Автор Тема: Определите скорость второго шара после удара  (Прочитано 4962 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн Антон Огурцевич

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 2401
  • Рейтинг: +5/-0
  • Пространство переходит во время, как тело в душу.
40. Два шара массами 3 кг и 2 кг подвешены на нитях длиной 1 м. Первоначально шары соприкасаются между собой, затем больший шар отклонили от положения равновесия на угол 60° и отпустили. Считая удар упругим, определите скорость второго шара после удара. Сделать рисунок.

Оффлайн Gala

  • Постоялец
  • ***
  • Сообщений: 97
  • Рейтинг: +0/-0
Систему из двух абсолютно упруго соударяющихся шаров можно считать замкнутой консервативной, в которой выполняются два закона сохранения:
1) закон сохранения импульса и 2) закон сохранения энергии. По закону сохранения импульса, учитывая, что второй шар до удара покоился, имеем: \[ {m_1}\vec \upsilon  = {m_1}{\vec \upsilon _1} + {m_2}{\vec \upsilon _2}. \]
В проекциях на горизонтальную ось х: \[ {m_1}\upsilon  =  - {m_1}{\upsilon _1} + {m_2}{\upsilon _2}.\;\;\;\;\;(1) \]
По закону сохранения механической энергии: \[ \frac{{{m_1}{\upsilon ^2}}}{2} = \frac{{{m_1}\upsilon _1^2}}{2} + \frac{{{m_2}\upsilon _2^2}}{2}.\;\;\;\;\;(2) \]
До соударения шар массой m1 движется под действием только консервативных сил (сила трения отсутствует). Следовательно, на этом участке движения выполняется закон сохранения механической энергии и можно определить скорость  υ большего шара в нижней точке: \[{E_p} = {E_K} \Rightarrow \;\;{m_1}gh = \frac{{{m_1}{\upsilon ^2}}}{2} \Rightarrow \upsilon  = \sqrt {2gh} .\]
Высоту, на которую был поднят первый шар,  находим из рисунка: \[ \begin{gathered}
  h = l - OB = l - l\cos \alpha  = l\left( {1 - \cos \alpha } \right) \Rightarrow  \hfill \\
  \,\,\,\upsilon  = \sqrt {2gl\left( {1 - \cos \alpha } \right)}  = \sqrt {2 \cdot 10 \cdot 1 \cdot \left( {1 - \cos {{60}^0}} \right)}  = \sqrt {10} . \hfill \\
\end{gathered} \]
Решая совместно уравнения (1) и (2), находим скорость второго шара после упругого удара:
\[\begin{gathered}
  \left\{ \begin{gathered}
  {m_1}\upsilon  = {m_2}{\upsilon _2} - {m_1}{\upsilon _1} \hfill \\
  {m_1}{\upsilon ^2} = {m_1}\upsilon _1^2 + {m_2}\upsilon _2^2 \hfill \\
\end{gathered}  \right. \hfill \\
  \left\{ \begin{gathered}
  {\upsilon _1} = \frac{{{m_2}{\upsilon _2} - {m_1}\upsilon }}{{{m_1}}} = \frac{{{m_2}}}{{{m_1}}}{\upsilon _2} - \upsilon  \hfill \\
  {m_1}{\upsilon ^2} = {m_1}{\left( {\frac{{{m_2}}}{{{m_1}}}{\upsilon _2} - \upsilon } \right)^2} + {m_2}\upsilon _2^2 \hfill \\
\end{gathered}  \right. \hfill \\
  {m_1}{\upsilon ^2} = {m_1}\left( {\frac{{m_{_2}^2}}{{m_{_1}^2}}\upsilon _{_2}^2 - 2\frac{{m_{_2}^{}}}{{m_{_1}^{}}}\upsilon _{_2}^{}\upsilon  + {\upsilon ^2}} \right) + {m_2}\upsilon _2^2 \hfill \\
  {m_1}{\upsilon ^2} = \frac{{m_{_2}^2}}{{m_{_1}^{}}}\upsilon _{_2}^2 - 2m_{_2}^{}\upsilon _{_2}^{}\upsilon  + m_{_1}^{}{\upsilon ^2} + {m_2}\upsilon _2^2 \hfill \\
  m_1^2{\upsilon ^2} = m_{_2}^2\upsilon _{_2}^2 - 2m_{_2}^{}m_{_1}^{}\upsilon _{_2}^{}\upsilon  + m_{_1}^2{\upsilon ^2} + {m_2}m_{_1}^{}\upsilon _2^2 \hfill \\
  m_1^2{\upsilon ^2} - m_{_1}^2{\upsilon ^2} = m_{_2}^2\upsilon _{_2}^2 - 2m_{_2}^{}m_{_1}^{}\upsilon _{_2}^{}\upsilon  + {m_2}m_{_1}^{}\upsilon _2^2 \hfill \\
  0 = m_{_2}^2\upsilon _{_2}^2 - 2m_{_2}^{}m_{_1}^{}\upsilon _{_2}^{}\upsilon  + {m_2}m_{_1}^{}\upsilon _2^2 \hfill \\
  0 = \upsilon _{_2}^{}\left( {m_{_2}^2\upsilon _{_2}^{} - 2m_{_2}^{}m_{_1}^{}\upsilon  + {m_2}m_{_1}^{}\upsilon _2^{}} \right) \hfill \\
  m_{_2}^2\upsilon _{_2}^{} - 2m_{_2}^{}m_{_1}^{}\upsilon  + {m_2}m_{_1}^{}\upsilon _2^{} = 0 \hfill \\
  \upsilon _{_2}^{}\left( {m_{_2}^2 + {m_2}m_{_1}^{}} \right) - 2m_{_2}^{}m_{_1}^{}\upsilon  = 0\;\;\;(3) \hfill \\
  \upsilon _{_2}^{} = \frac{{2m_{_2}^{}m_{_1}^{}\upsilon }}{{m_{_2}^2 + {m_2}m_{_1}^{}}} \hfill \\
  \upsilon _{_2}^{} = \frac{{2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \sqrt {10} }}{{4 + 2 \cdot 3}} = 3,79 \hfill \\
\end{gathered} \]
Второй корень  υ2 = 0 уравнения (3) не имеет смысла, так как второй шарик приходит в движение.
Ответ: 3,79 м/с.
« Последнее редактирование: 08 Июня 2017, 07:00 от alsak »

Оффлайн Gala

  • Постоялец
  • ***
  • Сообщений: 97
  • Рейтинг: +0/-0
Более рациональный способ решения:
В течение времени соударения шаров нет внешних сил, проекция которых на ось х отлична от нуля и, следовательно, выполняются два закона сохранения:
1) закон сохранения импульса и 2) закон сохранения энергии. По закону сохранения импульса, учитывая, что второй шар до удара покоился, имеем:
\[ {m_1}\vec \upsilon  = {m_1}{\vec \upsilon _1} + {m_2}{\vec \upsilon _2}. \]
В проекциях на горизонтальную ось х: \[ {m_1}\upsilon  = {m_1}{\upsilon _1} + {m_2}{\upsilon _2}.\;\;\;\;\;(1) \]
По закону сохранения механической энергии: \[ \frac{{{m_1}{\upsilon ^2}}}{2} = \frac{{{m_1}\upsilon _1^2}}{2} + \frac{{{m_2}\upsilon _2^2}}{2}.\;\;\;\;\;(2) \]
До соударения шар массой m1 движется под действием только консервативных сил (сила трения отсутствует). Следовательно, на этом участке движения выполняется закон сохранения механической энергии и можно определить скорость  υ большего шара в нижней точке: \[ {E_p} = {E_K} \Rightarrow \;\;{m_1}gh = \frac{{{m_1}{\upsilon ^2}}}{2} \Rightarrow \upsilon  = \sqrt {2gh} . \]
Высоту, на которую был поднят первый шар,  находим из рисунка: \[ \begin{gathered}
  h = l - OB = l - l\cos \alpha  = l\left( {1 - \cos \alpha } \right) \Rightarrow  \hfill \\
  \,\,\,\upsilon  = \sqrt {2gl\left( {1 - \cos \alpha } \right)}  = \sqrt {2 \cdot 10 \cdot 1 \cdot \left( {1 - \cos {{60}^0}} \right)}  = \sqrt {10} . \hfill \\
\end{gathered} \]
Решая совместно уравнения (1) и (2), находим скорость второго шара после упругого удара:\[ \begin{gathered}
  \left\{ \begin{gathered}
  {m_1}\upsilon  = {m_2}{\upsilon _2} + {m_1}{\upsilon _1} \hfill \\
  {m_1}{\upsilon ^2} = {m_1}\upsilon _1^2 + {m_2}\upsilon _2^2 \hfill \\
\end{gathered}  \right. \hfill \\
  \left\{ \begin{gathered}
  {m_1}\upsilon  - {m_1}{\upsilon _1} = {m_2}{\upsilon _2} \hfill \\
  {m_1}{\upsilon ^2} - {m_1}\upsilon _1^2 = {m_2}\upsilon _2^2 \hfill \\
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered}
  {m_1}\left( {\upsilon  - {\upsilon _1}} \right) = {m_2}{\upsilon _2} \hfill \\
  {m_1}\left( {{\upsilon ^2} - \upsilon _1^2} \right) = {m_2}\upsilon _2^2 \hfill \\
\end{gathered}  \right. \Rightarrow  \hfill \\
  \left\{ \begin{gathered}
  {m_1}\left( {\upsilon  - {\upsilon _1}} \right) = {m_2}{\upsilon _2}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left( 3 \right) \hfill \\
  {m_1}\left( {\upsilon  - {\upsilon _1}} \right)\left( {\upsilon  + {\upsilon _1}} \right) = {m_2}\upsilon _2^2 \hfill \\
\end{gathered}  \right. \hfill \\
  \frac{{{m_1}\left( {\upsilon  - {\upsilon _1}} \right)}}{{{m_1}\left( {\upsilon  - {\upsilon _1}} \right)\left( {\upsilon  + {\upsilon _1}} \right)}} = \frac{{{m_2}{\upsilon _2}}}{{{m_2}\upsilon _2^2}} \Rightarrow \upsilon  + {\upsilon _1} = {\upsilon _2},\;\;{\upsilon _1} = {\upsilon _2} - \upsilon  \hfill \\
\end{gathered} \]
Подставляем в уравнение (3): \[ \begin{gathered}
  {m_1}\left( {\upsilon  - {\upsilon _2} + \upsilon } \right) = {m_2}{\upsilon _2} \hfill \\
  2{m_1}\upsilon  = \left( {{m_2} + {m_1}} \right){\upsilon _2} \Rightarrow {\upsilon _2} = \frac{{2{m_1}\upsilon }}{{{m_2} + {m_1}}}. \hfill \\
\end{gathered} \]
\[\upsilon _{_2}^{} = \frac{{2 \cdot 3 \cdot \sqrt {10} }}{{2 + 3}} = 3,79.\]
ответ: 3,79 м/с.

 

Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24