Автор Тема: Объёмная плотность заряда равномерно заряженного бесконечно длинного цилиндра  (Прочитано 277 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Онлайн Антон Огурцевич

  • Наблюдатель
  • Ветеран
  • *
  • Сообщений: 2371
  • Рейтинг: +5/-0
  • Пространство переходит во время, как тело в душу.
2. Объёмная плотность заряда равномерно заряженного бесконечно длинного цилиндра радиусом R = 6 см, изготовленного из диэлектрика с проницаемостью ε = 4, равна ρ = 6,7∙10-4 Кл/м3. Найти напряжённость E электрического поля в точках, находящихся на расстояниях r1 = 1,5 см и r2 = 10 см от оси цилиндра. Найти разность потенциалов между этими точками. Сделать рисунок.

Форум сайта alsak.ru


Онлайн Сергей

  • Наблюдатель
  • Ветеран
  • *
  • Сообщений: 2236
  • Рейтинг: +0/-0
Решение.
Определим напряженность электрического поля на расстоянии r1 от оси цилиндра, точка находится внутри цилиндра (r1 < R).
 Объёмную плотность энергии цилиндра определим по формуле:
\[ \rho =\frac{q}{V}(1),V=\pi \cdot {{R}^{2}}\cdot h(2),q=\rho \cdot \pi \cdot {{R}^{2}}\cdot h(3). \]
Напряженность поля равномерно заряженного бесконечно длинного цилиндра, вычисленная с помощью теоремы Остроградского –Гаусса определяется по формулам
\[ \begin{align}
  & \oint{E\cdot dS}=\frac{q}{\varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}}.dS=2\cdot \pi \cdot r\cdot h,E=\frac{q}{2\cdot \pi \cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot r\cdot h},E=\frac{\rho \cdot \pi \cdot {{r}^{2}}\cdot h}{2\cdot \pi \cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot r\cdot h},E=\frac{\rho \cdot r}{2\cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}}(4). \\
 & {{E}_{1}}=\frac{6,7\cdot {{10}^{-4}}\cdot 1,5\cdot {{10}^{-2}}}{2\cdot 4\cdot 8,85\cdot {{10}^{-12}}}=0,142\cdot {{10}^{6}}. \\
\end{align} \]
ε – диэлектрическая проницаемость рассматриваемой области, ε0 = 8,854∙10-12 Ф/м – электрическая постоянная.
Определим напряженность электрического поля на расстоянии r2 от оси цилиндра, точка находится вне цилиндра (r2 > R).
\[ \begin{align}
  & q=\rho \cdot \pi \cdot {{R}^{2}}\cdot h, \\
 & \oint{E\cdot dS}=\frac{q}{\varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}}.dS=2\cdot \pi \cdot r\cdot h,E=\frac{q}{2\cdot \pi \cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot r\cdot h},E=\frac{\rho \cdot \pi \cdot {{R}^{2}}\cdot h}{2\cdot \pi \cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot r\cdot h},E=\frac{\rho \cdot {{R}^{2}}}{2\cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot r}(4). \\
 & {{E}_{2}}=\frac{6,7\cdot {{10}^{-4}}\cdot {{(6\cdot {{10}^{-2}})}^{2}}}{2\cdot 1\cdot 8,85\cdot {{10}^{-12}}\cdot 10\cdot {{10}^{-2}}}=1,36\cdot {{10}^{6}}. \\
\end{align}
 \]
Определим потенциал электрического поля на расстоянии r1 от оси цилиндра, точка находится внутри цилиндра (r1 < R). Потенциал на оси цилиндра равен 0.
\[  \begin{align}
  & {{\varphi }_{1}}=-\int\limits_{0}^{{{r}_{1}}}{Edr=-}\int\limits_{0}^{{{r}_{1}}}{\frac{\rho \cdot r}{2\cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}}dr=-\frac{\rho }{2\cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}}\cdot \left. \frac{{{r}^{1+1}}}{1+1} \right|_{0}^{{{r}_{1}}}}=-\frac{\rho }{2\cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}}\cdot \frac{r_{1}^{2}}{2}. \\
 & {{\varphi }_{1}}=-\frac{6,7\cdot {{10}^{-4}}}{2\cdot 4\cdot 8,85\cdot {{10}^{-12}}}\cdot (\frac{1,5\cdot {{10}^{-2}}}{2})=-0,07\cdot {{10}^{6}}. \\
\end{align} \]
Потенциал на поверхности цилиндра равен
\[ {{\varphi }_{R}}=-\int\limits_{0}^{R}{Edr=-}\int\limits_{0}^{R}{\frac{\rho \cdot r}{2\cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}}dr=-\frac{\rho }{2\cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}}\cdot \left. \frac{{{r}^{1+1}}}{1+1} \right|_{0}^{R}}=-\frac{\rho \cdot {{R}^{2}}}{4\cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}}. \]
Определим потенциал электрического поля на расстоянии r2 от оси цилиндра, точка находится вне цилиндра (r2 > R).
\[
\begin{align}
  & {{\varphi }_{2}}=\varphi (R)-\int\limits_{R}^{{{r}_{2}}}{Edr=}-\frac{\rho \cdot {{R}^{2}}}{4\cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}}-\int\limits_{R}^{{{r}_{2}}}{\frac{\rho \cdot {{R}^{2}}}{2\cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot r}dr=-\frac{\rho \cdot {{R}^{2}}}{4\cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}}-\frac{\rho \cdot {{R}^{2}}}{2\cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}}}\cdot \ln \frac{{{r}_{2}}}{R}. \\
 & {{\varphi }_{2}}=-\frac{\rho \cdot {{R}^{2}}}{4\cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}}\cdot (1+2\cdot \ln \frac{{{r}_{2}}}{R}). \\
 & {{\varphi }_{2}}=-\frac{6,7\cdot {{10}^{-4}}\cdot {{(6\cdot {{10}^{-2}})}^{2}}}{4\cdot 1\cdot 8,85\cdot {{10}^{-12}}}\cdot (1+2\cdot ln\frac{10\cdot {{10}^{-2}}}{6\cdot {{10}^{-2}}})=-0,138\cdot {{10}^{6}}. \\
\end{align}
 \]
Определим разность потенциалов между этими точками
φ1 – φ2 = -0,07∙106 + 0,138∙106 = 0,068∙106 В.
Ответ: 0,142 МВ/м, 1,36 МВ/м, 0,068 МВ.
« Последнее редактирование: 15 Сентябрь 2019, 06:21 от alsak »