Автор Тема: Жидкости и газы из сборника задач Савченко Н.Е.  (Прочитано 33534 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн alsak

  • Администратор
  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 1975
  • Рейтинг: +8/-0
  • Не делает ошибок тот, кто ничего не делает
371. Определить наименьшую площадь плоской льдины толщиной d = 40 см, способной удержать на воде человека массой m = 75 кг. Плотность льда ρ1 = 0,9⋅103 кг/м3, воды ρ2 = 1⋅103 кг/м3.

Решение. На льдину в воде действуют сила тяжести льдины (m1g), архимедова сила (FA) и вес человека (m⋅g) (рис. 1). Площадь льдины, способная выдержать человека, будет наименьшей, если льдина почти полностью погрузится в воду. Льдина неподвижна, поэтому уравнение второго закона Ньютона в проекции на вертикальную ось имеет вид:

FAm1gm⋅g = 0,

где FA = ρ2g⋅V, m1 = ρ1V, V = S⋅d. Тогда

ρ2g⋅S⋅d – ρ1S⋅d g – m⋅g = 0,

\[ S=\frac{m}{\left(\rho _{2} -\rho _{1} \right) \cdot d}, \]

S = 2 м2.
« Последнее редактирование: 02 Август 2011, 16:28 от alsak »

Форум сайта alsak.ru


Оффлайн alsak

  • Администратор
  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 1975
  • Рейтинг: +8/-0
  • Не делает ошибок тот, кто ничего не делает
372. На плоту, состоящем из n = 20 одинаковых бревен, можно перевозить груз максимальной массой m = 1800 кг. Определить плотность древесины, если объем каждого бревна V = 0,3 м3, а плотность воды ρ1 = 1⋅103 кг/м3.

Решение. На плот в воде действуют сила тяжести плота (m2g), архимедова сила (FA) и вес груза (m⋅g). При увеличении массы груза плот будет глубже опускаться в воду, и при некоторой максимальной массе m плот полностью погрузится в воду, но еще будет находиться у поверхности воды (рис. 1). Плот неподвижен, поэтому уравнение второго закона Ньютона в проекции на вертикальную ось имеет вид:

FAm2gm⋅g = 0,

где FA = ρ1g⋅V0, m2 = ρ2V0, V0 = n⋅V. Тогда

ρ1g⋅n⋅V – ρ2n⋅V g – m⋅g = 0,

\[ \rho _{2} = \rho _{1} -\frac{m}{n \cdot V}, \]

ρ2 = 700 кг/м3.

Оффлайн alsak

  • Администратор
  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 1975
  • Рейтинг: +8/-0
  • Не делает ошибок тот, кто ничего не делает
374. Масса шара-зонда, включая массу газа в нем, m = 50 кг, а объем V = 110 м3. Шар связан с землей веревкой. Плотность воздуха ρ = 1,3 кг/м3. Каково натяжение веревки, когда она: находится в вертикальном положении; под действием ветра отклонилась на угол α = 30° от вертикали?

Решение. 1 случай: веревка в вертикальном положении. В этом случае на шар в воздухе действуют сила тяжести шара (m⋅g), архимедова сила (FA) и сила натяжения веревки (T1) (рис. 1). Шар неподвижен, поэтому уравнение второго закона Ньютона в проекции на вертикальную ось имеет вид:

0Y: FAm⋅g – T1 = 0,

где FA = ρ⋅g⋅V. Тогда

ρ⋅g⋅V – m⋅g – T1 = 0,  T1 = (ρ⋅V – m)⋅g,

T1 = 9,3⋅102 Н.

2 случай: веревка под действием ветра отклонилась на угол α от вертикали. В этом случае на шар в воздухе действуют сила тяжести шара (m⋅g), архимедова сила (FA), сила ветра (Fb) и сила натяжения веревки (T2) (рис. 2). Шар неподвижен, поэтому уравнение второго закона Ньютона в проекции на вертикальную ось имеет вид:

0Y: FAm⋅g – T2⋅cos α = 0,

где FA = ρ⋅g⋅V. Тогда

ρ⋅g⋅V – m⋅g – T2⋅cos α = 0,
 
\[ T_2=\frac{\left(\rho \cdot V-m\right)\cdot g}{\cos \alpha }, \]

T2 = 1,1⋅103 Н.

Оффлайн alsak

  • Администратор
  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 1975
  • Рейтинг: +8/-0
  • Не делает ошибок тот, кто ничего не делает
376. В озере на глубине h = 5,0 м находится тело массой m = 2,0 кг и объемом V = 1,0⋅103 см3. Какая работа должна быть совершена при его подъеме на высоту Н = 5,0 м над поверхностью воды? Плотность воды ρ = 1,0⋅103 кг/м3.

Решение. Задачу решим, используя закон сохранения энергии. За нулевую высоту примем высоту точки, находящейся на глубине h (рис. 1).
Полная механическая энергия тела в начальном состоянии равна

W0 = 0. (1)

Полная механическая энергия тела в конечном состоянии

W = m⋅g⋅h2,
где h2 = h + H. Тогда
W = m⋅g⋅(h + H). (2)

На тело действуют внешние силы: сила F, которая поднимает тело, и архимедова сила (FA) (в воде). Так как архимедова сила и перемещение тела в воде направлены в одну сторону (вверх), то работа архимедовой силы равна

AA = FA⋅h,
где FA = ρ⋅g⋅V. Тогда
AA = ρ⋅g⋅V⋅h. (3)

Работа внешних сил равна:
A + AA = W – W0.

В итоге, с учетом уравнений (1)-(3), получаем:

A + ρ⋅g⋅V⋅h = m⋅g⋅(h + H),      A = (m⋅(h + H) – ρ⋅V⋅h)⋅g,

A = 1,5⋅102 Дж.

Оффлайн alsak

  • Администратор
  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 1975
  • Рейтинг: +8/-0
  • Не делает ошибок тот, кто ничего не делает
377. Со дна водоема глубиной h = 11 м подъемным краном равномерно поднимают бетонный куб массой m = 2200 кг. Определить механическую работу по подъему этого куба до касания его верхней грани поверхности воды. Плотность бетона ρ1 = 2,2⋅103 кг/м3, воды ρ2 = 1,0⋅103 кг/м3.

Решение. Задачу решим, используя закон сохранения энергии. За нулевую высоту примем поверхность дна водоема (рис. 1).
Полная механическая энергия тела в начальном состоянии равна

W0 = 0. (1)

Полная механическая энергия тела в конечном состоянии

W = m⋅g⋅h1,

где h1 = h – a, а — высота бетонного куба. Размеры куба найдем следующим способом:
 
\[ V=a^{3} =\frac{m}{\rho _{1}}, \;\;\; a=\sqrt[{3}]{\frac{m}{\rho _{1}}}. \]
Тогда
 
\[ W=m \cdot g\cdot \left(h-\sqrt[{3}]{\frac{m}{\rho _{1}}} \right).\;\;\; (2) \]

На тело действуют внешние силы: сила тяги подъемного крана (F) и архимедова сила (FA). Так как архимедова сила и перемещение тела в воде направлены в одну сторону (вверх), то работа архимедовой силы равна

AA = FA⋅h1,
где FA = ρ2g⋅V, V = m1. Тогда
 
\[ A_{A} =\rho _{2} \cdot g\cdot \frac{m}{\rho _{1}} \cdot \left(h-\sqrt[{3}]{\frac{m}{\rho _{1} } } \right).\;\;\; (3) \]

Работа внешних сил равна:

A + AA = W – W0A = W – W0AA.

В итоге, с учетом уравнений (1)-(3), получаем:
 
\[ A=m\cdot g\cdot \left(h-\sqrt[{3}]{\frac{m}{\rho _{1} } } \right)-\rho _{2} \cdot g\cdot \frac{m}{\rho _{1} } \cdot \left(h-\sqrt[{3}]{\frac{m}{\rho _{1} } } \right)= \]

\[ =m\cdot g\cdot \left(h-\sqrt[{3}]{\frac{m}{\rho _{1} } } \right)\cdot \left(1-\frac{\rho _{2} }{\rho _{1} } \right), \]

A = 1,2⋅105 Дж.
« Последнее редактирование: 11 Август 2011, 12:41 от alsak »

Оффлайн alsak

  • Администратор
  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 1975
  • Рейтинг: +8/-0
  • Не делает ошибок тот, кто ничего не делает
379. На какую глубину погрузится тело при падении в воду с высоты H и за какое время оно всплывет на поверхность? Трение тела о воздух и воду не учитывать. Плотность воды ρ1, плотность тела ρ2 < ρ1. Начальная скорость тела υ0 = 0.

Решение. Найдем глубину погружения h тела.
Задачу решим, используя закон сохранения энергии. За нулевую высоту примем высоту точки, находящейся на глубине h (рис. 1).
Полная механическая энергия тела в начальном состоянии равна

W0 = m⋅g⋅h1,

где h1 = h + H, m — масса тела. Тогда

W0 = m⋅g⋅(h + H). (1)

Полная механическая энергия тела в конечном состоянии

W = 0. (2)

На тело действует внешняя сила — архимедова сила (FA) (только в воде, трение тела о воздух и воду не учитывать). Так как архимедова сила и перемещение тела в воде направлены разные стороны (сила направлена вверх, тело движется вниз), то работа архимедовой силы равна

AA = –FA⋅h,

где FA = ρ1g⋅V, V = m2. Тогда
 
AA = –ρ1g⋅h⋅m2. (3)

Работа внешних сил равна:

AA = W – W0.

В итоге, с учетом уравнений (1)-(3), получаем:
 
\[ -\rho _{1} \cdot g\cdot \frac{m}{\rho _{2}} \cdot h=-m\cdot g\cdot \left(h+H\right), \;\;\; \frac{\rho _{1} -\rho _{2} }{\rho _{2}} \cdot h = H, \;\;\; h=\frac{H\cdot \rho _{2}}{\rho _{1} -\rho _{2}}.\;\;\; (4) \]


Найдем время, за которое тело всплывет на поверхность. В воде на тело действуют сила тяжести (m⋅g) и архимедова сила (FA) (рис. 2). Так как ρ2 < ρ1, тело будет всплывать вверх. Запишем проекцию второго закона Ньютона на вертикальную ось:

0Y: m⋅a = FA – m⋅g или
 
\[ m\cdot a=\rho _{1} \cdot g\cdot \frac{m}{\rho _{2} } -m\cdot g, \;\;\; a=\left(\frac{\rho _{1}}{\rho _{2} } -1\right)\cdot g = \frac{\rho _{1} -\rho _{2}}{\rho _{2} } \cdot g.\;\;\; (5) \]

Составим уравнение движения тела в воде:
 
\[ y=y_{0} +\upsilon _{0y} \cdot t+\frac{a_{x} \cdot t^{2}}{2}, \]

где y0 = 0, υ0y = 0, ax = a. Пусть время t1 — это время, за которое тело достигнет поверхности воды (y = h2 = h). Тогда с учетом уравнений (4) и (5)
 
\[ h=\frac{a\cdot t_{1}^{2} }{2}, \;\;\; t_{1} = \sqrt{\frac{2h}{a} } =\sqrt{\frac{2h\cdot \rho _{2} }{\left(\rho _{1} -\rho _{2} \right)\cdot g} } = \frac{\rho _{2} }{\rho _{1} -\rho _{2} } \cdot \sqrt{\frac{2H}{g} }. \]


Оффлайн alsak

  • Администратор
  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 1975
  • Рейтинг: +8/-0
  • Не делает ошибок тот, кто ничего не делает
380. С какой высоты падал шарик, если он погрузился в воду на глубину h = 0,1 м? Плотность шарика ρ1 = 0,4⋅103 кг/м3, его начальная скорость υ0 = 0, плотность воды ρ2 = 1,0⋅103 кг/м3. Сопротивлением воздуха и воды пренебречь.

Решение. Задачу решим, используя закон сохранения энергии. За нулевую высоту примем высоту точки, находящейся на глубине h (рис. 1).
Полная механическая энергия тела в начальном состоянии равна

W0 = m⋅g⋅h1,

где h1 = h + H, m = ρ1V — масса тела, H — высота, с которой падало тело, V — объем тела. Тогда

W0 = ρ1V⋅g⋅(h + H). (1)

Полная механическая энергия тела в конечном состоянии

W = 0. (2)

На тело действует внешняя сила — архимедова сила (FA) (только в воде), сопротивлением воздуха и воды пренебречь. Так как архимедова сила и перемещение тела в воде направлены разные стороны (сила направлена вверх, тело движется вниз), то работа архимедовой силы равна

AA = –FA⋅h,

где FA = ρ2g⋅V. Тогда

AA = – ρ2g⋅V⋅h. (3)

Работа внешних сил равна:

AA = W – W0.

В итоге, с учетом уравнений (1)-(3), получаем:
 
\[ -\rho _{2} \cdot g\cdot V\cdot h=-\rho _{1} \cdot V\cdot g\cdot \left(h+H\right), \; \; \; h+H=\frac{\rho _{2} }{\rho _{1} } \cdot h, \;\;\; H=\left(\frac{\rho _{2} }{\rho _{1}} -1\right)\cdot h,
 \]

H = 0,15 м.

Оффлайн alsak

  • Администратор
  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 1975
  • Рейтинг: +8/-0
  • Не делает ошибок тот, кто ничего не делает
381. Сплошной однородный стеклянный шарик объемом V = 0,5 см3 равномерно падает в воде. Какое количество теплоты выделится при перемещении шарика на h = 6 м? Плотность стекла ρ1 = 2,5⋅103 кг/м3, воды ρ2 = 1,0⋅103 кг/м3.

Решение. Задачу решим, используя закон сохранения энергии. За нулевую высоту примем высоту, на которой окажется шарик при перемещении на h. Пусть скорость равномерного падения шарика равна υ (рис. 1).
Полная механическая энергия тела в начальном состоянии равна
 
\[ W_{0} = m\cdot g\cdot h_{0} + \frac{m\cdot \upsilon ^{2}}{2}, \]

где h0 = h, m = ρ1V — масса тела. Тогда
 
\[ W_{0} = \rho _{1} \cdot V\cdot g\cdot h+\frac{\rho _{1} \cdot V \cdot \upsilon ^{2}}{2}.\;\;\; (1) \]

Полная механическая энергия тела в конечном состоянии
 
\[ W = \frac{m \cdot \upsilon ^{2}}{2} = \frac{\rho _{1} \cdot V \cdot \upsilon ^{2}}{2}.\;\;\; (2) \]


На тело действуют внешние сила — сила сопротивление (Fc) и архимедова сила (FA). Так как архимедова сила и перемещение тела в воде направлены разные стороны (сила направлена вверх, тело движется вниз), то работа архимедовой силы равна

AA = –FA⋅h,

где FA = ρ2g⋅V. Тогда

AA = – ρ2g⋅V⋅h. (3)

Количество теплоты Q, которое выделится при перемещение шарика в воде, будет численно равно работе сил сопротивления А, но с противоположным знаком (т.к. A < 0), т.е.

Q = – А. (4)

Работа всех внешних сил равна:

A + AA = W – W0
или
Q = – А = AA – W + W0.

В итоге, с учетом уравнений (1)-(4), получаем:
 
\[ Q =-\rho _{2} \cdot g\cdot V\cdot h-\frac{\rho _{1} \cdot V\cdot \upsilon ^{2} }{2} + \rho _{1} \cdot V\cdot g\cdot h+\frac{\rho _{1} \cdot V\cdot \upsilon ^{2} }{2} =\left(\rho _{1} -\rho _{2} \right)\cdot g\cdot V\cdot h, \]

Q = 4,5⋅10–2 Дж.

Оффлайн alsak

  • Администратор
  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 1975
  • Рейтинг: +8/-0
  • Не делает ошибок тот, кто ничего не делает
382. Сколько будет весить гиря массой m = 1,0 кг, взвешиваемая на пружинных весах в гондоле аэростата при его равноускоренном подъеме, если масса гондолы с оболочкой М = 500 кг? Оболочка имеет объем V = 1000 м3 и наполнена водородом, плотность которого ρ1 = 0,10 кг/м3. Плотность воздуха ρ2 = 1,3 кг/м3.

Решение. Предположим, что ускорение гондолы направлено вверх (ниже мы это определим). Тогда вес гири будет равен:

P = m⋅(g + a). (1)

Найдем ускорение гондолы. На гондолу с оболочкой действуют сила тяжести ((M + m + mv)⋅g) (mv — масса водорода)  и архимедова сила (FA) (рис. 1). Запишем уравнение второго закона Ньютона в проекции на вертикальную ось:

0Y: (M + m + mv)⋅a = FA – (M + m + mv)⋅g,

где mv = ρ1V, FA = ρ2g⋅V. Тогда
\[ a=\frac{F_{A} }{M+m+m_{v} } -g=\frac{\rho _{2} \cdot g\cdot V}{M+m+\rho _{1} \cdot V} -g \]

(a > 0, т.е. ускорение направлено вверх).
После подстановки в уравнение (1) получаем:
\[ P=m\cdot \frac{\rho _{2} \cdot g\cdot V}{M+m+\rho _{1} \cdot V}, \]

P = 22 Н.

Примечание. Силу тяжести гири, которая в 500 раз (?!) меньше силы тяжести гондолы, можно не учитывать.  Более точные расчеты дают такие ответы: с учетом силы тяжести гири — P = 21,63 Н, без учета — P = 21,67 Н. Расхождение 0,2 %.
« Последнее редактирование: 16 Август 2011, 12:40 от alsak »

Styx

  • Гость
381. Сплошной однородный стеклянный шарик объемом V = 0,5 см3 равномерно падает в воде. Какое количество теплоты выделится при перемещении шарика на h = 6 м? Плотность стекла ρ1 = 2,5⋅103 кг/м3, воды ρ2 = 1,0⋅103 кг/м3.

Задача решена неверно. W2-W1=Aнеконс силсопр. С другой стороны:
W2-W1=Q. => Q = Aсопр=Fсопр*h*cos 180 = -Fсопр*h.
 Т.к. ускорение а=0, то Fсопр=mg - FАрх.
=> Q = (p1*g*V - p2 *g*V)*h = (p1 - p2)*h*g*V.
Вопрос к alsak: что вы понимаете под внешними силами?????? Давно уже этими терминами не пользуются. Пользуются понятиями консерватив. и неконсервативн. сил. Почему на чертеже не  обознач. сила тяжести?????? На шарик действуют 3 силы.
« Последнее редактирование: 19 Октябрь 2011, 19:47 от alsak »