Автор Тема: Колесо вращается так, что зависимость угла поворота от времени  (Прочитано 8928 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн Антон Огурцевич

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 2401
  • Рейтинг: +5/-0
  • Пространство переходит во время, как тело в душу.
101. Колесо вращается так, что зависимость угла поворота от времени определяется уравнением φ = (1 + 2∙t – 2∙t3). Для точек, лежащих на ободе колеса, определить угол, составляемый вектором полного ускорения с радиусом колеса через 2 секунды, если их нормальное ускорение в этот момент равно 200 м/с2. Определить радиус колеса. Построить графики зависимости углового ускорения, угловой скорости и угла поворота от времени. Сделать рисунок.

Оффлайн Сергей

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 2256
  • Рейтинг: +0/-0
Решение.
Первая производная от углового перемещения есть угловая скорость:
\[  \begin{align}
  & \varphi \text{ }=\text{ 1 + 2}\cdot t-2\cdot {{t}^{3}}(1). \\
 & \omega (t)=\varphi {{(t)}^{\prime }}=(\text{1 + 2}\cdot t-2\cdot {{t}^{3}}{)}'=2-6\cdot {{t}^{2}}(2). \\
 & \upsilon =\omega \cdot R(3). \\
 & \omega (2)=\ 2-6\cdot 4=-22.\upsilon =-22\cdot R(4). \\
\end{align} \]
Определим радиус колеса через нормальное ускорение
\[ {{a}_{n}}=\frac{{{\upsilon }^{2}}}{R}\ \ \ (5)\ .{{a}_{n}}=\frac{{{(-22\cdot R)}^{2}}}{R},{{a}_{n}}={{(-22)}^{2}}\cdot R,R=\frac{{{a}_{n}}}{{{(-22)}^{2}}}.R=\frac{200}{{{(-22)}^{2}}}=0,41.
 \]
R = 0,41 м.
Определим угловое ускорение, тангенциальное ускорение и полное ускорение
\[ \begin{align}
  & \varepsilon =\varphi {{(t)}^{\prime \prime }}=(1+2\cdot t-2\cdot {{t}^{3}}{)}''=(2-6\cdot {{t}^{2}})'=-12\cdot t\ \ \ (6). \\
 & {{a}_{\tau }}=R\cdot \varepsilon \,(7). \\
 & {{a}_{\tau }}(2)=0,41\cdot (-12\cdot 2)=-9,84. \\
 & a=\sqrt{a_{n}^{2}+a_{\tau }^{2}}(8).a=\sqrt{{{(-9,84)}^{2}}+{{200}^{2}}}=200,24. \\
\end{align} \]
Угол, составляемый вектором полного ускорения с радиусом колеса в момент времени t = 2 c определим, как косинус угла между нормальным и полным ускорением
\[ \cos \alpha =\frac{{{a}_{n}}}{a}.cos\alpha =\frac{200}{200,24}=0,9988.
 \]
Ответ: 3°, 0,41 м.
φ = (1 + 2∙t – 2∙t3) (рис 1)
ω = 2 - 6∙t2    (рис 2)
ε = -12∙t        (рис 3)
« Последнее редактирование: 25 Февраля 2018, 06:57 от alsak »

 

Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24