Линзы из сборника Савченко Н.Е.

[alsak]

877. Собирающая линза даёт действительное изображение с увеличением Γ = 2 раза. Определить фокусное расстояние линзы, если расстояние между линзой и изображением f = 0,3 м.
Решение: из формулы тонкой линзы и увеличения определим фокусное расстояние
\[ \begin{array}{l} {\frac{1}{F} =\frac{1}{d} +\frac{1}{f} ,{\rm \; \; \; \; }d=\frac{f}{\Gamma } ,} \\ {F=\frac{f}{\Gamma +1}.} \end{array} \]
Ответ: 0,1 м.

[alsak]

878. На какой максимальный угол может отклониться луч света, падающий параллельно главной оптической оси на линзу с фокусным расстоянием F = 8 см и диаметром a = 10 см?
Решение: любой луч, падающий на линзу параллельно главной оптической оси, после преломления в линзе, пройдёт через главный фокус линзы. Наибольшее отклонение от первоначального направления луча будет наблюдаться при условии, что луч падает на самый край линзы, т.е. на расстоянии a / 2 от главной оптической оси. Нарисуем ход луча (см. рис.). Как видно из рисунка
\[ \begin{array}{l} {tg\varphi _{\max } =\frac{a}{2F} ,} \\ {\varphi _{\max } =arctg\left(\frac{a}{2F} \right).} \end{array} \]
Ответ: 32°.

[alsak]

879. Линза даёт мнимое изображение предмета, увеличенное в Γ = 2,0 раза, если он находится от неё на расстоянии d = 5,0 см. Какая это линза - собирающая или рассеивающая? Чему равно её фокусное расстояние?
Решение: рассеивающая линза даёт мнимое изображение, которое всегда меньше предмета. В нашем случае увеличение равно 2, т.е. изображение больше предмета. Значит линза собирающая. Из формулы линзы и увеличения определим фокусное расстояние
\[ \begin{array}{l} {\frac{1}{F} =\frac{1}{d} -\frac{1}{f} ,f=\Gamma \cdot d,} \\ {F=\frac{\Gamma \cdot d}{\Gamma -1}.} \end{array} \]
Ответ:10 см.

[alsak]

880. На каком расстоянии от собирающей линзы надо поместить предмет, чтобы расстояние между предметом и его действительным изображением было минимальным? Фокусное расстояние линзы равно F.
Решение: воспользовавшись формулой линзы, найдём f – расстояние от линзы до действительного изображения. Пусть d – расстояние между предметом и линзой (искомое), тогда
\[ \begin{array}{l} {\frac{1}{F} =\frac{1}{d} +\frac{1}{f} ,} \\ {f=\frac{F\cdot d}{d-F}.} \end{array} \]
В нашем случае d>F, так как изображение действительное.
Обозначим расстояние между предметом и его действительным изображением через y. Тогда
\[ y=d+f=d+\frac{F\cdot d}{d-F} =\frac{d^{2} }{d-F}. \]
Способ 1. Преобразуем полученное выражение для у,  и получим квадратное уравнение относительно d, т.е.
\[ d^{2} -y\cdot d+F\cdot y=0. \]
Дискриминант полученного трёхчлена
\[ D=y^{2} -4\cdot F\cdot y=y\cdot (y-4\cdot F). \]
Таким образом, полученное уравнение имеет решение при y ≥ 4∙F (в этом случае дискриминант неотрицателен). Минимальное значение y, при котором задача имеет решение (т.е. существует один корень квадратного уравнения), равно 4∙F, т.е. y_min = 4∙F,тогда корень квадратного уравнения

d = 2∙F.

Способ 2.Исследуем функцию y = f(d) на минимум. Для этого возьмём первую производную от y по d и приравняем её к нулю для определения точек экстремума. Воспользуемся правилом вычисления производной частного
\[ \begin{array}{l} {\left(\frac{u}{v} \right)^{{'} } =\frac{u'v-uv'}{v^{2} } ,} \\ {y'=\frac{2d\cdot \left(d-F\right)-d^{2} \cdot 1}{\left(d-F\right)^{2} } =\frac{d\cdot \left(d-2F\right)}{\left(d-F\right)^{2} } ,} \\ {\frac{d\cdot \left(d-2F\right)}{\left(d-F\right)^{2} } =0,} \\ {d=2F.} \end{array} \]
Учли, что d>F, так как изображение действительное.
Ответ:d = 2∙F.

[alsak]

881. Проверяя свои очки, человек получил на полу комнаты действительное изображение лампы, висящей на высоте h = 2,5 м, держа очковое стекло под лампой на расстоянии f = 1,5 м от пола. Какова оптическая сила очков?
Решение: оптическая сила D= 1 / F, тогда из формулы линзы
\[ D=\frac{1}{d} +\frac{1}{f}, \]
здесь f – расстояние от линзы до изображения лампы на полу, d = h – f – расстояние от линзы до предмета (до лампы), таким образом
\[ \begin{array}{l} {D=\frac{1}{h-f} +\frac{1}{f} ,} \\ {D=\frac{h}{f\left(h-f\right)} .} \end{array} \]
Ответ: 1,7 дптр.

[alsak]

882.Сходящийся пучок лучей падает на рассеивающую линзу (рис. 279). В отсутствие линзы лучи сходились бы в точке А, расположенной на расстоянии l₁ = 10 см от линзы. После преломления в линзе лучи сходятся в точке В, удалённой от линзы на расстояние l₂ = 15 см. Найти фокусное расстояние линзы.
Решение: поскольку лучи, падают на рассеивающую линзу сходящимся пучком, то после преломления они разойдутся так, что в её побочном фокусе пересекутся мнимые продолжения преломлённых лучей. Проведём побочную оптическую ось, параллельную падающему лучу, на пересечении этой оси с мнимым продолжением преломлённого луча и будет находится побочный фокус линзы F´. Опустим  из него перпендикуляр на главную оптическую ось (фокальная плоскость) и получим положение главного фокуса линзы F (см. рисунок – для наглядности построение проведено только для одного луча)
Анализируя рисунок, нетрудно заметить две пары подобных треугольников: треугольники FF'O и OCA, а также FF'B и OCB. Причём OF = F – фокусное расстояние линзы (его нужно определить), OA = l₁, OB = l₂ - согласно условия задачи. Из подобия этих треугольников, следует
\[ \begin{array}{l} {\frac{FF'}{OC} =\frac{FO}{OA} =\frac{F}{l_{1} } ,} \\ {\frac{FF'}{OC} =\frac{FB}{OB} =\frac{F+l_{2} }{l_{2} } ,} \end{array}  \]
Таким образом, приравняв, получим
\[ \begin{array}{l} {\frac{F}{l_{1} } =\frac{F+l_{2} }{l_{2} } ,} \\ {F=\frac{l_{1} \cdot l_{2} }{l_{2} -l_{1}}.} \end{array} \]
Ответ: 30 см.

[alsak]

883. На рассеивающую линзу вдоль главной оптической оси падает цилиндрический пучок параллельных лучей. Диаметр пучка d₁ = 3 см. На экране, поставленном за линзой на расстоянии l = 12 см, получается светлый круг, диаметр которого d₂ = 8 см. Найти фокусное расстояние линзы.
Решение: поскольку лучи, параллельные главной оптической оси, падают на рассеивающую линзу, то после преломления они разойдутся так, что после преломления в её фокусе пересекутся мнимые продолжения рассеянных лучей, а сами лучи упадут на экран расходящимся пучком, образуя на экране светлый круг, диаметром d₂. (см. рис.)
Анализируя рисунок, нетрудно заметить два подобных треугольника с вершинами при левом фокусе линзы F и параллельными основаниями d₁ / 2 и d₂ / 2. Из подобия этих треугольников следует, что
\[ \frac{d_{2} }{d_{1} } =\frac{l+F}{F}. \]
Здесь F – фокусное расстояние линзы. После преобразований, получим
\[ F=\frac{l\cdot d_{1} }{d_{2} -d_{1}}. \]
Ответ: 7,2 ≈ 7 см.

[alsak]

884. На главной оптической оси на расстоянии d = 60 см от собирающей линзы, фокусное расстояние которой F = 40 см, расположен точечный источник света. Линзу по диаметру разрезали на две половины и симметрично раздвинули их на расстояние r = 1 см в направлении, перпендикулярном главной оптической оси. На каком расстоянии друг от друга будут расположены изображения источника, полученные в половинках линзы?
Решение: похожая задача разобрана в сборнике, № 856. Воспользуемся рисунком к этой задаче (рис. 273). Каждая из раздвинутых половин линзы действует как целая линза (только яркость изображения меньше), главная оптическая ось которой находится на расстоянии h = r / 2 от источника S. Для наглядности представим, что плоские предметы SA и SB установлены перпендикулярно главным оптическим осям этих линз, и построим их изображения S'A' и S''B' .Ясно, что точки S' и S'' являются изображением источника S. Как видно из рисунка, высота h предмета SA равна r/ 2, а высота H изображения S'A' равна (l - r) / 2. Следовательно увеличение одной половины линзы
\[ \Gamma =\frac{H}{h} =\frac{l-r}{r}. \]
Но, с другой стороны
\[ \Gamma =\frac{f}{d}, \]
где d – расстояние от предмета до линзы, f– расстояние от изображения до линзы, которое выразим из формулы тонкой линзы
\[ \frac{1}{F} =\frac{1}{d} +\frac{1}{f} ,{\rm \; \; \; \; \; \; }f=\frac{F\cdot d}{d-F}. \]
Приравняв выражения для увеличения, и подставив f, получим
\[ \frac{l-r}{r} =\frac{F}{d-f} ,{\rm \; \; \; \; \; \; }l=\frac{d\cdot r}{d-F}. \]
Ответ: 3 см.

[alsak]

885. С помощью линзы получено изображение Солнца. Диаметр изображения d = 31 мм, а расположено оно на расстоянии f = 32 см от линзы. Известно, что расстояние от Земли до Солнца R = 150 млн км, а продолжительностьземного года T = 365 сут. Вычислить ускорение свободного паде-ния у поверхности Солнца.
Решение: ускорение свободного падения у поверхности Солнца, имеющего радиус R_c, массу M, можно вычислить по формуле (следствие из закона всемирного тяготения: если пренебречь вращением небесного тела вокруг своей оси, то сила тяжести Mg_c равна силе всемирного тяготения)
\[ g_{c} =\frac{G\cdot M}{R_{c}^{2} } .{\rm \; \; \; \; \; (1)} \]
При движении Земли вокруг Солнца по круговой орбите сила всемирного тяготения сообщает Земле центростремительное ускорение, т.е.
\[ \begin{array}{l} {G\cdot \frac{m\cdot M}{R^{2} } =m\cdot a=m\cdot \omega ^{2} \cdot R=m\cdot \frac{4\pi ^{2} }{T^{2} } \cdot R,} \\ {G\cdot M=\frac{4\pi ^{2} }{T^{2} } \cdot R^{3} .{\rm \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; (2)}} \end{array} \]
Радиус Солнца определим из увеличения линзы: размеры изображения так относятся к размерам предмета, как расстояние до изображения к расстоянию до предмета
\[ \frac{d}{2R_{c} } =\frac{f}{R} ,{\rm \; \; \; \; \; \; }R_{c} =\frac{R\cdot d}{2f} .{\rm \; \; \; \; \; (3)} \]
Подставив выражения (2) и (3) в формулу (1), получим
\[ \begin{array}{l} {g_{c} =\frac{4\pi ^{2} }{T^{2} } \cdot R^{3} \cdot \left(\frac{2f}{R\cdot d} \right)^{2} ,} \\ {g_{c} =\frac{16\pi ^{2} \cdot f^{2} \cdot R}{T^{2} \cdot d^{2}}.} \end{array} \]
Ответ:2,54 м/с² – такой ответ получается после подстановки численных данных из условия задачи, ответ в сборнике – 2,7 ∙ 10² м/с²,  истинное значение ускорения (из справочника) – 273,1 м/с² – скорее всего есть опечатка в числовых данных задачи, т.к. итоговая формула такая же, как в ответах).

[alsak]

886. Две линзы, из которых одна рассеивающая с фокусным расстоянием F₁,а другая собирающая с фокусным расстоянием F₂ = 2F₁ , расположены так, что имеют общую главную оптическую ось. Каким должно быть расстояние между линзами, чтобы пучок лучей, параллельных главной оптической оси системы, пройдя обе линзы, не изменил направления?
Решение: пусть лучи падают на рассеивающую линзу параллельным пучком, это значит, что их точечный источник находится в бесконечности, т.е. расстояние между ним и линзой d₁ = ∞. Поскольку лучи выходят из собирающей линзы тоже параллельным пучком, значит, изображение, даваемое собирающей линзой, тоже удалено в бесконечность, т.е. расстояние от собирающей линзы до изображения f₂ = ∞.
После преломления лучей  в рассеивающей линзе они пойдут расходящимся пучком, но их продолжения пересекутся в её переднем фокусе (с той же стороны, откуда шли к линзе), поэтому расстояние между первым изображением (мнимым) и рассеивающей линзой будет равно её фокусному

f₁ =F₁ .

За рассеивающей линзой расположена собирающая, на расстоянии l (его нужно определить), тогда расстояние от первого изображения (оно является предметом для второй линзы) до второй, собирающей линзы
d₂ = l + F₁ .
Запишем формулу тонкой линзы для второго случая
\[ \frac{1}{F_{2} } =\frac{1}{d_{2} } +\frac{1}{f_{2}}. \]
Но  f₂ = ∞, тогда 1 / f₂ = 0, таким образом
\[ \begin{array}{l} {\frac{1}{2F_{1} } =\frac{1}{l+F_{1} } ,2F_{1} =l+F_{1} ,} \\ {l=F_{1}.} \end{array} \]
Таким образом, расстояние d₂ = 2∙F₁,это значит, что первое изображение, находящееся в фокусе рассеивающей линзы, одновременно находится и в фокусе собирающей линзы, т.е. эти фокусы совпадают.
Ответ: l= F₁.