Автор Тема: Основы статики из сборника Савченко Н.Е.  (Прочитано 27948 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Kiruha

  • Гость
Однородная балка массой m=60кг и длиной l=4м опирается о гладкий пол и выступ В,находящийся на высоте h=3м над полом(рис.107).Балка образует угол а(альфа)=30 градусов с вертикалью и удерживается веревкой АС,протянутой у самого пола.Вычислить силу натяжения веревки,силу реакции пола и силу реакции выступа В.
Задача из сборника Савченко №304.

Форум сайта alsak.ru


djek

  • Гость
285. К концам однородного стержня длиной l = 1 м и массой m = 0,8 кг прикреплены два маленьких шарика, массы которых m1 = 0,2 кг и m2 = 0,25 кг. Стержень может поворачиваться вокруг горизонтальной оси, находящейся на расстоянии l1 = 0,3 м от шарика меньшей массы. Чтобы стержень был расположен горизонтально, под шарик большей массы подставлена опора. Найти силу, действующую на опору.
Решение. Так как стержень находится в равновесии, то выполняется правило моментов: алгебраическая сумма моментов всех действующих на стержень сил относительно оси вращения должна быть равна нулю. Момент сил, вращающих стержень по часовой стрелке будем считать положительным. На стержень действуют: сила тяжести первого шарика m1g, сила реакции первой опоры N1, сила тяжести стержня mg, сила тяжести второго шарика m2g, сила реакции второй опоры N2. Запишем условие равновесия стержня относительно оси, проходящей через первую опору.

m1·g·l1 + N2·l3 - m·g·l2 – m2·g·l3 = 0

где l2 = l/2 – l1, l3 = l – l1. Момент силы N1, равен нулю, так как плечо этой силы равно нулю Тогда
\[ \begin{align}
  & {{N}_{2}}\cdot \left( l-{{l}_{1}} \right)-{{m}_{2}}\cdot g\cdot \left( l-{{l}_{1}} \right)=m\cdot g\cdot \left( \frac{l}{2}-{{l}_{1}} \right)+{{m}_{1}}\cdot g\cdot {{l}_{1}} \\
 & \left( {{N}_{2}}-{{m}_{2}}\cdot g \right)\cdot \left( l-{{l}_{1}} \right)=g\cdot \left( \frac{m\cdot l}{2}-{{l}_{1}}\cdot \left( m+{{m}_{1}} \right) \right) \\
 & {{N}_{2}}=g\cdot \left( {{m}_{2}}+\frac{\frac{m\cdot l}{2}-{{l}_{1}}\cdot \left( m+{{m}_{1}} \right)}{l-{{l}_{1}}} \right) \\
\end{align}
 \]
« Последнее редактирование: 07 Июнь 2018, 09:20 от alsak »

Kiruha

  • Гость
Большое спасибо

Kiruha

  • Гость
Помогите пожалуйста решить задачи №304 и №303)))

Оффлайн alsak

  • Администратор
  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 1975
  • Рейтинг: +8/-0
  • Не делает ошибок тот, кто ничего не делает
Помогите пожалуйста решить задачи №304 и №303)))
Все ваши задачи будут решены, но не сразу. Не забывайте, что сейчас лето, отпуска. Если вам надо срочно - сообщите.
« Последнее редактирование: 24 Июль 2012, 17:35 от alsak »

Оффлайн alsak

  • Администратор
  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 1975
  • Рейтинг: +8/-0
  • Не делает ошибок тот, кто ничего не делает
303. Однородный стержень одним концом упирается в вертикальную стену, а другой его конец удерживается с помощью нити, длина которой рав-на длине стержня (рис. 1). При каких углах α стержень будет находиться в равновесии, если коэффициент трения между стержнем и стеной μ = 0,3?

Решение. На стержень действуют силы: сила тяжести (m∙g), сила натяжения веревки (Т), сила реакции опоры (стенки) (N) и сила трения (направлена вверх, так как без трения стержень двигался бы вниз) (Ftr) (рис. 1). Так как стержень находится в равновесии, то сумма всех сил будет равна нулю:
\[0=m\cdot \vec{g}+\vec{T}+\vec{N}+\vec{F}_{tr} ,\]
0X: 0 = –T∙sin α + N,

0Y: 0 = –m∙g + T∙cos α + Ftr,

где Ftr ≤ μ∙N (т.к. стержень не скользит). Тогда

N = T∙sin α,

0 ≤ –m∙g + T∙cos α + μ∙T∙sin α.   (1)

Выразим силу T через m∙g. Для этого запишем условие равновесия стержня относительно точки А (момент силы, вращающей стержень по часовой стрелке будем считать положительным):

m∙g∙l1T∙l2 = 0,

где l1 = AK = l/2∙sin β — плечо силы тяжести, l2 = AE = CA∙sin α — плечо силы натяжения нити, β = α, т.к. треугольник C0A равнобедренный, CA = CB + BA = l∙cos α + l∙cos β = 2l∙cos α. Тогда
\[m\cdot g\cdot \frac{l}{2} \cdot \sin \alpha -T\cdot 2l\cdot \cos \alpha \cdot \sin \alpha =0,\; \; \; T=\frac{m\cdot g}{4\cos \alpha } .\]

После подстановки в уравнение (1) получаем:
\[0\le -m\cdot g+\frac{m\cdot g}{4} +\mu \cdot \frac{m\cdot g}{4} \cdot tg\alpha ,\; \; \; \; \frac{\mu }{4} \cdot tg\alpha \ge \frac{3}{4} ,\; \; \; \alpha \ge arctg\frac{3}{\mu } ,\]
α ≥ 84°.

Оффлайн alsak

  • Администратор
  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 1975
  • Рейтинг: +8/-0
  • Не делает ошибок тот, кто ничего не делает
304. Однородная балка массой m = 60 кг и длиной l = 4,0 м опирается о гладкий пол и выступ В, находящийся на высоте h = 3,0 м над полом (рис. 1). Балка образует угол α = 30° с вертикалью и удерживается веревкой АС, протянутой у самого пола. Вычислить силу натяжения веревки, силу реакции пола и силу реакции выступа В.

Решение. На балку действуют сила тяжести (m∙g), сила натяжения нити (T), сила реакции выступа (NB — направлена перпендикулярна балке) и сила реакции пола (NC) (рис. 2). Запишем условие равновесия балки относительно точки С (момент сил, вращающих доску по часовой стрелке будем считать положительным):

NBl1m∙g∙l2 = 0,

где l1 = CB = h/cos α — плечо силы NB, l2 = OС = l/2∙sin α — плечо силы m∙g (точка Е — середина балки). Тогда
\[\begin{array}{c} {N_{B} \cdot \frac{h}{\cos \alpha } -m\cdot g\cdot \frac{l}{2} \cdot \sin \alpha =0,} \\ {N_{B} =\frac{m\cdot g\cdot l}{2h} \cdot \sin \alpha \cdot \cos \alpha =\frac{m\cdot g\cdot l}{4h} \cdot \sin 2\alpha ,\; \; \; (1)} \end{array}\]
NB = 173 Н.

Запишем еще одно условие равновесия балки:
\[0=\vec{N}_{B} +m\cdot \vec{g}+\vec{N}_{C} +\vec{T},\]
0X: 0 = NB∙cos α – T,

0Y: 0 = NB∙sin α + NCm∙g.

С учетом уравнения (1) получаем:
\[\begin{array}{c} {T=N_{B} \cdot \cos \alpha =\frac{m\cdot g\cdot l}{4h} \cdot \sin 2\alpha \cdot \cos \alpha ,} \\ {N_{C} =m\cdot g-N_{B} \cdot \sin \alpha =m\cdot g\cdot \left(1-\frac{l}{4h} \cdot \sin 2\alpha \cdot \sin \alpha \right),} \end{array}\]
T = 150 Н,   NC = 513 Н.

Kiruha

  • Гость
Re: Основы статики из сборника Савченко Н.Е.
« Ответ #27 : 04 Сентябрь 2012, 21:06 »
Тонкая однородная доска лежит, касаясь средней точкой поверхности полусферы радиуса R = 2,0 м . При какой наименьшей высоте h центра тяжести доски (от горизонтального основания полусферы) доска не будет соскальзывать с полусферы, если коэффициент трения м = 0,80? Задача №305.Н.Е Савченко.
P.S Извините за продублированное на рисунке условие,рисунок брал с другого сайта.

djek

  • Гость
Re: Основы статики из сборника Савченко Н.Е.
« Ответ #28 : 05 Сентябрь 2012, 16:40 »
305. Тонкая однородная доска лежит, касаясь средней точкой поверхности полусферы радиуса R = 2,0 м. При какой наименьшей высоте h центра тяжести доски (от горизонтального основания полусферы) доска не будет соскальзывать с полусферы, если коэффициент трения μ = 0,80?
Решение.
На доску действуют сила тяжести mg, нормальной реакции опоры N и трения Ftr
Если доска покоится, то
\[ \overset{\to }{\mathop{N}}\,+\overset{\to }{\mathop{{{F}_{tr}}}}\,+m\cdot \overset{\to }{\mathop{g}}\,=0 \]
В проекциях на оси OX и OY имеем:
m·g·sinα - Ftr = 0;
N - m·g·cosα = 0;
Или
Ftr = m·g·sinα;
N = m·g·cosα;
Предположим, что на некоторой высоте h доска начинает скользить, тогда
Ftr = μ·N = μ·m·g·cosα;
m·g·sinα = μ·m·g·cosα.
Отсюда
μ = tgα. (1)
Тангенс угла  α – это отношение противолежащего катета l к прилежащему катету h. Катет l найдем воспользовавшись теоремой Пифагора
\[ \begin{align}
  & {{l}^{2}}={{R}^{2}}-{{h}^{2}} \\
 & tg\alpha =\frac{l}{h}=\frac{\sqrt{{{R}^{2}}-{{h}^{2}}}}{h} \\
\end{align}
 \]
Подставим полученное выражение в формулу (1) и решим уравнение
\[ \begin{align}
  & \mu =\frac{\sqrt{{{R}^{2}}-{{h}^{2}}}}{h} \\
 & h=\frac{R}{\sqrt{{{\mu }^{2}}+1}} \\
\end{align}
 \]
Ответ: 1.5 м
« Последнее редактирование: 05 Сентябрь 2012, 22:18 от djek »

Оффлайн alsak

  • Администратор
  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 1975
  • Рейтинг: +8/-0
  • Не делает ошибок тот, кто ничего не делает
284. Вертикально расположенная пружина соединяет два груза. Масса верхнего груза m1 = 2 кг, а нижнего m2 = 3 кг. Когда система подвешена за верхний груз, длина пружины l1 = 10 см. Если же систему поставить на подставку, длина пружины оказывается равной l2 = 4 см. Определить длину недеформированной пружины.
Решение:  Пусть l0 – длина недеформированной пружины, k – её жёсткость. Когда система подвешена, пружина растягивается под действием веса нижнего груза, при этом в ней возникает сила упругости. В положении равновесия сила тяжести, действующая на нижний груз по модулю равна силе упругости (силы равна по модулю, противоположны по направлению, т.к. их сумма должна быть равна нулю). Сила упругости подчиняется закону Гука, удлинение пружины определим как разность длины в деформированном состоянии и длины в недеформированном, т.е.
\[ \begin{array}{l} {F_{y1} =k\cdot \Delta l_{1} =k\cdot \left(l_{1} -l_{0} \right),} \\ {m_{2} g=k\cdot \left(l_{1} -l_{0} \right).} \end{array} \]
Когда система находится на подставке, пружина сжимается под действием веса верхнего груза, при этом в ней возникает сила упругости. В положении равновесия сила тяжести, действующая на груз по модулю равна силе упругости со стороны пружины, т.е.
\[ \begin{array}{l} {F_{y2} =k\cdot \Delta l_{2} =k\cdot \left(l_{0} -l_{2} \right),} \\ {m_{1} g=k\cdot \left(l_{0} -l_{2} \right).} \end{array} \]
Разделив полученные уравнения (сократится жёсткость), выразим искомую величину, например
\[ \begin{array}{l} {\frac{m_{2} }{m_{1} } =\frac{l_{1} -l_{0} }{l_{0} -l_{2} } ,} \\ {l_{0} =\frac{m_{1} \cdot l_{1} +m_{2} \cdot l_{2} }{m_{1} +m_{2} }.} \end{array} \]
Ответ: 6,4 см ≈ 6 см.