Автор Тема: Жидкости и газы из сборника задач Савченко Н.Е.  (Прочитано 33597 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн alsak

  • Администратор
  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 1975
  • Рейтинг: +8/-0
  • Не делает ошибок тот, кто ничего не делает
361. В цилиндрических сообщающихся сосудах находится ртуть. Отношение диаметров сосудов n = d1/d2 = 0,25. В узкий сосуд наливают воду; высота столба воды h = 80 см. На сколько опустится уровень ртути в узком сосуде и на сколько он поднимется в широком? Плотность воды ρ1 = 1,0⋅103 кг/м3, ртути ρ2 = 13,6⋅103 кг/м3.

Решение. Для сообщающихся сосудов выполняются условие равновесия жидкости (в однородной жидкости на одном уровне гидростатические давления равны) (рис. 1):

рА = рВ,

где pА = ρ2g⋅h2, pВ = ρ1g⋅h. Тогда

ρ2g⋅h2 = ρ1g⋅h или ρ1h = ρ2h2. (1)

Из рисунка 1 видно, что

h2 = Δh1 + Δh2, (2)

где Δh1 — высота, на которую опустится ртуть в узком сосуде, Δh2 — высота, на которую поднимется ртуть в широком сосуде.

Из условия не сжимаемости воды

ΔV1 = ΔV2S1⋅Δh1 = S2⋅Δh2,

где  \[ S_{1} = \frac{\pi \cdot d_{1}^{2} }{4}, \; \; \; S_{2} =\frac{\pi \cdot d_{2}^{2} }{4} \] — площади поперечного сечения сосудов, d1/d2 = n — по условию. Тогда
 
\[ \frac{\pi \cdot d_{1}^{2} }{4} \cdot \Delta h_{1} =\frac{\pi \cdot d_{2}^{2} }{4} \cdot \Delta h_{2}, \; \; \; \Delta h_{2} =\Delta h_{1} \cdot \left(\frac{d_{1} }{d_{2} } \right)^{2} =n^{2} \cdot \Delta h_{1}.
 \]

После подстановки в уравнение (2) получаем:

h2 = Δh1 + n2⋅Δh1 = Δh1⋅(1 + n2).

Подставим в уравнение (1)
 
\[ \rho _{1} \cdot h=\rho _{2} \cdot \Delta h_{1} \cdot \left(1+n^{2} \right), \; \; \; \Delta h_{1} =\frac{\rho _{1} \cdot h}{\rho _{2} \cdot \left(1+n^{2} \right)}, \; \; \; \Delta h_{2} =\frac{\rho _{1} \cdot h \cdot n^{2} }{\rho _{2} \cdot \left(1+n^{2} \right)}, \]

Δh1 = 5,5⋅10–2 м, Δh2 = 3,5⋅10–3 м.

Форум сайта alsak.ru


Оффлайн alsak

  • Администратор
  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 1975
  • Рейтинг: +8/-0
  • Не делает ошибок тот, кто ничего не делает
362. В сообщающиеся сосуды налита ртуть, поверх которой в один из сосудов налита вода. Разность уровней ртути Δh = 20 мм. Плотность ртути ρ1 = 13,6⋅103 кг/м3, воды ρ2 = 1,0⋅103 кг/м3. Найти высоту столба воды.

Решение. Для сообщающихся сосудов выполняются условие равновесия жидкости (в однородной жидкости на одном уровне гидростатические давления равны) (рис. 1):

рА = рВ,

где pА = ρ1g⋅Δh, pВ = ρ2g⋅h2. Тогда

ρ1g⋅Δh = ρ2g⋅h2 или ρ1⋅Δh = ρ2h2,
 
\[ h_{2} =\frac{\rho _{1} \cdot \Delta h}{\rho _{2}}, \]

h2 = 0,27 м.

Оффлайн alsak

  • Администратор
  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 1975
  • Рейтинг: +8/-0
  • Не делает ошибок тот, кто ничего не делает
363. В двух сообщающихся цилиндрических сосудах с одинаковыми поперечными сечениями площадью S = 1⋅10–2 м2 находится ртуть. В одни из сосудов поверх ртути наливают воду массой m1 = 20 кг и опускают в нее плавать груз массой m2 = 7,2 кг. На сколько поднимется уровень ртути во втором сосуде? Плотность ртути ρ = 13,6⋅103 кг/м3.

Решение. Для сообщающихся сосудов выполняются условие равновесия жидкости (в однородной жидкости на одном уровне гидростатические давления равны) (рис. 1):

рА = рВ,

где pА = ρ⋅g⋅h. Давление в точке В можно найти разными способами.
1 способ. Давление pВ = ρ1g⋅h3, где ρ1 — плотность воды, h3 = h1 + h2, h1 — высота столбца воды массой m1, h2 — высота столбца воды, вытесненная при погружении в воду тела массой m2 и т.п.
2 способ. Так как тело плавает в воде, то давление воды и плавающего тела в точке В
 
\[ p_{B} = \frac{\left(m_{1} +m_{2} \right)\cdot g}{S}. \]
Тогда
 
\[ \rho \cdot g \cdot h=\frac{\left(m_{1} +m_{2} \right)\cdot g}{S}, \;\; \; \rho \cdot h=\frac{m_{1} +m_{2} }{S}.\;\;\; (1) \]


Из рисунка 1 видно, что

h = Δh1 + Δh2,

где Δh1 — высота, на которую поднимется ртуть, Δh2 — высота, на которую ртуть опустится.
Из условия не сжимаемости воды

ΔV1 = ΔV2S⋅Δh1 = S⋅Δh2,  Δh1 = Δh2.

В итоге получаем, с учетом уравнения (1):
 
\[ h=2\Delta h_{1} =\frac{m_{1} +m_{2} }{S\cdot \rho }, \; \; \; \Delta h_{1} =\frac{m_{1} +m_{2} }{2S\cdot \rho }, \]

Δh1 = 0,1 м.

Оффлайн alsak

  • Администратор
  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 1975
  • Рейтинг: +8/-0
  • Не делает ошибок тот, кто ничего не делает
364. Шарик массой m = 40 г плавает в одном из двух одинаковых цилиндрических сообщающихся сосудов, заполненных водой (рис. 1). Площадь поперечного сечения каждого сосуда S = 20 см2. На сколько изменится уровень воды, если вынуть шарик? Плотность воды ρ = 1,0 г/см3.

Решение. На шарик действуют силы тяжести (m⋅g) и архимедова сила (FA). Запишем условие плавания тела:

FA = m⋅g,

где FA = ρ⋅g⋅Vn, Vn — объем части шарика, погруженного в воду. Тогда

ρ⋅g⋅Vn = m⋅g или ρ⋅Vn = m.

Если шарик вынуть из воды, то объем воды уменьшиться на Vn. Так как вода занимается два сообщающихся сосуда площадью S каждый, то уровень воды (высота столбца) уменьшиться на
 
\[ \Delta h=\frac{V_n}{2S}=\frac{m}{2\rho \cdot S}, \]

Δh = 1⋅10–2 м.

Оффлайн alsak

  • Администратор
  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 1975
  • Рейтинг: +8/-0
  • Не делает ошибок тот, кто ничего не делает
365. Два цилиндрических сосуда соединены у дна тонкой трубкой с краном (рис. 1). Один сосуд имеет площадь поперечного сечения S1 = 15 см2, второй — S2 = 5,0 см2. Сосуды заполнены водой: первый до высоты h1 = 20 см, второй до высоты h2 = 40 см. Каков будет уровень воды в сосудах, если открыть кран К в соединительной трубке?

Решение. Так как давление на дно сосуда больше в правом сосуде, то после открытия кран К вода будет перетекать с правого сосуда в левый. Пусть высота столбца жидкости в сосудах станет равной h3, уровень воды в сосуде площадью S1 увеличится на Δh1, в сосуде площадью S2 уменьшится на Δh2 (рис. 2). Из рисунка видно, что

Δh1 = h3h1, (1)

Δh2 = h2h3. (2)

Из условия не сжимаемости воды

ΔV1 = ΔV2S1⋅Δh1 = S2⋅Δh2. (3)

Решим систему уравнений (1)-(3). Например,

S1⋅(h3h1) = S2⋅(h2h3),  h3⋅(S1 + S2) = S1h1 + S2h2,
 
\[ h_{3} =\frac{S_{1} \cdot h_{1} +S_{2} \cdot h_{2} }{S_{1} +S_{2}}, \]

h3 = 0,25 м.
« Последнее редактирование: 13 Декабрь 2011, 19:00 от alsak »

Оффлайн alsak

  • Администратор
  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 1975
  • Рейтинг: +8/-0
  • Не делает ошибок тот, кто ничего не делает
366. Деталь отлита из сплава железа и никеля. Определить, сколько процентов по объему составляют железо и никель, а также объем всей детали, если в воздухе деталь весит Р1 = 33,52 Н, а в воде — Р2 = 29,60 Н. Плотность железа ρ1 = 7,9⋅103 кг/м3, никеля ρ2 = 8,9⋅103 кг/м3, воды ρ3 = 1,0⋅103 кг/м3. Архимедову силу в воздухе не учитывать.

Решение. Будем считать, что вес детали определяют при помощи динамометра. Тогда вес детали — это сила упругости пружины динамометра.
В воздухе на деталь, подвешенной к динамометру, действует сила тяжести ((m1 + m2)⋅g) и сила упругости (Fy1) (архимедову силу в воздухе не учитывать) (рис. 1). Из проекции второго закона Ньютона получаем:

P1 = Fy1 = (m1 + m2)⋅g,

где m1 = ρ1V1 — масса железа в детали, V1 — объем железа, m2 = ρ2V2 — масса никеля в детали, V2 — объем никеля. Тогда

P1 = (ρ1V1 + ρ2V2)⋅g. (1)

В воде на деталь, подвешенной к динамометру, действует сила тяжести ((m1 + m2)⋅g), сила упругости (Fy2) и архимедова сила (FA) (рис. 2). Из проекции второго закона Ньютона получаем:

P2 = Fy2 = (m1 + m2)⋅gFA,

где FA = ρ3g⋅V, V = V1 + V2 — объем всей детали. Тогда

P2 = (ρ1V1 + ρ2V2)⋅g – ρ3g⋅(V1 + V2). (2)

Решим систему уравнений (1)-(2) и найдем V1, V2 и V. Например,
 
\[ P_{2} =P_{1} -\rho _{3} \cdot g\cdot \left(V_{1} +V_{2} \right), \; \; \; V=V_{1} +V_{2} =\frac{P_{1} -P_{2} }{\rho _{3} \cdot g}, \]
V = 4⋅10–4 м3.
V2 = V – V1, P1 = (ρ1V1 + ρ2⋅(VV1))⋅g,

1 – ρ2)⋅V1g = P1 – ρ2V⋅g,

\[ V_{1} =\frac{P_{1} }{\left(\rho _{1} -\rho _{2} \right)\cdot g} -\frac{\rho _{2} \cdot V}{\rho _{1} -\rho _{2} }, \; \; \; \frac{V_{1} }{V} =\frac{P_{1} }{\left(\rho _{1} -\rho _{2} \right)\cdot g} \cdot \frac{1}{V} -\frac{\rho _{2} }{\rho _{1} -\rho _{2} } = \]
 
\[ =\frac{P_{1} }{\left(\rho _{1} -\rho _{2} \right)\cdot g} \cdot \frac{\rho _{3} \cdot g}{P_{1} -P_{2} } -\frac{\rho _{2} }{\rho _{1} -\rho _{2} } =\left(\frac{P_{1} \cdot \rho _{3} }{P_{1} -P_{2} } -\rho _{2} \right)\cdot \frac{1}{\rho _{1} -\rho _{2}}, \]

V1/V = 0,35  (35%),  V2/V = 1 – 0,35 = 0,65  (65%).

Оффлайн alsak

  • Администратор
  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 1975
  • Рейтинг: +8/-0
  • Не делает ошибок тот, кто ничего не делает
367. Браслет массой М = 80 г сделан из сплава золота и серебра. Вычислить массу золота, содержащегося в браслете, располагая следующими данными: плотность золота ρ1 = 19,3 г/см3, плотность серебра ρ2 = 10,5 г/см3; при погружении браслета в воду, находящуюся в сосуде с вертикальными стенками и площадью основания S = 25 см2, уровень воды поднимается на h = 2,0 мм.

Решение. Масса браслета равна

M = m1 + m2,

где m1 = ρ1V1 — масса золота в браслете, V1 — объем золота, m2 = ρ2V2 — масса серебра в браслете, V2 — объем серебра. Тогда

M = ρ1V1 + ρ2V2. (1)

При погружении в воду браслет вытесняет объем воды, равный объему тела, т.е.

V = S⋅h = V1 + V2. (2)

Решим систему уравнений (1)-(2). Например,

V2 = S⋅h – V1M = ρ1V1 + ρ2⋅(S⋅h – V1),

1 – ρ2)⋅V1 = M – ρ2S⋅h,

\[ V_{1} =\frac{M-\rho _{2} \cdot S\cdot h}{\rho _{1} -\rho _{2}}, \; \; \; m_{1} =\rho _{1} \cdot V_{1} =\rho _{1} \cdot \frac{M-\rho _{2} \cdot S\cdot h}{\rho _{1} -\rho _{2}}, \]

m1 = 6,0⋅10–2 кг.

Оффлайн alsak

  • Администратор
  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 1975
  • Рейтинг: +8/-0
  • Не делает ошибок тот, кто ничего не делает
368. Согласно желанию сиракузского властителя, Архимед должен был определить содержание золота в короне, состоящей из золотых и серебряных частей, не разрушая ее. Для этого Архимед взвесил корону в воздухе и получил вес P1 = 25,4 Н, а затем в воде, получив вес Р2 = 23,4 Н. Зная плотность золота, серебра и воды (соответственно ρ1 = 19,3 г/см3, ρ2 = 10,5 г/см3 и ρ3 = 1,00 г/см3), определить, как и Архимед, массу золота, содержащегося в этой короне. Ускорение свободного падения считать равным g = 10,0 м/с2.

Решение. Будем считать, что вес короны определяли при помощи динамометра. Тогда вес короны — это сила упругости пружины динамометра.
В воздухе на корону, подвешенной к динамометру, действует сила тяжести ((m1 + m2)⋅g) и сила упругости (Fy1) (архимедову силу в воздухе не учитывать) (рис. 1). Из проекции второго закона Ньютона получаем:

P1 = Fy1 = (m1 + m2)⋅g,

где m1 = ρ1V1 — масса золота в короне, V1 — объем золота, m2 = ρ2V2 — масса серебра в детали, V2 — объем серебра. Тогда

P1 = (ρ1V1 + ρ2V2)⋅g. (1)

В воде на корону, подвешенной к динамометру, действует сила тяжести ((m1 + m2)⋅g), сила упругости (Fy2) и архимедова сила (FA) (рис. 2). Из проекции второго закона Ньютона получаем:

P2 = Fy2 = (m1 + m2)⋅gFA,

где FA = ρ3g⋅V, V = V1 + V2 — объем всей короны. Тогда

P2 = (ρ1V1 + ρ2V2)⋅g – ρ3g⋅(V1 + V2). (2)


Решим систему уравнений (1)-(2), найдем V1 и m1. Например,

\[ P_{2} =P_{1} -\rho _{3} \cdot g\cdot \left(V_{1} +V_{2} \right), \; \; \; V=V_{1} +V_{2} =\frac{P_{1} -P_{2} }{\rho _{3} \cdot g}, \]

V2 = V – V1, P1 = (ρ1V1 + ρ2⋅(VV1))⋅g,

1 – ρ2)⋅V1g = P1 – ρ2V⋅g,

\[ V_{1} =\frac{P_{1} -\rho _{2} \cdot V\cdot g}{\left(\rho _{1} -\rho _{2} \right)\cdot g} =\frac{\rho _{3} \cdot P_{1} -\rho _{2} \cdot \left(P_{1} -P_{2} \right)}{\left(\rho _{1} -\rho _{2} \right)\cdot \rho _{3} \cdot g}, \; \; \; m_{1} =\rho _{1} \cdot V_{1} =\rho _{1} \cdot \frac{\rho _{3} \cdot P_{1} -\rho _{2} \cdot \left(P_{1} -P_{2} \right)}{\left(\rho _{1} -\rho _{2} \right)\cdot \rho _{3} \cdot g} , \]

m1 = 0,965 кг.

Оффлайн alsak

  • Администратор
  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 1975
  • Рейтинг: +8/-0
  • Не делает ошибок тот, кто ничего не делает
369. В цилиндрическом сосуде с не смешивающейся с водой жидкостью, плотность которой ρ = 1,2 г/см3, при температуре t = 0 °С плавает льдинка массой m = 1 кг. На сколько изменится уровень этой жидкости в сосуде, когда льдинка растает? Площадь основания сосуда S = 0,1 м2.

Решение. Пусть в сосуде без льдинки высота жидкости была h. После того как в жидкость опустили льдинку уровень жидкости поднялся на Δh1, а после того как льдинка растаяла — еще на Δh2 (рис. 1).
Найдем высоту Δh1. Воспользуемся условием плавания тела: вес вытесненной телом жидкости Pj равен весу тела P, т.е.

Pj = P,

где Pj = mj⋅g = ρ⋅Vj⋅g, Vj = S⋅Δh1 — объем вытесненной телом жидкости, P = m⋅g. Тогда
 
\[ \rho \cdot S\cdot \Delta h_{1} \cdot g=m\cdot g,\, \, \, \, \Delta h_{1} =\frac{m}{\rho \cdot S}.\;\;\; (1) \]


После того как льдинка растаяла, объем жидкости в сосуде увеличился на объем воды V, полученной из льдинки. Но плотность воды меньше плотности жидкости, поэтому вся вода окажется сверху, и уровень жидкости опустится до первоначальной высоты h.

Ответ. Уровень жидкости опустится на Δh1 = 8,3⋅10–3 м.

Примечание. Для сравнения плотностей воды и жидкости в условие нужно добавить плотность воды.

Оффлайн alsak

  • Администратор
  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 1975
  • Рейтинг: +8/-0
  • Не делает ошибок тот, кто ничего не делает
370. Теплоход, войдя в гавань, выгрузил часть груза; при этом его осадка уменьшилась на h = 0,6 м. Найти массу груза, оставленного теплоходом в гавани, если площадь поперечного сечения теплохода на уровне ватерлинии S = 5400 м2. Плотность воды ρ = 1⋅103 кг/м3.

Решение. На теплоход с грузом действуют сила тяжести теплохода (m1g), архимедова сила (FA1) и вес груза (m2g) (рис. 1, а). Тело неподвижно, поэтому уравнение второго закона Ньютона в проекции на вертикальную ось имеет вид:

FA1m1gm2g = 0,

где FA1 = ρ⋅g⋅V1, V1 = S⋅h1, h1 — глубина погружения теплохода с грузом. Тогда

ρ⋅g⋅S⋅h1m1gm2g = 0. (1)


На теплоход без груза действуют сила тяжести теплохода (m1g), архимедова сила (FA2) (рис. 1, б). В проекции на вертикальную ось получаем:

FA2m1g = 0,

где FA2 = ρ⋅g⋅V2, V2 = S⋅h2, h2 — глубина погружения теплохода без груза, h2 = h1h. Тогда

ρ⋅g⋅S⋅(h1h) – m1g = 0. (2)

Решим систему уравнений (1)-(2). Например,

ρ⋅g⋅S⋅h1m1g = m2g,  ρ⋅g⋅S⋅h1m1g – ρ⋅g⋅S⋅h = 0,

m2g = ρ⋅g⋅S⋅hm2 = ρ⋅S⋅h,

m2 = 3,2⋅106 кг.