Автор Тема: 3. Движение по окружности. Криволинейное движение  (Прочитано 115997 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн Сергей

  • Ольховцы
  • Старожил
  • *
  • Сообщений: 304
  • Рейтинг: +0/-0
В1.10 Два тела одновременно брошены из одной точки. Модуль начальной скорости первого тела υ01 = 10м/с и направлен вертикально вверх, второго — υ02 = 20 м/с и направлен под углом α = 30° к горизонту. Через промежуток времени t = 1,0с после начала движения расстояние между телами составит ... м.

Решение. Выберем систему координат с началом в точке бросания тел. Ось Оу направим вертикально вверх, ось Ох горизонтально, куда брошено второе тело. За начало отсчета примем момент броска. Первое тело движется равноускорено вдоль оси Оу. В момент времени t, его координата h1 будет равна
 \[ {{h}_{1}}={{\upsilon }_{01}}\cdot t-\frac{g\cdot {{t}^{2}}}{2} \]
Второе тело движется вдоль оси Ох равномерно и вдоль оси Оу равноускорено. В момент времени t его координаты
 \[ l={{\upsilon }_{02}}\cdot \cos \alpha \cdot t;\,\,\,\,{{h}_{2}}={{\upsilon }_{02}}\cdot \sin \alpha \cdot t-\frac{g\cdot {{t}^{2}}}{2} \]
Из рисунка видно, что
 \[ S=\sqrt{{{l}^{2}}+{{\left( {{h}_{1}}-{{h}_{2}} \right)}^{2}}} \]
Если заметить, что υ02·sinα = υ01, то h1 = h2 и можно сразу записать
S = l = υ02·cosα·t
Ответ: 17 м

Форум сайта alsak.ru


Оффлайн Сергей

  • Ольховцы
  • Старожил
  • *
  • Сообщений: 304
  • Рейтинг: +0/-0
В2.1 Две точки с постоянными по модулю скоростями движутся по ок-ружности. Первая точка, двигаясь по часовой стрелке, делает один оборот за время Т1 =3,0 с, вторая точка, двигаясь против часовой стрелки, делает один оборот за Т2 = 1,0 с. Время между двумя последовательными встречами точек составляет ... с.

Решение. Будем считать, что первое тело неподвижно. Так как тела движутся навстречу друг другу, то скорость υ12 второго тела относительно первого равна
υ12 = υ1 + υ2
За время t второе тело пройдет путь l и встретится с неподвижным первым телом. Следовательно
 \[ t=\frac{l}{{{\upsilon }_{1}}+{{\upsilon }_{2}}}=\frac{l}{\frac{l}{{{T}_{1}}}+\frac{l}{{{T}_{2}}}}=\frac{{{T}_{1}}{{T}_{2}}}{{{T}_{1}}+{{T}_{2}}} \]
Ответ: 0,75 с

Оффлайн Сергей

  • Ольховцы
  • Старожил
  • *
  • Сообщений: 304
  • Рейтинг: +0/-0
В2.2 Цилиндр радиусом R = 100 мм зажат между рейками, движущимися без проскальзывания со скоростями, модули которых υ1 = 120 мм/с и υ2 = 80,0 мм/с. Скорости направлены параллельно рейкам (рис. 3.4). Угловая скорость вращения цилиндра равна ... рад/с.

Решение приведенное в сборнике
Проекция скорости точки А на ось х
υ1 = υпост + ω·R
где υпост – модуль поступательной скорости цилиндра (рис 2). Проекция скорости точки В на ось х:
1 = υпост - ω·R
Отсюда
 \[ \omega =\frac{{{\upsilon }_{1}}+{{\upsilon }_{2}}}{2\cdot R} \]
Ответ: 1
« Последнее редактирование: 09 Февраль 2014, 21:00 от Сергей »

Оффлайн Сергей

  • Ольховцы
  • Старожил
  • *
  • Сообщений: 304
  • Рейтинг: +0/-0
В2.3 Точка движется по окружности с постоянной по модулю скоростью υ = 15 м/с. Вектор скорости изменяет направлении на угол α = 60°за время t = 3,0 с. Модуль центростремительного ускорения точки равен ... м/с2.

Решение. Модуль центростремительного ускорения
\[  a=\frac{{{\upsilon }^{2}}}{R}\,\, \]
Линейная и угловая скорости связаны следующим соотношением
υ = ω·R
При движении по окружности, скорость изменяется по направлению и направлена по касательной к траектории движения. Тогда
 \[ \omega =\frac{\varphi }{t}=\frac{\pi }{3\cdot t} \]
Выразим из второго уравнения радиус R и подставим в первое
 \[ a=\frac{{{\upsilon }^{2}}}{R}=\frac{{{\upsilon }^{2}}}{\frac{\upsilon }{\omega }}=\upsilon \cdot \omega =\frac{\upsilon \cdot \pi }{3\cdot t} \]
ответ: 5,2 м/с2

Оффлайн Сергей

  • Ольховцы
  • Старожил
  • *
  • Сообщений: 304
  • Рейтинг: +0/-0
В2.4 Диск радиусом R = 2,0 м равномерно вращается относительно оси, проходящей через его центр перпендикулярно к поверхности диска. Максимальное расстояние, на котором могут быть расположены друг от друга две точки диска, если отношение модулей их линейных скоростей п = 2, составляет ... м.

Решение. Отношение модулей линейных скоростей
\[ \frac{{{\upsilon }_{1}}}{{{\upsilon }_{2}}}=\frac{\omega \cdot {{R}_{1}}}{\omega \cdot {{R}_{2}}}=\frac{{{R}_{1}}}{{{R}_{2}}}=2 \]
Если первая точка выбрана, то вторая находится на противоположной половине диаметра. Расстояние между точками
L = R1 + R2 = 1,5·R1
Выберем положение первой точки на краю диска. Тогда
R1 = R; Lmax = 1,5·R
ответ: 3 м

Оффлайн Сергей

  • Ольховцы
  • Старожил
  • *
  • Сообщений: 304
  • Рейтинг: +0/-0
В2.5 По окружности радиусом R = 2,0 м одновременно движутся две точки так, что законы их движения имеют вид: φ1 = 2,0+ 2,0t и φ2 = -3,0-4,0·t (рад). Модуль относительной скорости точек в момент их встречи равен ... м/с.

Решение. Модули линейных скоростей точек равны
υ1 = ω1·R, υ2 = ω2·R
и направлены противоположно. Модуль их относительной скорости
│υot│=│υ1│+│υ2
Угловая скорость – это первая производная от φ, т.е.
 \[ \varphi _{1}^{'}={{\omega }_{1}}=2;\,\,\,\varphi _{2}^{'}={{\omega }_{2}}=-4 \]
Ответ: 12 м/с

Оффлайн Сергей

  • Ольховцы
  • Старожил
  • *
  • Сообщений: 304
  • Рейтинг: +0/-0
В2.6 Тело, брошенное горизонтально со скоростью, модуль которой υ0 =5,0 м/с, с высоты h = 5,0 м, за время своего падения совершит перемещение, модуль которого ... м.

Решение. Точку, из которой брошено тело, примем за начало координат. Ось Оу направим вертикально вниз, ось Ох – горизонтально. В этой системе координат движение тела можно представить как результат сложения равномерного движения в горизонтальном направлении и равноускоренного движения вдоль оси Оу с ускорением g без начальной скорости. Выпишем начальные условия: х0 = 0, у0 = 0, υ = υ0, υ = 0. Уравнения, определяющие зависимость координат от времени, запишутся так:
x = υ0·t;  y = g·t2/2
В момент падения тела x= l, y = h. Тогда
\[ \Delta r=\sqrt{{{l}^{2}}+{{h}^{2}}}=\sqrt{\upsilon _{0}^{2}\cdot {{t}^{2}}+{{h}^{2}}}=\sqrt{h\cdot \left( \frac{2\cdot \upsilon _{0}^{2}}{g}+h \right)} \]
ответ: 7,1 м

Оффлайн Сергей

  • Ольховцы
  • Старожил
  • *
  • Сообщений: 304
  • Рейтинг: +0/-0
В2.7 Камень брошен горизонтально со склона горы, образующего угол α = 45° с горизонтом. Если камень упал на склон на расстоянии l = 50 м от точки бросания, то модуль его начальной скорости составляет ... м/с.

Решение.  В выбранной системе координат υ = υ0·cosα, υ0y = υ0·sinα, υ = gx = g·sinα, gy = -g·cosα
Уравнения движения в проекциях на оси координат
\[ \begin{align}
  & x={{\upsilon }_{0}}\cdot \cos \alpha \cdot t+\frac{g\cdot \sin \alpha \cdot {{t}^{2}}}{2} \\
 & y={{\upsilon }_{0}}\cdot \sin \alpha \cdot t-\frac{g\cdot \cos \alpha \cdot {{t}^{2}}}{2} \\
\end{align} \]
В момент падения камня у = 0, x = l. Вы разим из второго уравнения время t

\[ t=\frac{2\cdot {{\upsilon }_{0}}\cdot \sin \alpha }{g\cdot \cos \alpha }=\frac{2\cdot {{\upsilon }_{0}}}{g}\cdot tg\alpha  \]
С учетом этого найдем υ0 из первого уравнения
\[ {{\upsilon }_{0}}=\sqrt{\frac{g\cdot l}{2\cdot \left( \cos \alpha \cdot tg\alpha +\sin \alpha \cdot t{{g}^{2}}\alpha  \right)}} \]
Ответ: 13 м/с

Оффлайн Сергей

  • Ольховцы
  • Старожил
  • *
  • Сообщений: 304
  • Рейтинг: +0/-0
В2.8 Мячик бросили с некоторой высоты h под углом α = 30° к горизонту. Чтобы мячик достиг максимальной высоты над поверхностью земли, равной 2h, и упал на землю через время t = 4,0 с после броска, модуль его начальной скорости должен составить ... м/с.

Решение. В точке А проекция скорости на ось Оу
υ0 = υ0·sinα -g·t1 = 0
Определим время t1, за которое мячик достигнет высоты h
\[ {{t}_{1}}=\frac{{{\upsilon }_{0}}\cdot \sin \alpha }{g} \]
Высота подъема
\[ h=\frac{\upsilon _{0}^{2}\cdot {{\sin }^{2}}\alpha }{2\cdot g}\,\,\,(1) \]
Теперь рассмотрим движение мячика с высоты 2h.
\[ 2\cdot h=\frac{g\cdot t_{2}^{2}}{2};\,\,\,\,{{t}_{2}}=\sqrt{\frac{4\cdot h}{g}} \]
Общее время движения t и начальная скорость υ0
\[ \begin{align}
  & t={{t}_{1}}+{{t}_{2}}=\frac{{{\upsilon }_{0}}\cdot \sin \alpha }{g}+\sqrt{\frac{4\cdot h}{g}} \\
 & \,\,\,\,\,\,{{\upsilon }_{0}}=\frac{g\cdot \left( t-\sqrt{\frac{4\cdot h}{g}} \right)}{\sin \alpha } \\
\end{align} \]
С учетом (1)
\[ {{\upsilon }_{0}}=\frac{g\cdot t}{\left( \sqrt{2}+1 \right)\cdot \sin \alpha } \]
Ответ: 33 м/с

Оффлайн Сергей

  • Ольховцы
  • Старожил
  • *
  • Сообщений: 304
  • Рейтинг: +0/-0
В2.9 Два шара выброшены одновременно из одной точки с некоторой высоты со скоростями υ01 = υ02 = 10 м/с, которые направлены под углом α = 120° друг к другу. Расстояние между шарами через время t = 2,0 с после начала движения составит ... м.

Решение. Вдоль оси Ох движение тел равномерное, вдоль оси Оу – равноускоренное.  Тогда
\[ x={{\upsilon }_{0}}\cdot \cos {{\alpha }_{0}}\cdot t;\,\,\,\,\,\,y={{\upsilon }_{0}}\cdot \sin {{\alpha }_{0}}\cdot t-\frac{g\cdot {{t}^{2}}}{2} \]
Из рисунка видно, что α0 = 30°, Скорости тел равны по условию, тогда искомое расстояние S = 2·l
В момент времени t координата х = l
S = 2·(υ0·cosα0·t)
Ответ: 35 м

Замечания к задаче см. здесь. и здесь.
« Последнее редактирование: 27 Апрель 2014, 06:20 от alsak »