \]
Nataha писал(а):
И вообще получается, что при определении скорости масса ядра не имеет значения.Зачем она дана в задаче?
И почему-то многие стараются использовать все данные, которые используются в задаче. Это не совсем правильно. Введение в условие задачи лишних (или недостающих) данных – один из эффективных способов, помогающий проверить понимание условия задачи.
-
Не могу понять почему получаются 2 разных ответа.
Решаю для 1/4 ядра по первому, предложенному Вами способу, получается v2 = 5/3⋅c⋅Δt.
2-м способом, оценивая сначала массы, а потом кол-во теплоты, получаю v2 = 5/2⋅c⋅Δt???
-
Не совсем понял про два способа. Если не трудно, выложите их подробнее (хотя бы в виде рисунка).
-
1. Екин = 1/2⋅0,8⋅m⋅v2/2 = m⋅v2/5
Оценивая массы и кол-во теплоты, пер. и зад. частей имеем:
Масса передней части ядра m2 = m/4, тогда масса задней части – m1 = 3/4⋅m. Сравним Q1 и Q2:
Q1 = c⋅3/4⋅m⋅Δt1;
Q2 = c⋅1/4⋅m⋅Δt2 = c⋅1/4⋅m⋅3Δt1 = Q1.
Значит на нагрев пер. части идет 1/2Екин = 1/10⋅m⋅v2.
Т.к. нагревается пер. часть, то 0,1m⋅v2 = c⋅m/4⋅Δt, откуда v2 = 5/2⋅c⋅Δt
2. Если принимаем Q1 – это энергия, которую получит задняя часть ядра, тогда 3Q1 — энергия, которую получит передняя часть ядра, а
Q1 + 3Q1 = 4Q1,
то
4Q1 = 0,4⋅m⋅V2/2 = 0,2⋅m⋅V2; Q1 = 1/20⋅m⋅v2.
С другой стороны
3Q1 = c⋅m/4⋅Δt; Q1 = c⋅m/12⋅Δt.
Следовательно,
1/20⋅m⋅v2 = c⋅m/12⋅Δt.
Откуда v2 = 5/3⋅c⋅Δt:(
-
Nataha писал(а):
2. Если принимаем Q1 – это энергия, которую получит задняя часть ядра, тогда 3Q1 — энергия, которую получит передняя часть ядра, а Q1 + 3Q1 = 4Q1
Этот способ для "Будем считать, что передняя часть ядра – это половина ядра", т.е. m2 = m/2,... "части ядра были равные, поэтому при нагреве («раскаляется») в три раза больше и энергии тело получает в три раза больше." И тогда надо не "3Q1 = c⋅m/4⋅Δt", а 3Q1 = c⋅m/2⋅Δt.
А в первом случае вы решаете для "m2 = m/4". И ответы конечно не совпадут.
-
Т.е. для 1/4 ядра формула 1/2⋅0,2⋅m⋅v2 = c⋅m/4⋅Δt будет верной? Дело в том, что при этом в ответе скорость получается приблизительно 897 м/с. Какая-то нереальная цифра...
-
Реальных ответов можно ожидать для задач, которые использую в условии достоверные величины. Вы для этих задач можете такое утверждать?
-
Пожалуй, что нет. Спасибо за Ваше терпение, очень приятно было пообщаться.