Автор Тема: По проводнику, согнутому в виде прямоугольника  (Прочитано 155 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн Антон Огурцевич

  • Наблюдатель
  • Ветеран
  • *
  • Сообщений: 2238
  • Рейтинг: +5/-0
  • Пространство переходит во время, как тело в душу.
По проводнику, согнутому в виде прямоугольника со сторонами a = 10 см и b = 20 см, течёт ток силой I = 40 А. Определить напряжённость H и индукцию B магнитного поля в точке пересечения диагоналей прямоугольника. Сделать рисунок.

Форум сайта alsak.ru


Оффлайн Сергей

  • Наблюдатель
  • Ветеран
  • *
  • Сообщений: 2081
  • Рейтинг: +0/-0
Решение.
Для решения задачи необходимы: μ0 = 4∙π⋅10-7 Гн/м − магнитная постоянная. 
Рассмотрим четыре участка, АВ, ВС, СD, DА.
Направление вектора магнитной индукции на каждом участке определим по правилу буравчика. В точке О результирующий вектор магнитной индукции направлен от нас. Применим принцип суперпозиции (рис 1).
\[ \begin{align}
  & \vec{B}={{{\vec{B}}}_{AB}}+{{{\vec{B}}}_{BC}}+{{{\vec{B}}}_{CD}}+{{{\vec{B}}}_{DA}},\  \\
 & Ox:\ B={{B}_{AB}}+{{B}_{BC}}+{{B}_{CD}}+{{B}_{DA}},{{B}_{AB}}={{B}_{CD}},{{B}_{BC}}={{B}_{DA}}, \\
 & B=2\cdot {{B}_{AB}}+2\cdot {{B}_{BC}}\ (1). \\
\end{align} \]
Индукция магнитного поля в произвольной точке О, созданного отрезком проводника с током конечной длины, определим используя закон Био -  Савара -  Лапласа.
\begin{align}
  & dB=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot I}{4\cdot \pi \cdot R}\cdot \sin \alpha d\alpha ,\ B=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot I}{4\cdot \pi \cdot R}\cdot \int\limits_{{{\alpha }_{1}}}^{{{\alpha }_{2}}}{\sin \alpha d\alpha =-\frac{{{\mu }_{0}}\cdot I}{4\cdot \pi \cdot R}\cdot \left. cos\alpha  \right|_{{{\alpha }_{1}}}^{{{\alpha }_{2}}}=-\frac{{{\mu }_{0}}\cdot I}{4\cdot \pi \cdot R}\cdot }(\cos {{\alpha }_{2}}-\cos {{\alpha }_{1}}), \\
 & B=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot I}{4\cdot \pi \cdot R}\cdot (\cos {{\alpha }_{1}}-\cos {{\alpha }_{2}})\ \ \ (3). \\
\end{align}
Где: R - расстояние от т. О до проводника; – α1 и α2 углы, образованные радиус-вектором, проведенном в т. О соответственно из начала и конца проводника, с направлением тока.
Определим углы α1, α2, α3 и α4 (рис 2).
АВ = DС = 0,1 м, ВС = АD = 0,2 м.
\[ \begin{align}
  & A{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}},AC=\sqrt{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}, \\
 & \cos {{\alpha }_{1}}=\frac{AB}{AC},\cos {{\alpha }_{1}}=\frac{AB}{\sqrt{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}},\cos {{\alpha }_{3}}=\frac{BC}{AC},\cos {{\alpha }_{3}}=\frac{BC}{\sqrt{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}}, \\
 & cos{{\alpha }_{2}}=\cos (\frac{\pi }{2}+{{\alpha }_{3}})=-\sin {{\alpha }_{3}},\sin {{\alpha }_{3}}=\frac{AB}{\sqrt{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}},cos{{\alpha }_{2}}=-\frac{AB}{\sqrt{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}}, \\
 & \cos {{\alpha }_{4}}=\cos (\frac{\pi }{2}+{{\alpha }_{1}})=-\sin {{\alpha }_{1}},\sin {{\alpha }_{1}}=\frac{BC}{\sqrt{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}},cos{{\alpha }_{4}}=-\frac{BC}{\sqrt{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}}. \\
\end{align}
 \]
Определим модуль вектора магнитной индукции на участке АВ и ВС.
\[ \begin{align}
  & {{B}_{AB}}=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot I}{4\cdot \pi \cdot \frac{1}{2}\cdot BC}\cdot (\cos {{\alpha }_{1}}-\cos {{\alpha }_{2}})\ ,\ {{B}_{AB}}=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot I}{4\cdot \pi \cdot \frac{1}{2}\cdot BC}\cdot (\frac{AB}{\sqrt{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}}-(-\frac{AB}{\sqrt{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}}),\  \\
 & {{B}_{AB}}=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot I}{4\cdot \pi \cdot \frac{1}{2}\cdot BC}\cdot \frac{2\cdot AB}{\sqrt{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}},\,{{B}_{AB}}=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot I}{\pi \cdot BC}\cdot \frac{AB}{\sqrt{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}}, \\
 & {{B}_{BC}}=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot I}{4\cdot \pi \cdot \frac{1}{2}\cdot AB}\cdot (\cos {{\alpha }_{3}}-\cos {{\alpha }_{4}})\ ,\ {{B}_{BC}}=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot I}{4\cdot \pi \cdot \frac{1}{2}\cdot AB}\cdot (\frac{BC}{\sqrt{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}}-(-\frac{BC}{\sqrt{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}}),\  \\
 & {{B}_{BC}}=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot I}{4\cdot \pi \cdot \frac{1}{2}\cdot AB}\cdot \frac{2\cdot BC}{\sqrt{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}},\,{{B}_{BC}}=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot I}{\pi \cdot AB}\cdot \frac{BC}{\sqrt{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}}, \\
 & B=2\cdot \frac{{{\mu }_{0}}\cdot I}{\pi \cdot BC}\cdot \frac{AB}{\sqrt{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}}+2\cdot \frac{{{\mu }_{0}}\cdot I}{\pi \cdot AB}\cdot \frac{BC}{\sqrt{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}},B=2\cdot \frac{{{\mu }_{0}}\cdot I}{\pi \cdot \sqrt{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}}\cdot (\frac{AB}{BC}+\frac{BC}{AB}), \\
 & B=2\cdot \frac{{{\mu }_{0}}\cdot I}{\pi \cdot \sqrt{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}}\cdot (\frac{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}{BC\cdot AB}),B=2\cdot \frac{{{\mu }_{0}}\cdot I}{\pi }\cdot (\frac{\sqrt{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}}{BC\cdot AB}). \\
 & B=\frac{2\cdot 4\cdot \pi \cdot {{10}^{-7}}\cdot 40}{\pi }\cdot \frac{\sqrt{{{0,1}^{2}}+{{0,2}^{2}}}}{0,1\cdot 0,2}=3577,7\cdot {{10}^{-7}}=357,77\cdot {{10}^{-6}}. \\
\end{align} \]
Магнитная индукция В связана с напряжённостью магнитного поля в однородной среде Н отношением
B = μ∙μ0∙H  (4),
где μ − магнитная проницаемость среды, μ0 = 4π⋅10-7 Гн/м − магнитная постоянная. Для вакуума μ =1.
Выразим из (4) Н:
\[ H=\frac{B}{\mu \cdot {{\mu }_{0}}},H=\frac{357,77\cdot {{10}^{-6}}}{1\cdot 4\cdot 3,14\cdot {{10}^{-7}}}=284,85. \]
Ответ: В = 357,77∙10-6 Тл, Н = 284,85 А/м.
« Последнее редактирование: 13 Октябрь 2018, 06:10 от alsak »