Две батареи

[Антон Огурцевич]

Две батареи Е₁ = 12 В, r₁ = 2 Ом, Е₂ = 24 В, r₂ = 6 Ом и проводник сопротивлением R = 16 Ом соединены, как показано на рис. 6. Определить силу тока в батареях и проводнике. Сделать рисунок.

Рис. 6.

[Сергей]

Решение.
 Покажем схему соединения (рис).
Для цепи применим правила Кирхгофа:
Первое правило – сумма токов, подходящих к узлу, равна сумме токов, выходящих из узла.
Второе правило – в любом замкнутом контуре сложной цепи сумма действующих ЭДС равна сумме падений напряжения на сопротивлениях этого контура.
Покажем направления токов стрелками. Для силы токов справедливо условие:
 

I = I₁ - I₂   (1).

Выбираем положительное направление обхода контура по часовой стрелке.   На основании второго правила Кирхгофа для замкнутого контура запишем формулы на зажимах источников токов:

\[ {{\xi }_{1}}=R\cdot I+{{I}_{1}}\cdot {{r}_{1}}\ \ \ (2),\ -{{\xi }_{2}}=R\cdot I-{{I}_{2}}\cdot {{r}_{2}}\ \ \ (3). \]

Выразим токи из уравнений (2) и (3) и подставим в (1):

\[ {{I}_{1}}=\frac{{{\xi }_{1}}-R\cdot I}{{{r}_{1}}},\ {{I}_{2}}=\frac{{{\xi }_{2}}+R\cdot I}{{{r}_{2}}},\ I=\frac{{{\xi }_{1}}-R\cdot I}{{{r}_{1}}}-\frac{{{\xi }_{2}}+R\cdot I}{{{r}_{2}}}\ \ \ (4) \]

Решим уравнение (4) и найдем ток в резисторе:

\[ I=\frac{{{\xi }_{1}}\cdot {{r}_{2}}-{{\xi }_{2}}\cdot {{r}_{1}}}{{{r}_{2}}\cdot R+{{r}_{1}}\cdot R+{{r}_{1}}\cdot {{r}_{2}}},\ I=\frac{12\cdot 6-24\cdot 2}{6\cdot 16+2\cdot 16+2\cdot 6}=0,17. \]

I = 0,17 А.
Найдем ток I₁ и I₂,

\[ {{I}_{1}}=\frac{12-16\cdot 0,17}{2}=4,64.\ {{I}_{2}}={{I}_{1}}-I,\ {{I}_{2}}=4,64-0,17=4,47. \]

I₁ = 4,64 А, I₂ = 4,47 А.
Ответ: 0,17 А, 4,64 А, 4,47 А.