Из шахты глубиной

[Антон Огурцевич]

2. Из шахты глубиной 600 м поднимают клеть массой 3 т на канате, каждый метр которого имеет массу 1,5 кг. Какая работа совершается при подъёме клети на поверхность Земли? Каков КПД подъёмного устройства? Сделать рисунок.

[Сергей]

Решение.
Работа по поднятию клети равна по модулю изменению потенциальной энергии клети и каната. Суммарная потенциальная энергия на глубине 600 м равна нулю.

А = А₁ + А₂   (1).

Клеть принимаем за материальный пункт. Работа A₁ необходимая для поднятия самой клети равна потенциальной энергии поднятой клети:

А₁ = m₁∙g∙h   (2).

Канат имеет массу, в начальный момент подъёма поднимаем весь канат, при завершении подъёма масса каната равна нулю. Работа A₂ поднятия каната линейно зависит от изменения его длины

\[ \begin{align}
  & {{A}_{2}}=\frac{{{m}_{2}}+0}{2}\cdot g\cdot h,{{m}_{2}}=h\cdot {{m}_{0}},{{A}_{2}}=\frac{h\cdot {{m}_{0}}}{2}\cdot g\cdot h(3). \\
 & A={{m}_{1}}\cdot g\cdot h+\frac{h\cdot {{m}_{0}}}{2}\cdot g\cdot h,A=g\cdot h\cdot ({{m}_{1}}+\frac{h\cdot {{m}_{0}}}{2})(4). \\
 & A=10\cdot 6\cdot {{10}^{2}}\cdot (3\cdot {{10}^{3}}+\frac{6\cdot {{10}^{2}}\cdot 1,5}{2})=20,7\cdot {{10}^{6}}. \\
\end{align} \]

КПД подъемного устройства равен отношению полезной работы A₁ к полной работе A:

\[ \begin{align}
  & \eta =\frac{{{A}_{1}}}{A}(5),\eta =\frac{{{m}_{1}}\cdot g\cdot h}{g\cdot h\cdot ({{m}_{1}}+\frac{h\cdot {{m}_{0}}}{2})},\eta =\frac{{{m}_{1}}}{{{m}_{1}}+\frac{h\cdot {{m}_{0}}}{2}}\,(6). \\
 & \eta =\frac{3\cdot {{10}^{3}}}{3\cdot {{10}^{3}}+\frac{6\cdot {{10}^{2}}\cdot 1,5}{2}}=0,87. \\
\end{align}
 \]

Ответ: 20,7∙10⁶ Дж, 87%.