Автор Тема: Тонкий стержень постоянного сечения  (Прочитано 430 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн Антон Огурцевич

  • Наблюдатель
  • Ветеран
  • *
  • Сообщений: 2242
  • Рейтинг: +5/-0
  • Пространство переходит во время, как тело в душу.
8-20. Тонкий стержень постоянного сечения длиной l = 1 м лежит на оси х и его левый конец совпадает с началом координат О. Линейная плотность вещества, из которого сделан стержень, зависит от координаты х по закону 0 = 1 кг/м) ρ = ρ0∙(x/l)2. Рассчитать момент инерции стержня относительно оси у. Сделать рисунок.

Форум сайта alsak.ru


Оффлайн Сергей

  • Наблюдатель
  • Ветеран
  • *
  • Сообщений: 2093
  • Рейтинг: +0/-0
Re: Тонкий стержень постоянного сечения
« Ответ #1 : 10 Август 2018, 20:24 »
Решение.
Определим формулу для вычисления момента инерции однородного стержня, вращающегося относительно оси у, которая проходит перпендикулярно стержню и идет через его один конец.
Выделим в объеме стержня материальную точку (dm), которая находится от оси вращения на расстоянии х. Ее момент инерции равен:
dJ = dm∙х2    (1).
По условию задачи масса стержня распределена по его длине
m = ρ∙l   (2),
ρ - линейная плотность вещества, из которого сделан стержень,
dm = ρdV   (3),
где dV = dх – объем, стержня, который занимает наша материальная точка. Для нахождения момента инерции всего стержня проинтегрируем выражение (1), учитывая (3) и то, что 0 ≤ х ≤ l:
\[ \begin{align}
  & J=\int\limits_{0}^{l}{{{x}^{2}}\cdot \rho dx=}\int\limits_{0}^{l}{{{x}^{2}}\cdot {{\rho }_{0}}\cdot {{(\frac{x}{l})}^{2}}dx=}\frac{1}{{{l}^{2}}}\cdot \int\limits_{0}^{l}{{{x}^{2}}}\cdot {{\rho }_{0}}\cdot {{x}^{2}}dx=\frac{{{\rho }_{0}}}{{{l}^{2}}}\cdot \int\limits_{0}^{l}{{{x}^{4}}}dx=\frac{{{\rho }_{0}}}{{{l}^{2}}}\cdot \frac{1}{5}\cdot \left. {{x}^{5}} \right|_{0}^{l}=\frac{{{l}^{5}}}{{{l}^{2}}}\cdot \frac{{{\rho }_{0}}}{5}=\frac{{{\rho }_{0}}\cdot {{l}^{3}}}{5}. \\
 & J=\frac{1\cdot {{1}^{3}}}{5}=0,2. \\
\end{align} \]
Ответ: 0,2 кг∙м2.
« Последнее редактирование: 19 Август 2018, 07:20 от alsak »