Автор Тема: Магнитное поле из сборника Савченко Н.Е.  (Прочитано 53395 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Kivir

  • Гость
Re: Магнитное поле из сборника Савченко Н.Е.
« Ответ #20 : 06 Август 2012, 12:21 »
696. Жесткая проводящая рамка квадратной формы лежит на горизонтальной поверхности и находится в магнитном поле, силовые линии которого параллельны двум сторонам рамки. Масса рамки m = 20 г, длина её стороны a = 4 см, магнитная индукция B = 0,5 Тл. Какой силы постоянный ток нужно пропускать по рамке, чтобы одна из её сторон начала приподниматься?
Решение: пусть одна сторона рамки станет осью вращения OO1, на вторую сторону действует сила Ампера F, направление которой определено по правилу левой руки (см. рис.) На рамку действует ещё сила тяжести mg, направленная вниз и приложена к геометрическому центру рамки (считаем рамку однородной). Пусть сила тока такова, что сторона рамки начинает приподниматься. Запишем правило моментов относительно оси OO1:
\[ F\cdot a-mg\cdot \frac{a}{2}=0. \]
Модуль силы Ампера определяется по формуле:
\[ F=I\cdot B\cdot l\cdot \sin \alpha. \]
В нашем случае: l = a, α = 90º. Тогда из правила моментов получаем:
\[ \begin{array}{l} {I\cdot B\cdot a=\frac{mg}{2},} \\ {I=\frac{mg}{2\cdot B\cdot a}.} \end{array}  \]
Ответ: 5 А.

Форум сайта alsak.ru

Re: Магнитное поле из сборника Савченко Н.Е.
« Ответ #20 : 06 Август 2012, 12:21 »

djek

  • Гость
Re: Магнитное поле из сборника Савченко Н.Е.
« Ответ #21 : 13 Август 2012, 16:09 »
697. Проводник длиной l = 10 см, по которому идет ток силой I = 15 А, перемещается в однородном магнитном поле с индукцией В = 0,50 Тл на расстояние s = 20 см. Определить максимальную работу, которая совершается при перемещении проводника. Как при этом должен двигаться проводник?
Решение.
На проводник с током со стороны магнитного поля действует сила Ампера, модуль которой равен
FA = B·I·l·sinα1
где I – сила тока в проводнике, l – длинна проводника, находящегося в магнитном поле, B – модуль индукции магнитного поля, α1 – угол, образованный проводником и вектором магнитной индукции.
Работой A, совершаемой постоянной силой называется физическая величина, равная произведению модулей силы и перемещения, умноженному на косинус угла α между векторами силы и перемещения.
A = F·s·cosα
Тогда
A = B·I·l·sinα1·s·cosα.
Работа будет максимальной, если sinα1 = 1 и cosα = 1.
Значит, проводник должен двигаться перпендикулярно к линиям индукции магнитного поля и в направлении действия силы.
Am = B·I·l·s.
« Последнее редактирование: 13 Август 2012, 16:11 от djek »

djek

  • Гость
Re: Магнитное поле из сборника Савченко Н.Е.
« Ответ #22 : 13 Август 2012, 16:53 »
698. Электрон движется по окружности радиуса R = 10 мм в магнитном поле с индукцией В = 0,02 Тл. Какова кинетическая энергия электрона? Заряд электрона е = 1,6·10-19 Кл, масса электрона mе = 9,1·10-31 кг.
Решение.
Кинетическую энергию электрона можно рассчитать по формуле
\[ {{E}_{k}}=\frac{{{m}_{e}}\cdot {{\upsilon }^{2}}}{2} \]
Неизвестной величиной является скорость электрона. Определим ее из соображений, что электрон будет двигаться в магнитном поле под действием силы Лоренца по окружности, если его скорость лежит в плоскости, перпендикулярной вектору магнитной индукции. Сила Лоренца сообщает электрону центростремительное ускорение. По второму закону Ньютона
\[ \begin{align}
  & F={{m}_{e}}\cdot a \\
 & B\cdot e\cdot \upsilon ={{m}_{e}}\cdot \frac{{{\upsilon }^{2}}}{R} \\
 & \upsilon =\frac{R\cdot B\cdot e}{{{m}_{e}}} \\
 & {{E}_{k}}=\frac{{{m}_{e}}\cdot {{\upsilon }^{2}}}{2}=\frac{{{R}^{2}}\cdot {{B}^{2}}\cdot {{e}^{2}}}{2\cdot {{m}_{e}}} \\
\end{align}
 \]

Kivir

  • Гость
Re: Магнитное поле из сборника Савченко Н.Е.
« Ответ #23 : 21 Январь 2013, 19:59 »
699.Электрон влетает в плоский горизонтальный конденсатор параллельно его пластинам со скоростью υ0 = 2∙107 м/с. Длина конденсатора l = 10 см, напряжённость электростатического поля конденсатора E = 200 В/см. При вылете из конденсатора электрон попадает в магнитное поле, линии которого перпендикулярны силовым линиям электростатического поля. Магнитная индукция поля B = 2∙10-2 Тл. Найти радиус винтовой траектории электрона в магнитном поле.
Решение: пусть нижняя пластина конденсатора заряжена положительно (см. рис.). Силовые линии электростатического поля направлены вертикально вверх. В этом случае электрон, пролетая конденсатор, отклонится немного вниз. Вылетев из конденсатора, частица попадает в магнитное поле и движется по винтовой траектории (по условию). Тогда силовые линии магнитного поля направлены горизонтально (пусть совпадают по направлению с вектором начальной скорости электрона) – только в этом случае электрон влетит в магнитное поле под острым углом к силовым линиям и будет двигаться по винтовой линии. (Силовые линии магнитного поля могут ещё иметь направление перпендикулярное плоскости рисунка, «от нас» или «к нам».Но в этом случае электрон вылетит из конденсатора перпендикулярно силовым линиям и будет далее двигаться по окружности, что не подходит по условию задачи). Пусть начало координат находится в точке влёта, ось OX направлена горизонтально, OY – вертикально вниз (см. рис.).В этой системе координат движение электрона можно представить как результат сложения двух движений: равномерного движения со скоростью υ0 вдоль оси OX и равноускоренного движения с ускорением a вдоль оси OY.  Наличие ускорения объясняется тем, что в этом направлении на электрон действует сила со стороны электростатического поля конденсатора: F = e∙E, где e = 1,6∙10-19 Кл – заряд электрона (силой тяжести можно пренебречь). Модуль ускорения определим из второго закона Ньютона
\[ \begin{array}{l} {F=m\cdot a,e\cdot E=m\cdot a,} \\ {a=\frac{e\cdot E}{m} ,} \end{array} \]
где m = 9,1∙10-31 кг – масса электрона. В момент вылета модуль скорости электрона будет равен υ, и скорость будет направлена под углом α к силовым линиям магнитного поля.Проекцию скорости на ось OY определим из кинематического уравнения зависимости скорости от времени
\[ \upsilon _{y} =\upsilon _{0y} +a_{y} \cdot t, \]
где υ0y = 0, ay = a. Время движения электрона t внутри конденсатора легко определить т.к. вдоль пластин конденсатора (вдоль OX) электрон движется равномерно, тогда t = l0, и проекция скорости на OY
\[ \upsilon _{y} =a\cdot t=\frac{e\cdot E}{m} \cdot \frac{l}{\upsilon _{0}}. \]
После пролёта конденсатора электрон попадает в горизонтальное магнитное поле. На частицу будет действовать сила Лоренца
Fl = e∙υyB,
обусловленная наличием вертикальной составляющей скорости υy, вследствие этого частица будет двигаться по окружности: сила Лоренца перпендикулярна скорости электрона, поэтому сообщает ему центростремительное ускорение (одновременно с движением по окружности, частица движется вдоль поля со скоростью υ0 – в итоге – движение по винтовой линии).Радиус этой окружности определим, составив уравнение на основании второго закона Ньютона:
\[ \begin{array}{l} {F_{l} =m\cdot a_{c} ,e\cdot \upsilon _{y} \cdot B=m\cdot \frac{\upsilon _{y}^{2} }{R} ,} \\ {R=\frac{m}{e\cdot B} \cdot \upsilon _{y} =\frac{m}{e\cdot B} \cdot \frac{e\cdot E}{m} \cdot \frac{l}{\upsilon _{0} } ,} \\ {R=\frac{E\cdot l}{\upsilon _{0} \cdot B} .} \end{array} \]
Ответ: 5 мм.

Kivir

  • Гость
Re: Магнитное поле из сборника Савченко Н.Е.
« Ответ #24 : 21 Январь 2013, 20:02 »
700. Заряженная частица, ускоренная разностью потенциалов U = 200 В, влетела в точке 1 (рис. 234) в однородное магнитное поле с индукцией B = 4 ∙ 10–3 Тл, перпендикулярной скорости частицы, и вылетела в точке 2. Расстояние l между точками 1 и 2  равно 1 м. Найти отношение заряда частицы к её массе.
Решение:найдём скорость заряженной частицы, при вылете из электрического поля. Работа сил эклектического поля равна изменению кинетической энергии частицы (начальную скорость частицы считаем равной нулю)
\[ \begin{array}{l} {A=\Delta E_{k} =E_{k} ,} \\ {q\cdot U=\frac{m\cdot \upsilon ^{2} }{2} ,} \\ {\upsilon =\sqrt{\frac{2q\cdot U}{m} } ,} \end{array} \]
где q – заряд частицы, m  - масса.
В магнитном поле на частицу действует сила Лоренца, модуль которой
\[ F=q\cdot \upsilon \cdot B. \]
Сила Лоренца перпендикулярна скорости электрона, поэтому сообщает ему центростремительное ускорение. Запишем второй закона Ньютона:
\[ \begin{array}{l} {F=m\cdot a_{c} ,} \\ {q\cdot \upsilon \cdot B=m\cdot \frac{\upsilon ^{2}}{R},} \\ {R\cdot q\cdot B=m\cdot \upsilon .} \end{array} \]
Как видно из рисунка, расстояние между точками 1 и 2 равно диаметру окружности, т.е. l = 2R, тогда подставив R и υ, получим
\[ \begin{array}{l} {\frac{l}{2} \cdot q\cdot B=m\cdot \sqrt{\frac{2q\cdot U}{m} } ,} \\ {l^{2} \cdot q^{2} \cdot B^{2} =8\cdot q\cdot U\cdot m,} \\ {\frac{q}{m} =\frac{8\cdot U}{l^{2} \cdot B^{2}}.} \end{array} \]
Ответ: 1 ∙ 108 Кл/кг.

Kivir

  • Гость
Re: Магнитное поле из сборника Савченко Н.Е.
« Ответ #25 : 21 Январь 2013, 20:06 »
701. Однородное магнитное поле с индукцией B создано в полосе шириной d (рис. 235). Пучок электронов направляется перпендикулярно полосе и линиям магнитной индукции. При каких скоростях электроны не пролетят на другую сторону полосы («отразятся» от «магнитной стенки»)? Заряд электрона e, его масса me.
Решение: в магнитном поле на частицу действует сила Лоренца, модуль которой (скорость электронов перпендикулярна индукции магнитного поля)
\[ F=q\cdot \upsilon \cdot B=e\cdot \upsilon \cdot B. \]
Сила Лоренца перпендикулярна скорости электрона, поэтому сообщает ему центростремительное ускорение. Из второго закона Ньютона получим
\[ \begin{array}{l} {F=m\cdot a_{c} ,} \\ {e\cdot \upsilon \cdot B=m_{e} \cdot \frac{\upsilon ^{2} }{R} ,} \\ {R=\frac{m_{e} \cdot \upsilon }{e\cdot B}.} \end{array} \]
Чтобы электроны не вылетели из полосы радиус траектории их движения (радиус окружности) не должен превысить ширину полосы, т.е.  R ≤ d.
Это будет выполнено при скоростях
\[ \begin{array}{l} {\frac{m_{e} \cdot \upsilon }{e\cdot B} \le d,} \\ {\upsilon \le \frac{d\cdot e\cdot B}{m_{e}}.} \end{array} \]

Kivir

  • Гость
Re: Магнитное поле из сборника Савченко Н.Е.
« Ответ #26 : 21 Январь 2013, 21:25 »
702. Заряженная частица влетает в однородное магнитное поле под углом α = 45º к линиям магнитной индукции и движется по винтовой линии с шагом h = 20 мм. Магнитная индукция поля B= 1 ∙ 10–2 Тл, заряд частицы q = 1,6 ∙ 10–19 Кл. Определить импульс частицы.
Решение: разложим вектор скорости на две составляющие (см. рис.): υ1 – направленную вдоль линий магнитной индукции и υ2, перпендикулярную этим линиям. Модули этих составляющих: υ1 = υ∙cosα, υ2 = υ∙sinα соответственно. На частицу действует сила Лоренца, вследствие чего частица движется по окружности в плоскости, перпендикулярной магнитному полю. Период обращения частицы по окружности:
\[ T=\frac{2\pi \cdot R}{\upsilon _{2}}, \]
где R – радиус окружности, который легко определить, составив уравнение на основании второго закона Ньютона:
\[ \begin{array}{l} {F=m\cdot a_{c} ,q\cdot \upsilon _{2} \cdot B=m\cdot \frac{\upsilon _{2}^{2} }{R} ,} \\ {R=\frac{m\cdot \upsilon _{2} }{q\cdot B} =\frac{m\cdot \upsilon \cdot \sin \alpha }{q\cdot B} .\left(*\right)} \end{array}  \]
Таким образом, период вращения
\[ T=\frac{2\pi \cdot m}{q\cdot B} .\left(**\right) \]
При этом частица движется равномерно (со скоростью υ1) вдоль поля, и за один оборот смещается на расстояние (шаг винтовой линии):
\[ h=\upsilon _{1} \cdot T=m\cdot \upsilon \cdot \cos \alpha \cdot \frac{2\pi }{q\cdot B} .\left(***\right) \]
Т.е. траекторией движения частицы является винтовая линия радиуса R, шагом h, по которой частица движется с периодом вращения T.
Учтём, что модуль импульса это произведение массы на скорость (p = m∙υ):
\[ \begin{array}{l} {h=\upsilon _{1} \cdot T=p\cdot \cos \alpha \cdot \frac{2\pi }{q\cdot B} ,} \\ {p=\frac{h\cdot q\cdot B}{2\pi \cdot \cos \alpha }.} \end{array} \]
Ответ: 7,2 ∙10–24 кг∙м/с.

Kivir

  • Гость
Re: Магнитное поле из сборника Савченко Н.Е.
« Ответ #27 : 21 Январь 2013, 21:31 »
703. Электрон влетает в однородное магнитное поле со скоростью υ = 2 ∙105 м/с, которая составляет с вектором магнитной индукции B угол α = 60º. При каком наименьшем значении индукции магнитного поля электрон сможет оказаться в точке, лежащей на той же линии магнитной индукции на расстоянии L = 2 см от начальной точки? Отношение заряда электрона к его массе e / me = 1,76 ∙1011 Кл/кг.
Решение: заряженная частица, влетающая в магнитное поле под острым углом к вектору магнитной индукции, будет двигаться в нём по винтовой линии, «навиваясь» на линии магнитной индукции. Формулы для расчёта периода вращения частицы, радиуса винтовой линии и шага выведены в решении задачи №702 (формулы (*), (**), (***)).
Чтобы электрон оказался в точке, лежащей на той же линии магнитной индукции, шаг винтовой линии h, должен быть равен расстоянию до этой точки L (h = L), т.е. за время одного оборота частица сместится на L. Только в этом случае индукция магнитного поля будет минимальной (при большем значении  магнитной индукции расстояние L может включать несколько шагов h винтовой линии). Шаг винтовой линии, с учётом, что заряд электрона e, его масса me:
\[ h=m_{e} \cdot \upsilon \cdot \cos \alpha \cdot \frac{2\pi }{e\cdot B}. \]
Откуда минимальная индукция магнитного поля
\[ B=\frac{2\pi \cdot \upsilon \cdot \cos \alpha }{\frac{e}{m_{e} } \cdot L} . \]
Ответ: 1,78 ∙10-4 ≈ 2 ∙10–4 Тл.
« Последнее редактирование: 21 Январь 2013, 21:36 от kivir »

Kivir

  • Гость
Re: Магнитное поле из сборника Савченко Н.Е.
« Ответ #28 : 21 Январь 2013, 21:42 »
704. Протон влетает в однородное магнитное поле с индукцией B = 0,40 Тл под углом α = 30º к направлению вектора B и движется по винтовой линии радиуса R = 0,50 см. Найти кинетическую энергию протона. Масса протона m = 1,67 ∙ 10–27 кг, заряд протона q = 1,6 ∙ 10–19 Кл.
Решение: заряженная частица, влетающая в магнитное поле под острым углом к вектору магнитной индукции, будет двигаться в нём по винтовой линии, «навиваясь» на линии магнитной индукции. Формулы для расчёта периода вращения частицы, радиуса винтовой линии и шага выведены в решении задачи №702 (формулы (*), (**), (***)). Воспользуемся формулой для радиуса винтовой линии, выразим скорость протона
\[ \begin{array}{l} {R=\frac{m\cdot \upsilon \cdot \sin \alpha }{q\cdot B} ,} \\ {\upsilon =\frac{R\cdot q\cdot B}{m\cdot \sin \alpha }.} \end{array} \]
Подставив полученное выражение для скорости в формулу кинетической энергии, получим ответ
\[ \begin{array}{l} {E_{k} =\frac{m\cdot \upsilon ^{2} }{2} ,} \\ {E_{k} =\frac{R^{2} \cdot q^{2} \cdot B^{2} }{2m\cdot \sin ^{2} \alpha } .} \end{array} \]
Ответ:1,2 ∙ 10–16 Дж.

Kivir

  • Гость
Re: Магнитное поле из сборника Савченко Н.Е.
« Ответ #29 : 21 Январь 2013, 21:46 »
705. Электрон влетает в однородное магнитное поле со скоростью υ = 400 км/с, под углом α = 60º  к вектору магнитной индукции B, модуль которого  B = 1 ∙ 10–3 Тл. Сколько витков опишет электрон вдоль магнитного поля на расстоянии r = 2 м? Отношение заряда электрона к его массе e / me = 1,76 ∙1011Кл/кг.
Решение: заряженная частица, влетающая в магнитное поле под острым углом к вектору магнитной индукции, будет двигаться в нём по винтовой линии. Формулы для расчёта периода вращения частицы, радиуса винтовой линии и шага выведены в решении задачи №702 (формулы (*), (**), (***)).Шаг винтовой линии, с учётом, что заряд электрона e, его масса me:
\[ h=m_{e} \cdot \upsilon \cdot \cos \alpha \cdot \frac{2\pi }{e\cdot B}. \]
Шаг винтовой линии h – расстояние, на которое смещается частица за один оборот. Таким образом, количество оборотов N можно определить, как отношение расстояния r к шагу h, т.е.
\[ N=\frac{r}{h} =\frac{r\cdot \frac{e}{m_{e} } \cdot B}{2\pi \cdot \upsilon \cdot \cos \alpha }. \]
Ответ:  280 ≈ 3 ∙ 102.
« Последнее редактирование: 21 Январь 2013, 21:48 от kivir »