Форум сайта alsak.ru

Задачи и вопросы по физике => Решение задач Н.Е. Савченко => : alsak 08 May 2011, 12:31

: Магнитное поле из сборника Савченко Н.Е.
: alsak 08 May 2011, 12:31

Решение задач по физике из книги Савченко Н.Е. Решение задач по физике. – Мн.: Высш. школа, 2003. – 479 с.

		692 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4916.msg39333.html#msg39333)	693 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4916.msg39334.html#msg39334)	694 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4916.msg39335.html#msg39335)	695 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4916.msg18496.html#msg18496)	696 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4916.msg39336.html#msg39336)	697 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4916.msg39366.html#msg39366)	698 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4916.msg39367.html#msg39367)	699 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4916.msg40021.html#msg40021)
700 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4916.msg40022.html#msg40022)	701 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4916.msg40023.html#msg40023)	702 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4916.msg40028.html#msg40028)	703 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4916.msg40029.html#msg40029)	704 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4916.msg40030.html#msg40030)	705 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4916.msg40031.html#msg40031)	706 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4916.msg40032.html#msg40032)	707 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4916.msg40033.html#msg40033)	708 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4916.msg40034.html#msg40034)	709 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4916.msg18506.html#msg18506)
710 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4916.msg18806.html#msg18806)	711 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4916.msg38695.html#msg38695)	712 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4916.msg38699.html#msg38699)	713 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4916.msg38664.html#msg38664)	714 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4916.msg38665.html#msg38665)	715 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4916.msg38697.html#msg38697)	716 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4916.msg40035.html#msg40035)	717 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4916.msg40048.html#msg40048)	718 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4916.msg38698.html#msg38698)	719 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4916.msg40071.html#msg40071)
720 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4916.msg40072.html#msg40072)	721 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4916.msg38666.html#msg38666)	722 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4916.msg38702.html#msg38702)	723 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4916.msg40070.html#msg40070)	724 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4916.msg38671.html#msg38671)	725 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4916.msg40069.html#msg40069)	726 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4916.msg38672.html#msg38672)	727 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4916.msg38675.html#msg38675)	728 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4916.msg40067.html#msg40067)	729 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4916.msg40066.html#msg40066)
730 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4916.msg40065.html#msg40065)

: Re: Магнитное поле из сборника Савченко Н.Е.
: alsak 16 June 2011, 16:49

695. Прямолинейный проводник массой m = 3 кг, по которому проходит ток силой I = 5 А, поднимается вертикально вверх в однородном магнитном поле с индукцией В = 3 Тл, двигаясь под углом α = 30° к линиям магнитной индукции. Через время t = 2 с после начала движения он приобретает скорость υ = 10 м/с. Определить длину проводника.

Решение. Так как проводник начал движение, то направления скорости, ускорения и равнодействующей силы будут совпадать (по условию, вертикально вверх). На проводник действую сила тяжести (m⋅g) и сила Ампера (F_A) (рис. 1). Так как сила Ампера направлена вертикально вверх, то проводник и вектор магнитной индукции должны быть расположены в горизонтальной плоскости (сила Ампера перпендикулярна проводнику и вектору магнитной индукции), следовательно, проводник НЕ МОЖЕТ ДВИГАТЬСЯ под углом 30° к линиям магнитной индукции. Необходима дополнительная сила, например, сила реакции стены, вдоль которой может двигаться проводник.
Ответ. Задача не имеет решения.

Изменим условие так: словосочетание «двигаясь под углом α = 30° к линиям магнитной индукции» заменим на «расположен под углом 30° к линиям магнитной индукции».

695изм. Прямолинейный проводник массой m = 3 кг, по которому проходит постоянный ток силой I = 5 А, поднимается вертикально вверх в однородном магнитном поле с индукцией B = 3 Тл. Через время t = 2 с после начала движения он приобретает скорость υ = 10 м/с. Определите длину проводника, если он расположен под углом α = 30° к линиям магнитной индукции.

Решение. Так как проводник начал движение, то направления скорости, ускорения и равнодействующей силы будут совпадать (по условию, вертикально вверх). На проводник действую сила тяжести (m⋅g) и сила Ампера (F_A). Так как сила Ампера направлена вертикально вверх, то проводник и вектор магнитной индукции должны быть расположены в горизонтальной плоскости (сила Ампера перпендикулярна проводнику и вектору магнитной индукции) (рис. 1 — вид сбоку, 2 — вид сверху).
Запишем проекцию второго закона Ньютона:

0Y: m⋅a = F_A – m⋅g,

где F_A = I⋅B⋅l⋅sin α. Ускорение найдем следующим образом:
 

\[ a_{y} = \frac{\upsilon _{y} -\upsilon _{0y}}{t}, \, \, \, a = \frac{\upsilon }{t}, \]

т.к. υ_0y = 0, a_y = a, υ_y = υ. Тогда
 

\[ m\cdot \frac{\upsilon }{t} = I \cdot B \cdot l \cdot \sin \alpha -m\cdot g, \, \, \,
l = \frac{m \cdot \left(\upsilon +g \cdot t \right)}{I \cdot B \cdot t \cdot \sin \beta }, \]

l = 6,0 м.

: Re: Магнитное поле из сборника Савченко Н.Е.
: alsak 17 June 2011, 14:27

709. Небольшое заряженное тело массой m, прикрепленное к нити длиной l, может двигаться по окружности в вертикальной плоскости. Перпендикулярно этой плоскости направлены линии магнитной индукции однородного магнитного поля с индукцией В (рис. 1). Какую минимальную горизонтальную скорость υ₀ надо сообщить телу в нижней точке, чтобы оно совершило полный оборот? Заряд тела положителен и равен q.

Решение. Найдем скорость заряда υ в верхней точке.
Для груза на гибком подвесе (нити) минимальная скорость груза (υ₀) в нижней точке соответствует случаю, когда сила натяжения подвеса в верхней точке чуть больше нуля (Т = 0). Иначе, груз станет двигаться по параболе (движение под углом к горизонту), и не достигнет максимальной высоты. На заряд действуют сила тяжести (m⋅g), сила натяжения подвеса (T) и сила Лоренца (F_l) (рис. 2). Для верхнего положения заряда запишем 2-ой закон Ньютона в проекции на вертикальную ось:

0Y: m⋅a_с = m⋅g – F_l,

где F_l = q⋅B⋅υ⋅sin α, a_c = υ²/l, l — длина нити, α = 90°. Тогда
 

\[ m \cdot \frac{\upsilon ^{2}}{l} = m \cdot g- q \cdot B \cdot \upsilon, \; \; \; \upsilon ^{2} + \frac{q \cdot B \cdot l}{m} \cdot \upsilon -l\cdot g = 0. \]

Положительный корень этого квадратного уравнения равен
 

\[ \upsilon =-\frac{q \cdot B \cdot l}{2m} + \sqrt{\left(\frac{q \cdot B \cdot l}{2m} \right)^{2} +l \cdot g}.\;\;\; (1) \]

На заряд действует внешняя сила (сила Лоренца), но так как эта сила всегда перпендикулярна скорости частицы, то работа силы Лоренца равна нулю. Следовательно, можно воспользоваться законом сохранения энергии.
Примем за нулевую высоту — нижнее положение заряда. Тогда из закона сохранения получаем
 

\[ \frac{m \cdot \upsilon _{0}^{2} }{2} = \frac{m \cdot \upsilon _{}^{2}}{2} +m \cdot g \cdot \left(2l\right), \, \, \,
\upsilon _{0}^{2} = \upsilon _{}^{2} +4g \cdot l. \]  (2)

Подставим уравнение (1) в (2) (подробнее см. рис. 3):
 

\[ \upsilon _{0} = \sqrt{\left(-\frac{q \cdot B \cdot l}{2m} +\sqrt{\left(\frac{q \cdot B \cdot l}{2m} \right)^{2} +l \cdot g} \right)^{2} +4g \cdot l} =
\sqrt{5g \cdot l+\frac{q^{2} \cdot B^{2} \cdot l^{2} }{2m^{2} } \cdot \left(1-\sqrt{1+\frac{4m^{2} \cdot g}{q^{2} \cdot B^{2} \cdot l} } \right)}. \]

: Re: Магнитное поле из сборника Савченко Н.Е.
: alsak 22 June 2011, 18:10

710. В однородном магнитном поле с индукцией В, направленной вертикально вверх, находится конический маятник: подвешенный на невесомой нити длиной l шарик массой m с положительным зарядом q равномерно движется по окружности в горизонтальной плоскости (рис. 1). При этом нить образует с вертикалью угол α, а шарик движется по часовой стрелке, если смотреть сверху. Найти скорость шарика.

Решение. На груз действуют сила тяжести (m⋅g), сила натяжения подвеса (Т) и сила Лоренца (F_l) (рис. 2). Для конического маятника ускорение только центростремительное, т.е. а = а_c. Запишем второй закон Ньютона:
 

\[ m\cdot \vec{a}_{c} =m\cdot \vec{g}+\vec{T}+\vec{F}_{l},  \]

0X: m⋅a_c = T⋅sin α + F_l, (1)

0Y: 0 = –m⋅g + T⋅cos α, (2)

где a_c = υ²/R, R = l⋅sin α, F_l = q⋅B⋅υ⋅sin β, β = 90° — угол между направлением скорости и вектором магнитной индукции. Решим систему двух уравнений (1) и (2). Например,
 

\[ T=\frac{m\cdot g}{\cos \alpha } ,\, \, \, m\cdot \frac{\upsilon ^{2} }{l\cdot \sin \alpha } =\frac{m\cdot g}{\cos \alpha } \cdot \sin \alpha +q\cdot B\cdot \upsilon \]

или

\[ \upsilon ^{2} -\frac{q\cdot B\cdot l\cdot \sin \alpha }{m} \cdot \upsilon -\frac{g\cdot l\cdot \sin ^{2} \alpha }{\cos \alpha } =0. \]

Положительный корень квадратного уравнения равен (подробнее см. рис. 3)
 

\[ \upsilon =\frac{q\cdot B\cdot l\cdot \sin \alpha }{2m} \cdot \left(1+\sqrt{1+\frac{4m^{2} \cdot g}{q^{2} \cdot B^{2} \cdot l\cdot \cos \alpha } } \right). \]

: Re: Магнитное поле из сборника Савченко Н.Е.
: andrey 15 April 2012, 19:00

727, 724, 721, 714, 726, 713

: Re: Магнитное поле из сборника Савченко Н.Е.
: djek 16 April 2012, 17:42

713. В однородном магнитном поле с индукцией В расположена замкнутая катушка диаметром d. Плоскость катушки перпендикулярна линиям магнитной индукции. Какой заряд пройдет по цепи катушки, если ее повернуть на 180°? Проволока, из которой намотана катушка, имеет площадь поперечного сечения S и удельное сопротивление ρ.

Решение

При повороте катушки в магнитном поле изменяется магнитный поток, пронизывающий катушку и, следовательно, возникает ЭДС индукции. Поскольку катушка замкнутая, то по ней пройдет ток. Заряд, который пройдет по цепи катушки
\[ q=I\cdot \Delta t \]
Сила тока в кольце:
\[ I=\frac{{{\varepsilon }_{i}}}{R} \]
ЭДС индукции, возникающая в кольце:
\[ \varepsilon =\left| \frac{\Delta Ф}{\Delta t} \right| \]
Магнитный поток через кольцо:
\[ \Delta Ф =B\cdot S\cdot \cos \alpha  \]
Где α- угол между вектором магнитной индукции и нормалью к плоскости кольца.
Изменение магнитного потока:
\[ \Delta Ф=B\cdot {{S}_{k}}\cdot \cos 180-B\cdot {{S}_{k}}\cdot \cos 0=-2\cdot B\cdot {{S}_{k}}=-2\cdot B\cdot \pi \cdot {{r}^{2}} \]
Следовательно:
\[ {{\varepsilon }_{i}}=\frac{2\cdot \pi \cdot {{r}^{2}}}{\Delta t} \]
Тогда:
\[ q=\frac{2\cdot B\cdot \pi \cdot {{r}^{2}}}{R\cdot \Delta t}\cdot \Delta t=\frac{2\cdot B\cdot \pi \cdot {{r}^{2}}}{R} \]
Сопротивление катушки:
\[ R=\rho \frac{l}{S} \]...\[ l=2\cdot \pi \cdot r \]
C учетом этого:
\[ q=\frac{B\cdot S\cdot r}{\rho }=\frac{B\cdot S\cdot d}{2\cdot \rho } \]

: Re: Магнитное поле из сборника Савченко Н.Е.
: djek 16 April 2012, 18:06

714 Определить разность потенциалов между концами оси железнодорожного вагона, имеющей длину  l= 1,6 м, если на горизонтальном участке пути скорость поезда υ = 45 км/ч, а вертикальная составляющая индукции магнитного поля Земли В = 2·10-5 Тл

Решение
ЭДС индукции, возникающая в проводнике длиной l, движущемся со скоростью υ в однородном магнитном поле индукцией B, равна:
\[ {{\varepsilon }_{i}}=B\cdot l\cdot  \upsilon \cdot \sin \alpha  \]
В нашем случае угол α (между направлением скорости и вертикальной составляющей вектора В) равен 90.
Разность потенциалов на концах разомкнутой цепи равна ЭДС
\[ {{\varepsilon }_{i}}=B\cdot l\cdot  \upsilon =4\cdot {{10}^{-4}}B \]

: Re: Магнитное поле из сборника Савченко Н.Е.
: djek 16 April 2012, 18:30

721 Квадратная рамка со стороной l = 10 см вращается в однородном магнитном поле с угловой скоростью ω=300 рад/с. Определить максимальное значение силы тока в рамке, если ее сопротивление R = 10 Ом, магнитная индукция поля В = 0,02 Тл. Ось вращения рамки перпендикулярна линиям магнитной индукции.
Решение
При равномерном вращении рамки с угловой скоростью ω магнитный поток, пронизывающий площадь, ограниченную сторонами рамки, будет непрерывно меняться с течением времени по закону

Ф=B·S·cosα

Где S – площадь рамки; α – угол между нормалью к плоскости и вектором В.
В момент времени t угол α=ωt,следовательно ,

Ф=B·S·cos ωt

Согласно закону электромагнитной индукции, ЭДС индукции в замкнутом контуре равна скорости изменения потока магнитной индукции через поверхность, ограниченную контуром. Поэтому с учетом знака ЭДС индукции

ε_i=-Ф’

Взяв производную от Ф по времени, получим:

ε_i= B·S·ω·sin ωt.

Максимальное значение ЭДС равно

ε_m= B·S·ω

Максимальное значение силы тока в рамке
\[ I=\frac{{{\varepsilon }_{m}}}{R} \]
Площади рамки
S = l²
Окончательно будем иметь
\[ I=\frac{B\cdot {{l}^{2}}\cdot \omega }{R} \]

: Re: Магнитное поле из сборника Савченко Н.Е.
: djek 16 April 2012, 19:24

724 Проволочное кольцо радиуса r = 0,1 м лежит на столе. Какой заряд пройдет по кольцу, если его перевернуть с одной стороны на другую? Вертикальная составляющая индукции магнитного поля Земли В = 0,5·10-4 Тл. Сопротивление кольца R = 1 Ом.
Решение
При повороте кольца в магнитном поле изменяется магнитный поток, пронизывающий кольцо и, следовательно, возникает ЭДС индукции. Заряд, который пройдет по кольцу
\[ q=I\cdot \Delta t \]
Сила тока в кольце:
\[ I=\frac{{{\varepsilon }_{i}}}{R} \]
ЭДС индукции, возникающая в кольце:
\[ \varepsilon =\left| \frac{\Delta Ф}{\Delta t} \right| \]
Магнитный поток через кольцо:
\[ \Delta Ф =B\cdot {{S}_{k}}\cdot \cos \alpha  \]
Где α- угол между вектором магнитной индукции и нормалью к плоскости кольца.
Изменение магнитного потока:
\[ \Delta Ф ={{Ф}_{2}}-{{Ф}_{1}} \]
\[ \Delta Ф=B\cdot {{S}_{k}}\cdot \cos 180-B\cdot {{S}_{k}}\cdot \cos 0=-2\cdot B\cdot {{S}_{k}}=-2\cdot B\cdot \pi \cdot {{r}^{2}} \]
Следовательно:
\[ {{\varepsilon }_{i}}=\frac{2\cdot \pi \cdot {{r}^{2}}}{\Delta t} \]
Тогда:
\[ q=\frac{2\cdot B\cdot \pi \cdot {{r}^{2}}}{R\cdot \Delta t}\cdot \Delta t=\frac{2\cdot B\cdot \pi \cdot {{r}^{2}}}{R} \]

: Re: Магнитное поле из сборника Савченко Н.Е.
: djek 16 April 2012, 20:01

726 В однородном магнитном поле находится замкнутая обмотка, состоящая из N = 1000 витков квадратной формы. Линии магнитной индукции перпендикулярны плоскости витков. Магнитная индукция изменяется на ΔВ = 2·10^-2 Тл за время Δt =0,1 с. Длина стороны квадрата (витка) а = 0,1м, площадь поперечного сечения
провода обмотки S = 1·10^-6 м², удельное сопротивление ρ = 1·10^-7 Ом·м. Какое количество теплоты выделяется в обмотке за время Δt?

Решение
Количество теплоты, которое выделяется в одном витке обмотки, пропорционально квадрату силы тока, времени его прохождения и сопротивлению проводника (закон Джоуля-Ленца).
\[ {{Q}_{1}}={{I}^{2}}\cdot R\cdot \Delta t \] (1)
Сила тока
\[ I=\frac{{{\varepsilon }_{i}}}{R} \]
ЭДС индукции, которая возникает в контуре при изменении магнитного потока
\[ {{\varepsilon }_{i}}=\left| \frac{\Delta \Phi }{\Delta t} \right| \]
\[ \Delta \Phi =\Delta B\cdot {{S}_{k}}  \]
S_k = а²– площадь обмотки, угол α между нормалью к поверхности и вектором В равен 0, поэтому cosα = 1. Окончательно имеем:
\[ {{\varepsilon }_{i}}=\left| \frac{\Delta \Phi }{\Delta t} \right|=\frac{\Delta B\cdot {{S}_{k}}}{\Delta t}=\frac{\Delta B\cdot {{a}^{2}}}{\Delta t} \]
С учетом этого сила тока
\[ I=\frac{\Delta B\cdot {{a}^{2}}}{\Delta t\cdot R}  \]
Найдем сопротивление одной обмотки и учтем, что длина обмотки равна 4а
\[ R=\rho \cdot \frac{l}{S}=\rho \cdot \frac{4\cdot a}{S} \] (2)
Окончательно для силы тока
\[ I=\frac{\Delta B\cdot {{a}^{2}}\cdot S}{\Delta t\cdot 4\cdot a\cdot \rho }=\frac{\Delta B\cdot a\cdot S}{4\cdot \Delta t\cdot \rho }  \](3)
Подставим формулы (3) и (2) в (1) и получим количество теплоты, которое выделится в одном витке
\[ {{Q}_{1}}=\frac{\Delta {{B}^{2}}\cdot {{a}^{2}}\cdot {{S}^{2}}}{16\cdot {{\rho }^{2}}\cdot \Delta {{t}^{2}}}\cdot \frac{\rho \cdot 4\cdot a}{S}\cdot \Delta t=\frac{\Delta {{B}^{2}}\cdot {{a}^{3}}\cdot S}{4\cdot \rho \cdot \Delta t} \]
А поскольку таких витков N то
\[ Q=N\cdot {{Q}_{1}}=\frac{N\cdot \Delta {{B}^{2}}\cdot {{a}^{3}}\cdot S}{4\cdot \rho \cdot \Delta t} \]

: Re: Магнитное поле из сборника Савченко Н.Е.
: djek 17 April 2012, 21:50

727  Прямоугольная рамка из проводника сопротивлением R = 1 Ом, двигаясь поступательно с постоянной скоростью υ = 4 м/с, пересекает полосу однородного магнитного поля с индукцией В = 0,5 Тл. Вектор В перпендикулярен плоскости рамки. Стороны рамки l₁ = 10 см, l₂ = 5 см, ширина полосы l₃ > l₂,  рамка движется вдоль стороны l₂. Определить количество теплоты, которое выделится в рамке к моменту, когда она пересечет полосу.

Решение

Количество теплоты, которое выделяется в проводнике, пропорционально квадрату силы тока, времени его прохождения и сопротивлению проводника (закон Джоуля-Ленца).

Q=I₂∙R·Δt

Когда рамка начинает входить в магнитное поле в ней возникает ЭДС индукции (изменяется площадь контура)
\[ {{\varepsilon }_{i}}=\frac{\Delta \Phi }{\Delta t}=\frac{B\cdot \Delta S}{\Delta t}=\frac{B\cdot {{l}_{1}}\cdot \upsilon \cdot \Delta t}{\Delta t}=B\cdot {{l}_{1}}\cdot \upsilon  \]
Сила тока, возникающего в контуре и время входа рамки в магнитное поле
\[ \begin{align}
  & I=\frac{{{\varepsilon }_{i}}}{R}=\frac{B\cdot {{l}_{1}}\cdot \upsilon }{R} \\
 & \Delta t=\frac{{{l}_{2}}}{\upsilon } \\
\end{align}
 \]
Количество теплоты, которое выделится при входе рамки в магнитное поле
\[ {{Q}_{1}}={{I}^{2}}\cdot R\cdot \Delta t=\frac{{{B}^{2}}\cdot l_{1}^{2}\cdot {{\upsilon }^{2}}}{{{R}^{2}}}\cdot R\cdot \frac{{{l}_{2}}}{\upsilon }=\frac{{{B}^{2}}\cdot l_{1}^{2}\cdot \upsilon \cdot {{l}_{2}}}{R}  \]
Когда рамка полностью в магнитном поле в ней ЭДС индукции не возникает, следовательно теплота не выделяется, когда рамка начнет выходить из контура в ней выделится такое же количество теплоты

Q=2Q₁

\[ Q=\frac{2\cdot {{B}^{2}}\cdot l_{1}^{2}\cdot \upsilon \cdot {{l}_{2}}}{R} \]

: Re: Магнитное поле из сборника Савченко Н.Е.
: andrey 21 April 2012, 23:28

711, 712, 715, 718, 722

: Re: Магнитное поле из сборника Савченко Н.Е.
: djek 22 April 2012, 11:04

711  Магнитный поток через катушку, состоящую из N = 75 витков, Ф = 4,8∙10^-3 Вб. За сколько времени должен исчезнуть этот поток, чтобы в катушке возникла средняя ЭДС индукции ε_i= 0,75 В?

Pешение
ЭДС индукции, возникающая в замкнутом контуре, равна по модулю и противоположна по знаку скорости изменения магнитного потока через поверхность, ограниченную контуром (закон электромагнитной индукции). В нашем случае катушка состоит из N витков. С учетом этого
\[ \begin{align}
  & {{\varepsilon }_{i}}=N\cdot \left| \frac{\Delta \Phi }{\Delta t} \right| \\
 & \Delta t=\frac{N\cdot \Delta \Phi }{{{\varepsilon }_{i}}} \\
\end{align}
 \]

: Re: Магнитное поле из сборника Савченко Н.Е.
: djek 22 April 2012, 11:24

715 По горизонтальным рельсам, расположенным в вертикальном магнитном поле с индукцией В = 1·10^-2 Тл, скользит проводник длиной l = 1 м с постоянной скоростью υ = 10 м/с. Концы рельсов замкнуты на резистор сопротивлением R = 2 Ом. Определить количество теплоты, которое выделяется в резисторе за время t = 4 с. Сопротивлением рельсов и проводника пренебречь.

В движущемся в магнитном поле проводнике возникает ЭДС индукции ε_i=Blυsinα. Проводник замкнут на резистор, следовательно, ЭДС индукции создаст ток. По условию задачи, направление скорости движения проводника перпендикулярно к направлению вектора магнитной:
\[ I=\frac{{{\varepsilon }_{i}}}{R}=\frac{B\cdot l\cdot \upsilon }{R} \]
Количество теплоты, которое выделится на резисторе найдем из закона Джоуля-Ленца
\[ Q={{I}^{2}}\cdot R\cdot t=\frac{{{B}^{2}}\cdot {{l}^{2}}\cdot {{\upsilon }^{2}}}{R}\cdot t \]

: Re: Магнитное поле из сборника Савченко Н.Е.
: djek 22 April 2012, 11:52

718. Проволочный виток, имеющий площадь S = 100 см², разрезан в некоторой точке, и в разрез включен конденсатор емкостью С = 10 мкФ. Виток помещен в однородное магнитное поле, линии индукции которого перпендикулярны плоскости витка. Магнитная индукция поля равномерно изменяется во времени со скоростью ΔB/Δt = 5·10^-3 Тл/с. Определить заряд конденсатора.

Емкость конденсатора численно равна отношению заряда конденсатора к разности потенциалов между его обкладками.

\[ \begin{align}
  & C=\frac{q}{U}=\frac{q}{{{\varepsilon }_{i}}} \\
 & {{\varepsilon }_{i}}=\left| \frac{\Delta \Phi }{\Delta t} \right|=\frac{\Delta B\cdot S}{\Delta t} \\
 & q={{\varepsilon }_{i}}\cdot C=\frac{\Delta B\cdot S}{\Delta t}\cdot C \\
\end{align}
 \]

: Re: Магнитное поле из сборника Савченко Н.Е.
: djek 22 April 2012, 13:19

712  Рамка, имеющая форму равностороннего треугольника, помещена в однородное магнитное поле с индукцией В = 0,1 Тл. Плоскость рамки составляет с направлением вектора магнитной индукции угол α = 30°. Определить длину стороны рамки, если при равномерном уменьшении магнитного поля до нуля за время τ = 0,01 с в рамке индуцируется ЭДС ε_i= 2·10^-3 В.

Решение
ЭДС индукции возникает в силу изменения магнитного потока, пронизывающего площадь ограниченную сторонами равностороннего треугольника. Площадь равностороннего треугольника
\[ S=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot {{a}^{2}} \]
Поток магнитной индукции
Ф=B·S·cosα где α – угол между вектором В и нормалью n к поверхности.
В условии задан угол между плоскостью рамки и вектором В.
Угол между вектором В и нормалью n к поверхности (обозначим его β) равен
β=90-α=60
Ф=B·S·cosβ – магнитный поток пронизывающий контур ограниченный равносторонним треугольником
\[ \begin{align}
  & {{\varepsilon }_{i}}=\frac{\Delta \Phi }{\Delta t}=\frac{\Delta B\cdot S\cdot \cos \beta }{\tau } \\
 & S=\frac{\tau \cdot {{\varepsilon }_{i}}}{B\cdot \cos \beta }=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot {{a}^{2}} \\
 & a=\sqrt{\frac{4\cdot \tau \cdot {{\varepsilon }_{i}}}{\sqrt{3}\cdot B\cdot \cos \beta }}=2\cdot \sqrt{\frac{\tau \cdot {{\varepsilon }_{i}}}{\sqrt{3}\cdot B\cdot \cos \beta }} \\
\end{align}
 \]

: Re: Магнитное поле из сборника Савченко Н.Е.
: djek 22 April 2012, 18:43

722 Плоский замкнутый металлический контур площадью S₁ = 10 см² деформируется в однородном магнитном поле, индукция которого В = 1·10_-2 Тл. Площадь контура за время τ = 2 с равномерно уменьшается (плоскость контура при этом остается перпендикулярной силовым линиям поля) до величины S₂ = 2 см². Определить силу тока, проходящего по контуру в течение времени τ, если сопротивление контура R = 1 Ом.

Решение
В силу изменения площади контура в нем индуцируется ЭДС индукции
\[ \begin{align}
  & {{\varepsilon }_{i}}=\left| \frac{\Delta \Phi }{\Delta t} \right|=\frac{B\cdot ({{S}_{1}}-{{S}_{2}})}{\tau } \\
 & I=\frac{{{\varepsilon }_{i}}}{R}=\frac{B\cdot ({{S}_{1}}-{{S}_{2}})}{R\cdot \tau } \\
\end{align}
 \]

: Re: Магнитное поле из сборника Савченко Н.Е.
: Kivir 06 August 2012, 12:11

692. Квадратная рамка со стороной a = 10 см, сделанная из проводника, площадь поперечного сечения которого  S = 1 мм² и удельное сопротивление ρ = 2∙10^–8 Ом∙м, присоединена к источнику постоянного напряжения U = 4 В и помещена в однородное магнитное поле с индукцией B = 0,1 Тл. Определить максимальный момент сил, действующих на рамку со стороны поля.
Решение: момент сил, действующий на плоский контур с током, помещённый в однородное магнитное поле определяется по формуле:
\[ M=I\cdot B\cdot S_{1} \cdot \sin \alpha. \]
Здесь I – сила тока в контуре, B – индукция поля, S₁ – площадь поверхности, охватываемой контуром, α – угол между вектором магнитной индукции B и нормалью к поверхности контура.
Момент сил будет максимальным, если расположить рамку в магнитном поле так, что бы угол α = 90º (в этом случае sinα = 1 – принимает максимальное значение). Площадь рамки определим, зная что она квадратная:

S₁ = a².

Силу тока в рамке определим по закону Ома:
\[ I=\frac{U}{R}.  \]
Сопротивление проводника найдём, зная удельное сопротивление ρ, площадь сечения провода S и длину проводника l = 4∙a:
\[ R=\rho \cdot \frac{l}{S} =\rho \cdot \frac{4\cdot a}{S}. \]
Получаем искомый момент сил:
\[ M=\frac{U}{\rho \cdot \frac{4\cdot a}{S} } \cdot B\cdot a^{2} =\frac{U\cdot S\cdot B\cdot a}{4\cdot \rho}. \]
Ответ: 0,5 Н∙м

: Re: Магнитное поле из сборника Савченко Н.Е.
: Kivir 06 August 2012, 12:14

693. В однородное магнитное поле с индукцией B = 2∙10^–4 Тл перпендикулярно линиям индукции помещён прямолинейный проводник с током силой I = 50 А. Найти совокупность точек, в которых результирующая магнитная индукция равна нулю. Определит силу, действующую со стороны магнитного поля на отрезок проводника длиной l = 50 см.
Решение: проводник с током создаёт вокруг себя магнитное поле, индукция которого определяется следующим образом:
\[ B_{1} =\mu \cdot \mu _{0} \cdot \frac{I}{2\pi \cdot r}. \]
Где μ = 1 – магнитная проницаемость среды (нет специальных оговорок, считаем, что проводник в вакууме), μ₀ = 4π∙10^–7 Гн/м – магнитная постоянная, I – сила тока, r – расстояние от проводника до точки в которой рассчитывается индукция магнитного поля. Магнитное поле тока и внешнее магнитное поле складываются согласно принципа суперпозиции:
\[ \vec{B}_{0} =\vec{B}+\vec{B}_{1}. \]
Здесь B₀ – результирующая индукция поля, B – индукция внешнего поля. По условию задачи, нужно определить точки поля, в которых B₀ = 0. Это означает, что индукция магнитного поля проводника должна быть равна по модулю индукции внешнего магнитного поля и иметь противоположное направление. Совокупность точек будет иметь вид прямой, параллельной проводнику на расстоянии r от него:
\[ \begin{array}{l} {B=B_{1} ,} \\ {r=\frac{\mu _{0} \cdot I}{2\pi \cdot B} .} \end{array} \]
Сила, действующая на проводник с током со стороны магнитного поля – сила Ампера, модуль которой определяется по формуле:
\[ F=I\cdot B\cdot l\cdot \sin \alpha .  \]
α – угол между вектором магнитной индукции B и направлением тока в проводнике. Так как проводник помещён перпендикулярно линиям индукции то угол α = 90º и в этом случае sinα = 1.
Ответ: r = 5∙10^-2 м., F = 5∙10^–3 Н.

: Re: Магнитное поле из сборника Савченко Н.Е.
: Kivir 06 August 2012, 12:19

694. Прямой провод длиной l = 10 см, по которому идёт ток силой I = 20 А, находится в однородном магнитном поле с индукцией B = 1∙10^–2 Тл. Каков угол между вектором магнитной индукции B и направлением тока, если на провод действует сила F = 1∙10^–2 Н.
Решение: сила, действующая на проводник с током со стороны магнитного поля – сила Ампера, модуль которой определяется по формуле:
\[ F=I\cdot B\cdot l\cdot \sin \alpha. \]
Тогда искомый угол:
\[ \alpha =\arcsin \left(\frac{F}{I\cdot B\cdot l}\right). \]
Ответ: α = 30º.

: Re: Магнитное поле из сборника Савченко Н.Е.
: Kivir 06 August 2012, 12:21

696. Жесткая проводящая рамка квадратной формы лежит на горизонтальной поверхности и находится в магнитном поле, силовые линии которого параллельны двум сторонам рамки. Масса рамки m = 20 г, длина её стороны a = 4 см, магнитная индукция B = 0,5 Тл. Какой силы постоянный ток нужно пропускать по рамке, чтобы одна из её сторон начала приподниматься?
Решение: пусть одна сторона рамки станет осью вращения OO₁, на вторую сторону действует сила Ампера F, направление которой определено по правилу левой руки (см. рис.) На рамку действует ещё сила тяжести mg, направленная вниз и приложена к геометрическому центру рамки (считаем рамку однородной). Пусть сила тока такова, что сторона рамки начинает приподниматься. Запишем правило моментов относительно оси OO₁:
\[ F\cdot a-mg\cdot \frac{a}{2}=0. \]
Модуль силы Ампера определяется по формуле:
\[ F=I\cdot B\cdot l\cdot \sin \alpha. \]
В нашем случае: l = a, α = 90º. Тогда из правила моментов получаем:
\[ \begin{array}{l} {I\cdot B\cdot a=\frac{mg}{2},} \\ {I=\frac{mg}{2\cdot B\cdot a}.} \end{array}  \]
Ответ: 5 А.

: Re: Магнитное поле из сборника Савченко Н.Е.
: djek 13 August 2012, 16:09

697. Проводник длиной l = 10 см, по которому идет ток силой I = 15 А, перемещается в однородном магнитном поле с индукцией В = 0,50 Тл на расстояние s = 20 см. Определить максимальную работу, которая совершается при перемещении проводника. Как при этом должен двигаться проводник?
Решение.
На проводник с током со стороны магнитного поля действует сила Ампера, модуль которой равен

F_A = B·I·l·sinα₁

где I – сила тока в проводнике, l – длинна проводника, находящегося в магнитном поле, B – модуль индукции магнитного поля, α₁ – угол, образованный проводником и вектором магнитной индукции.
Работой A, совершаемой постоянной силой называется физическая величина, равная произведению модулей силы и перемещения, умноженному на косинус угла α между векторами силы и перемещения.

A = F·s·cosα

Тогда

A = B·I·l·sinα₁·s·cosα.

Работа будет максимальной, если sinα₁ = 1 и cosα = 1.
Значит, проводник должен двигаться перпендикулярно к линиям индукции магнитного поля и в направлении действия силы.

A_m = B·I·l·s.

: Re: Магнитное поле из сборника Савченко Н.Е.
: djek 13 August 2012, 16:53

698. Электрон движется по окружности радиуса R = 10 мм в магнитном поле с индукцией В = 0,02 Тл. Какова кинетическая энергия электрона? Заряд электрона е = 1,6·10^-19 Кл, масса электрона mе = 9,1·10^-31 кг.
Решение.
Кинетическую энергию электрона можно рассчитать по формуле
\[ {{E}_{k}}=\frac{{{m}_{e}}\cdot {{\upsilon }^{2}}}{2} \]
Неизвестной величиной является скорость электрона. Определим ее из соображений, что электрон будет двигаться в магнитном поле под действием силы Лоренца по окружности, если его скорость лежит в плоскости, перпендикулярной вектору магнитной индукции. Сила Лоренца сообщает электрону центростремительное ускорение. По второму закону Ньютона
\[ \begin{align}
  & F={{m}_{e}}\cdot a \\
 & B\cdot e\cdot \upsilon ={{m}_{e}}\cdot \frac{{{\upsilon }^{2}}}{R} \\
 & \upsilon =\frac{R\cdot B\cdot e}{{{m}_{e}}} \\
 & {{E}_{k}}=\frac{{{m}_{e}}\cdot {{\upsilon }^{2}}}{2}=\frac{{{R}^{2}}\cdot {{B}^{2}}\cdot {{e}^{2}}}{2\cdot {{m}_{e}}} \\
\end{align}
 \]

: Re: Магнитное поле из сборника Савченко Н.Е.
: Kivir 21 January 2013, 19:59

699.Электрон влетает в плоский горизонтальный конденсатор параллельно его пластинам со скоростью υ₀ = 2∙10⁷ м/с. Длина конденсатора l = 10 см, напряжённость электростатического поля конденсатора E = 200 В/см. При вылете из конденсатора электрон попадает в магнитное поле, линии которого перпендикулярны силовым линиям электростатического поля. Магнитная индукция поля B = 2∙10^-2 Тл. Найти радиус винтовой траектории электрона в магнитном поле.
Решение: пусть нижняя пластина конденсатора заряжена положительно (см. рис.). Силовые линии электростатического поля направлены вертикально вверх. В этом случае электрон, пролетая конденсатор, отклонится немного вниз. Вылетев из конденсатора, частица попадает в магнитное поле и движется по винтовой траектории (по условию). Тогда силовые линии магнитного поля направлены горизонтально (пусть совпадают по направлению с вектором начальной скорости электрона) – только в этом случае электрон влетит в магнитное поле под острым углом к силовым линиям и будет двигаться по винтовой линии. (Силовые линии магнитного поля могут ещё иметь направление перпендикулярное плоскости рисунка, «от нас» или «к нам».Но в этом случае электрон вылетит из конденсатора перпендикулярно силовым линиям и будет далее двигаться по окружности, что не подходит по условию задачи). Пусть начало координат находится в точке влёта, ось OX направлена горизонтально, OY – вертикально вниз (см. рис.).В этой системе координат движение электрона можно представить как результат сложения двух движений: равномерного движения со скоростью υ₀ вдоль оси OX и равноускоренного движения с ускорением a вдоль оси OY.  Наличие ускорения объясняется тем, что в этом направлении на электрон действует сила со стороны электростатического поля конденсатора: F = e∙E, где e = 1,6∙10^-19 Кл – заряд электрона (силой тяжести можно пренебречь). Модуль ускорения определим из второго закона Ньютона
\[ \begin{array}{l} {F=m\cdot a,e\cdot E=m\cdot a,} \\ {a=\frac{e\cdot E}{m} ,} \end{array} \]
где m = 9,1∙10^-31 кг – масса электрона. В момент вылета модуль скорости электрона будет равен υ, и скорость будет направлена под углом α к силовым линиям магнитного поля.Проекцию скорости на ось OY определим из кинематического уравнения зависимости скорости от времени
\[ \upsilon _{y} =\upsilon _{0y} +a_{y} \cdot t, \]
где υ_0y = 0, a_y = a. Время движения электрона t внутри конденсатора легко определить т.к. вдоль пластин конденсатора (вдоль OX) электрон движется равномерно, тогда t = l/υ₀, и проекция скорости на OY
\[ \upsilon _{y} =a\cdot t=\frac{e\cdot E}{m} \cdot \frac{l}{\upsilon _{0}}. \]
После пролёта конденсатора электрон попадает в горизонтальное магнитное поле. На частицу будет действовать сила Лоренца

F_l = e∙υ_y∙B,

обусловленная наличием вертикальной составляющей скорости υ_y, вследствие этого частица будет двигаться по окружности: сила Лоренца перпендикулярна скорости электрона, поэтому сообщает ему центростремительное ускорение (одновременно с движением по окружности, частица движется вдоль поля со скоростью υ₀ – в итоге – движение по винтовой линии).Радиус этой окружности определим, составив уравнение на основании второго закона Ньютона:
\[ \begin{array}{l} {F_{l} =m\cdot a_{c} ,e\cdot \upsilon _{y} \cdot B=m\cdot \frac{\upsilon _{y}^{2} }{R} ,} \\ {R=\frac{m}{e\cdot B} \cdot \upsilon _{y} =\frac{m}{e\cdot B} \cdot \frac{e\cdot E}{m} \cdot \frac{l}{\upsilon _{0} } ,} \\ {R=\frac{E\cdot l}{\upsilon _{0} \cdot B} .} \end{array} \]
Ответ: 5 мм.

: Re: Магнитное поле из сборника Савченко Н.Е.
: Kivir 21 January 2013, 20:02

700. Заряженная частица, ускоренная разностью потенциалов U = 200 В, влетела в точке 1 (рис. 234) в однородное магнитное поле с индукцией B = 4 ∙ 10^–3 Тл, перпендикулярной скорости частицы, и вылетела в точке 2. Расстояние l между точками 1 и 2  равно 1 м. Найти отношение заряда частицы к её массе.
Решение:найдём скорость заряженной частицы, при вылете из электрического поля. Работа сил эклектического поля равна изменению кинетической энергии частицы (начальную скорость частицы считаем равной нулю)
\[ \begin{array}{l} {A=\Delta E_{k} =E_{k} ,} \\ {q\cdot U=\frac{m\cdot \upsilon ^{2} }{2} ,} \\ {\upsilon =\sqrt{\frac{2q\cdot U}{m} } ,} \end{array} \]
где q – заряд частицы, m  - масса.
В магнитном поле на частицу действует сила Лоренца, модуль которой
\[ F=q\cdot \upsilon \cdot B. \]
Сила Лоренца перпендикулярна скорости электрона, поэтому сообщает ему центростремительное ускорение. Запишем второй закона Ньютона:
\[ \begin{array}{l} {F=m\cdot a_{c} ,} \\ {q\cdot \upsilon \cdot B=m\cdot \frac{\upsilon ^{2}}{R},} \\ {R\cdot q\cdot B=m\cdot \upsilon .} \end{array} \]
Как видно из рисунка, расстояние между точками 1 и 2 равно диаметру окружности, т.е. l = 2R, тогда подставив R и υ, получим
\[ \begin{array}{l} {\frac{l}{2} \cdot q\cdot B=m\cdot \sqrt{\frac{2q\cdot U}{m} } ,} \\ {l^{2} \cdot q^{2} \cdot B^{2} =8\cdot q\cdot U\cdot m,} \\ {\frac{q}{m} =\frac{8\cdot U}{l^{2} \cdot B^{2}}.} \end{array} \]
Ответ: 1 ∙ 10⁸ Кл/кг.

: Re: Магнитное поле из сборника Савченко Н.Е.
: Kivir 21 January 2013, 20:06

701. Однородное магнитное поле с индукцией B создано в полосе шириной d (рис. 235). Пучок электронов направляется перпендикулярно полосе и линиям магнитной индукции. При каких скоростях электроны не пролетят на другую сторону полосы («отразятся» от «магнитной стенки»)? Заряд электрона e, его масса m_e.
Решение: в магнитном поле на частицу действует сила Лоренца, модуль которой (скорость электронов перпендикулярна индукции магнитного поля)
\[ F=q\cdot \upsilon \cdot B=e\cdot \upsilon \cdot B. \]
Сила Лоренца перпендикулярна скорости электрона, поэтому сообщает ему центростремительное ускорение. Из второго закона Ньютона получим
\[ \begin{array}{l} {F=m\cdot a_{c} ,} \\ {e\cdot \upsilon \cdot B=m_{e} \cdot \frac{\upsilon ^{2} }{R} ,} \\ {R=\frac{m_{e} \cdot \upsilon }{e\cdot B}.} \end{array} \]
Чтобы электроны не вылетели из полосы радиус траектории их движения (радиус окружности) не должен превысить ширину полосы, т.е.  R ≤ d.
Это будет выполнено при скоростях
\[ \begin{array}{l} {\frac{m_{e} \cdot \upsilon }{e\cdot B} \le d,} \\ {\upsilon \le \frac{d\cdot e\cdot B}{m_{e}}.} \end{array} \]

: Re: Магнитное поле из сборника Савченко Н.Е.
: Kivir 21 January 2013, 21:25

702. Заряженная частица влетает в однородное магнитное поле под углом α = 45º к линиям магнитной индукции и движется по винтовой линии с шагом h = 20 мм. Магнитная индукция поля B= 1 ∙ 10^–2 Тл, заряд частицы q = 1,6 ∙ 10^–19 Кл. Определить импульс частицы.
Решение: разложим вектор скорости на две составляющие (см. рис.): υ₁ – направленную вдоль линий магнитной индукции и υ₂, перпендикулярную этим линиям. Модули этих составляющих: υ₁ = υ∙cosα, υ₂ = υ∙sinα соответственно. На частицу действует сила Лоренца, вследствие чего частица движется по окружности в плоскости, перпендикулярной магнитному полю. Период обращения частицы по окружности:
\[ T=\frac{2\pi \cdot R}{\upsilon _{2}}, \]
где R – радиус окружности, который легко определить, составив уравнение на основании второго закона Ньютона:
\[ \begin{array}{l} {F=m\cdot a_{c} ,q\cdot \upsilon _{2} \cdot B=m\cdot \frac{\upsilon _{2}^{2} }{R} ,} \\ {R=\frac{m\cdot \upsilon _{2} }{q\cdot B} =\frac{m\cdot \upsilon \cdot \sin \alpha }{q\cdot B} .\left(*\right)} \end{array}  \]
Таким образом, период вращения
\[ T=\frac{2\pi \cdot m}{q\cdot B} .\left(**\right) \]
При этом частица движется равномерно (со скоростью υ₁) вдоль поля, и за один оборот смещается на расстояние (шаг винтовой линии):
\[ h=\upsilon _{1} \cdot T=m\cdot \upsilon \cdot \cos \alpha \cdot \frac{2\pi }{q\cdot B} .\left(***\right) \]
Т.е. траекторией движения частицы является винтовая линия радиуса R, шагом h, по которой частица движется с периодом вращения T.
Учтём, что модуль импульса это произведение массы на скорость (p = m∙υ):
\[ \begin{array}{l} {h=\upsilon _{1} \cdot T=p\cdot \cos \alpha \cdot \frac{2\pi }{q\cdot B} ,} \\ {p=\frac{h\cdot q\cdot B}{2\pi \cdot \cos \alpha }.} \end{array} \]
Ответ: 7,2 ∙10^–24 кг∙м/с.

: Re: Магнитное поле из сборника Савченко Н.Е.
: Kivir 21 January 2013, 21:31

703. Электрон влетает в однородное магнитное поле со скоростью υ = 2 ∙10⁵ м/с, которая составляет с вектором магнитной индукции B угол α = 60º. При каком наименьшем значении индукции магнитного поля электрон сможет оказаться в точке, лежащей на той же линии магнитной индукции на расстоянии L = 2 см от начальной точки? Отношение заряда электрона к его массе e / m_e = 1,76 ∙10¹¹ Кл/кг.
Решение: заряженная частица, влетающая в магнитное поле под острым углом к вектору магнитной индукции, будет двигаться в нём по винтовой линии, «навиваясь» на линии магнитной индукции. Формулы для расчёта периода вращения частицы, радиуса винтовой линии и шага выведены в решении задачи №702 (формулы (*), (**), (***)).
Чтобы электрон оказался в точке, лежащей на той же линии магнитной индукции, шаг винтовой линии h, должен быть равен расстоянию до этой точки L (h = L), т.е. за время одного оборота частица сместится на L. Только в этом случае индукция магнитного поля будет минимальной (при большем значении  магнитной индукции расстояние L может включать несколько шагов h винтовой линии). Шаг винтовой линии, с учётом, что заряд электрона e, его масса m_e:
\[ h=m_{e} \cdot \upsilon \cdot \cos \alpha \cdot \frac{2\pi }{e\cdot B}. \]
Откуда минимальная индукция магнитного поля
\[ B=\frac{2\pi \cdot \upsilon \cdot \cos \alpha }{\frac{e}{m_{e} } \cdot L} . \]
Ответ: 1,78 ∙10^-4 ≈ 2 ∙10^–4 Тл.

: Re: Магнитное поле из сборника Савченко Н.Е.
: Kivir 21 January 2013, 21:42

704. Протон влетает в однородное магнитное поле с индукцией B = 0,40 Тл под углом α = 30º к направлению вектора B и движется по винтовой линии радиуса R = 0,50 см. Найти кинетическую энергию протона. Масса протона m = 1,67 ∙ 10^–27 кг, заряд протона q = 1,6 ∙ 10^–19 Кл.
Решение: заряженная частица, влетающая в магнитное поле под острым углом к вектору магнитной индукции, будет двигаться в нём по винтовой линии, «навиваясь» на линии магнитной индукции. Формулы для расчёта периода вращения частицы, радиуса винтовой линии и шага выведены в решении задачи №702 (формулы (*), (**), (***)). Воспользуемся формулой для радиуса винтовой линии, выразим скорость протона
\[ \begin{array}{l} {R=\frac{m\cdot \upsilon \cdot \sin \alpha }{q\cdot B} ,} \\ {\upsilon =\frac{R\cdot q\cdot B}{m\cdot \sin \alpha }.} \end{array} \]
Подставив полученное выражение для скорости в формулу кинетической энергии, получим ответ
\[ \begin{array}{l} {E_{k} =\frac{m\cdot \upsilon ^{2} }{2} ,} \\ {E_{k} =\frac{R^{2} \cdot q^{2} \cdot B^{2} }{2m\cdot \sin ^{2} \alpha } .} \end{array} \]
Ответ:1,2 ∙ 10^–16 Дж.

: Re: Магнитное поле из сборника Савченко Н.Е.
: Kivir 21 January 2013, 21:46

705. Электрон влетает в однородное магнитное поле со скоростью υ = 400 км/с, под углом α = 60º  к вектору магнитной индукции B, модуль которого  B = 1 ∙ 10^–3 Тл. Сколько витков опишет электрон вдоль магнитного поля на расстоянии r = 2 м? Отношение заряда электрона к его массе e / m_e = 1,76 ∙10¹¹Кл/кг.
Решение: заряженная частица, влетающая в магнитное поле под острым углом к вектору магнитной индукции, будет двигаться в нём по винтовой линии. Формулы для расчёта периода вращения частицы, радиуса винтовой линии и шага выведены в решении задачи №702 (формулы (*), (**), (***)).Шаг винтовой линии, с учётом, что заряд электрона e, его масса m_e:
\[ h=m_{e} \cdot \upsilon \cdot \cos \alpha \cdot \frac{2\pi }{e\cdot B}. \]
Шаг винтовой линии h – расстояние, на которое смещается частица за один оборот. Таким образом, количество оборотов N можно определить, как отношение расстояния r к шагу h, т.е.
\[ N=\frac{r}{h} =\frac{r\cdot \frac{e}{m_{e} } \cdot B}{2\pi \cdot \upsilon \cdot \cos \alpha }. \]
Ответ:  280 ≈ 3 ∙ 10².

: Re: Магнитное поле из сборника Савченко Н.Е.
: Kivir 21 January 2013, 22:17

706. Пройдя ускоряющую разность потенциалов U = 3,52 ∙ 10³ В, электрон влетает в однородное магнитное поле с индукцией B = 0,01 Тл перпендикулярно линиям магнитной индукции и движется по окружности радиуса R = 2,0 см. Вычислить отношение заряда электрона к его массе.
Решение: скорость электрона определим следующим образом: работа сил электрического поля равна изменению кинетической энергии частицы (начальную скорость частицы считаем равной нулю)
\[ \begin{array}{l} {A=\Delta E_{k} =E_{k} ,} \\ {e\cdot U=\frac{m_{e} \cdot \upsilon ^{2}}{2},} \\ {\upsilon =\sqrt{\frac{2\cdot e\cdot U}{m_{e}}},} \end{array} \]
где e – заряд электрона, m_e - его масса.
В магнитном поле на частицу действует сила Лоренца, модуль которой (учитываем, что электрон влетает перпендикулярно полю)
\[ F=e\cdot \upsilon \cdot B. \]
Сила Лоренца перпендикулярна скорости электрона, поэтому сообщает ему центростремительное ускорение. Из второго закона Ньютона получим:
\[ \begin{array}{l} {e\cdot \upsilon \cdot B=m_{e} \cdot \frac{\upsilon ^{2} }{R} ,} \\ {R\cdot e\cdot B=m_{e} \cdot \upsilon .} \end{array} \]
Подставим в полученное уравнение выражение для скорости и выразим удельный заряд электрона (отношение заряда частицы к её массе):
\[ \begin{array}{l} {R^{2} \cdot e^{2} \cdot B^{2} =m_{e}^{2} \cdot \frac{2\cdot e\cdot U}{m_{e} } ,} \\ {\frac{e}{m_{e} } =\frac{2\cdot U}{B^{2} \cdot R^{2}}.} \end{array} \]
Ответ: 1,76 ∙ 10¹¹ Кл/кг

: Re: Магнитное поле из сборника Савченко Н.Е.
: Kivir 22 January 2013, 20:42

707.Электрон влетает в область пространства с однородным электростатическим полем напряжённостью E = 6 ∙ 10⁴ В/м перпендикулярно линиям напряжённости. Определить модуль и направление вектора магнитной индукции однородного магнитного поля, которое надо создать в этой области для того, чтобы электрон пролетел её, не испытывая отклонений. Энергия электрона W = 1,6 ∙ 10^–16 Дж, масса электрона m_e = 9,1 ∙ 10^–31 кг.
Решение: пусть напряжённость однородного электростатического поля направлена вертикально вниз, электрон летит горизонтально. На электрон действует сила со стороны электростатического поля F₁ = e∙E, направленная вертикально вверх (электрон отрицательно заряжен, e = 1,6 ∙ 10^–19 Кл). Со стороны магнитного поля на частицу действует сила Лоренца F₂ = e∙υ∙B∙sinα. Чтобы электрон пролетел область электрического и магнитного полей без отклонений, сила Лоренца должна быть равной по модулю и противоположной по направлению силе F₁ со стороны электростатического поля. В этом случае сумма сил, действующих на электрон, будет равна нулю (силой тяжести пренебрегаем ввиду её малости) и частица будет двигаться равномерно, прямолинейно. Направление индукции магнитного поля определим, зная направление силы Лоренца и скорости частицы, по правилу левой руки (см. рис.). Получаем
\[ \vec{B}\bot \vec{E},\vec{B}\bot \vec{\upsilon }. \]
Скорость частицы определим из энергии (кинетическая)
\[ W=\frac{m_{e} \cdot \upsilon ^{2} }{2} ,\upsilon =\sqrt{\frac{2W}{m_{e}} }. \]
Из условия равенства сил, найдём индукцию магнитного поля (sinα = 1)
\[ \begin{array}{l} {F_{1} =F_{2} ,e\cdot E=e\cdot \upsilon \cdot B,} \\ {B=\frac{E}{\upsilon } =E\cdot \sqrt{\frac{m_{e} }{2W}}.} \end{array} \]
Ответ: 3 мТл.

: Re: Магнитное поле из сборника Савченко Н.Е.
: Kivir 22 January 2013, 20:48

708. Электрон движется по окружности радиуса R = 10 см в однородном магнитном поле с индукцией B = 1 Тл. Параллельно магнитному полю возбуждается однородное электростатическое поле напряжённостью E = 100 В/м. За какой промежуток времени кинетическая энергия электрона возрастёт в n = 5 раз?
Решение: в магнитном поле на частицу действует сила Лоренца, модуль которой
\[ F_{1} =e\cdot \upsilon _{1} \cdot B, \]
где e – заряд электрона, m_e  - его масса, υ₁ – скорость электрона.
Сила Лоренца перпендикулярна скорости электрона, поэтому сообщает ему центростремительное ускорение. Из второго закона Ньютона получим:
\[ \begin{array}{l} {e\cdot \upsilon _{1} \cdot B=m_{e} \cdot \frac{\upsilon _{1}^{2}}{R} ,} \\ {\upsilon _{1} =\frac{R\cdot e\cdot B}{m_{e}}.(1)} \end{array} \]
После возбуждения однородного электростатического поля на электрон начнёт действовать сила со стороны этого поля F₂ = e∙E, и частица начнёт ускоряться в горизонтальном направлении вдоль оси 0X (см. рис.). Проекцию ускорения на ось 0X определим из второго закона Ньютона
\[ \begin{array}{l} {F_{2} =m_{e} \cdot a,e\cdot E=m_{e} \cdot a,} \\ {a=\frac{e\cdot E}{m_{e}}.} \end{array} \]
Пусть пройдёт время t, за которое кинетическая энергия частицы возрастает в n раз. Скорость частицы в этот момент обозначим υ₂. Определим эту скорость.
С одной стороны (по условию):
\[ \begin{array}{l} {E_{k2} =n\cdot E_{k1} ,\frac{m_{e} \cdot \upsilon _{2}^{2} }{2} =n\cdot \frac{m_{e} \cdot \upsilon _{1}^{2}}{2},} \\ {\upsilon _{2}^{2} =n\cdot \upsilon _{1}^{2}.(2)} \end{array} \]
С другой стороны υ₂ можно найти по теореме Пифагора (см. рис.):
\[ \upsilon _{2}^{2} =\upsilon _{1}^{2} +\upsilon _{x}^{2},(3) \]
где υ_x– проекция скорости на ось 0X, которую определим из уравнения зависимости скорости от времени (учтём, что проекция начальной скорости электрона (υ₁) на эту ось равна нулю):
\[ \begin{array}{l} {\upsilon _{x} =\upsilon _{0x} +a\cdot t,} \\ {\upsilon _{x} =\frac{e\cdot E}{m_{e}} \cdot t.(4)} \end{array} \]
Подставим уравнения (1), (2) и (4) в (3) и выразим искомое время
\[ \begin{array}{l} {n\cdot \upsilon _{1}^{2} =\upsilon _{1}^{2} +a^{2} \cdot t^{2} ,} \\ {t=\frac{\upsilon _{1} }{a} \cdot \sqrt{n-1} ,} \\ {t=\frac{RB}{E} \cdot \sqrt{n-1}.} \end{array} \]
Ответ: 2 ∙ 10^–3 с.

: Re: Магнитное поле из сборника Савченко Н.Е.
: Kivir 22 January 2013, 20:53

716. С какой угловой скоростью надо вращать прямой проводник вокруг одного из его концов в однородном магнитном поле в плоскости, перпендикулярной силовым линиям поля, чтобы в проводнике возникла ЭДС E_i= 0,30 В? Длина проводника l = 20 см. Магнитная индукция поля B = 0,20 Тл.
Решение: при вращении проводника в нём возникает ЭДС индукции, модуль которой (закон электромагнитной индукции):
\[ E_{i} =\frac{\Delta \Phi }{\Delta t} =\frac{B\cdot \Delta S}{\Delta t}, \]
где ΔS – площадь, которую «прочерчивает» проводник за время Δt. Пусть проводник сделает один оборот. В этом случае ΔS равно площади круга, радиусом l, а время равно периоду вращения T, т.е.

ΔS = π∙l² и Δt = T.

Подставим в закон электромагнитной индукции и учтём, что угловая ско-рость вращения ω = 2π/T
\[ E_{i} =\frac{B\cdot \pi \cdot l^{2} }{T} =\frac{2\pi }{T} \cdot \frac{B\cdot l^{2} }{2} =\frac{\omega \cdot B\cdot l^{2}}{2}. \]
Откуда искомая угловая скорость
\[ \omega =\frac{2E_{i} }{B\cdot l^{2}}. \]
Ответ: 75 рад/с.

: Re: Магнитное поле из сборника Савченко Н.Е.
: Kivir 28 January 2013, 11:31

717. Длина подвижного проводника АС равна l, его сопротивление R (рис. 238). Сопротивление неподвижного проводника, по которому скользит без трения проводник АС, пренебрежимо мало. Перпендикулярно плоскости проводников приложено магнитное поле с индукцией B. Какую силу F нужно приложить к проводнику АС для того, чтобы он двигался с постоянной скоростью υ? Система проводников находится в горизонтальной плоскости.
  Решение: подвижный проводник АС вместе с неподвижным представляет собой замкнутый контур. При движении проводника АС на его концах возникнет разность потенциалов (ЭДС индукции)
\[ E_{i} =B\cdot l\cdot \upsilon \cdot \sin 90^{\circ } =B\cdot l\cdot \upsilon. \]
 В контуре потечёт индукционный ток и на перемычку АС будет действовать сила Ампера, модуль которой
\[ \begin{array}{l} {I_{i} =\frac{E_{i} }{R} =\frac{B\cdot l\cdot \upsilon }{R} ,} \\ {F_{A} =I_{i} \cdot B\cdot l\cdot \sin 90^{\circ } =\frac{B^{2} \cdot l^{2} \cdot \upsilon }{R}.} \end{array} \]
Т.к. проводник АС движется равномерно, то приложенная сила F равна по модулю и противоположна по направлению силе Ампера (сумма сил должна быть рана нулю). Получаем
\[ F=\frac{B^{2} \cdot l^{2} \cdot \upsilon}{R}. \]

: Re: Магнитное поле из сборника Савченко Н.Е.
: Kivir 01 February 2013, 20:30

730. В катушке индуктивности сила тока линейно увеличивается со скоростью ΔI/Δt = 10 А/с. Найти ЭДС индукции, возникающую при этом в катушке, если резонансная частота ν колебательного контура, образованного из этой катушки и конденсатора ёмкостью C  = 100 пФ, равна 100 кГц.
Решение: ЭДС самоиндукции, возникающая в замкнутом контуре (катушке индуктивности)
\[ E_{si} =\left|-L\cdot \frac{\Delta I}{\Delta t}\right|, \]
где L – индуктивность катушки. Для нахождения индуктивности воспользуемся формулой Томсона, для расчёта периода (частоты) электромагнитных колебаний
\[ \begin{array}{l} {\nu =\frac{1}{T} =\frac{1}{2\pi \cdot \sqrt{L\cdot C}} ,} \\ {L=\frac{1}{4\pi ^{2} \cdot \nu ^{2} \cdot C}.} \end{array} \]
Получаем
\[ \left|E_{si} \right|=\frac{1}{4\pi ^{2} \cdot \nu ^{2} \cdot C} \cdot \frac{\Delta I}{\Delta t}. \]
Ответ: 0,25 В.

: Re: Магнитное поле из сборника Савченко Н.Е.
: Kivir 01 February 2013, 20:39

729. Катушка индуктивностью L = 25 мГн и сопротивлением R = 5 Ом соединена параллельно с резистором, на котором поддерживается постоянное напряжение U = 50 В (см. рис. 240). Найти энергию, которая выделится при размыкании ключа К. Какая средняя ЭДС самоиндукции возникает при этом в катушке, если энергия будет выделяться в течение времени  Δt = 10 мс?
Решение: катушка соединена параллельно с резистором, поэтому напряжение на ней U . Зная сопротивление катушки, определим ток в ней:
\[ I=\frac{U}{R}. \]
При размыкании ключа ток в катушке будет равномерно убывать до нуля  (I₂ = 0) за время Δt. Тогда средняя ЭДС самоиндукции
\[ E_{si} =-L\cdot \frac{\Delta I}{\Delta t} =-L\cdot \frac{I_{2} -I}{\Delta t} =L\cdot \frac{I}{\Delta t} =\frac{L\cdot U}{R\cdot \Delta t}. \]
Перед тем, как разомкнули ключ, через катушку шёл ток, и энергия магнитного поля катушки с током была равна
\[ W_{1} =\frac{L\cdot I^{2}}{2} =\frac{L\cdot U^{2} }{2\cdot R^{2}}. \]
После размыкания ключа, ток в цепи подает до нуля и конечная энергия магнитного поля катушки будет равна нулю (W₂ = 0). Согласно закона сохранения и превращения энергии, энергия выделившаяся  в цепи будет равна изменению энергии системы, т.е.
\[ W=\left|W_{2} -W_{1} \right|=\frac{L\cdot U^{2}}{2\cdot R^{2}}.  \]
Ответ: 1,3 Дж, 25 В.

: Re: Магнитное поле из сборника Савченко Н.Е.
: Kivir 01 February 2013, 20:45

728. Катушка, индуктивность которой  L = 0,06 мГн, и резистор соединены параллельно и подключены к источнику тока (рис. 240). По катушке идёт ток силой  I = 1,2 А. При размыкании ключа  К сила тока в катушке изменяется практически до нуля за время Δt = 120 мкс. Определить среднюю ЭДС самоиндукции, возникающую в катушке, и количество теплоты, которое выделится в катушке и резисторе.
Решение: согласно закона сохранения и превращения энергии, энергия выделившаяся  в цепи (количество теплоты) будет равна первоначальной энергии системы, т.к. конечная энергия магнитного поля катушки равна нулю
\[ Q=W=\frac{L\cdot I^{2}}{2}. \]
Будем считать, что при размыкании ключа ток в катушке будет равномерно убывать до нуля  (I₂ = 0) за время Δt. Тогда средняя ЭДС самоиндукции, возникающая в катушке
\[ E_{si} =-L\cdot \frac{\Delta I}{\Delta t} =-L\cdot \frac{I_{2} -I}{\Delta t} =L\cdot \frac{I}{\Delta t}. \]
Ответ: 0,6 В, 4,3 ∙ 10^–5 Дж.

: Re: Магнитное поле из сборника Савченко Н.Е.
: Kivir 02 February 2013, 22:12

725. Катушка, имеющая N = 100 витков, расположена в однородном магнитном поле с индукцией B = 1 ∙ 10^–2 Тл. Плоскости её витков перпендикулярны линиям магнитной индукции. Площадь одного витка S = 10 см². Катушка присоединена к баллистическому гальванометру так, что сопротивление всей цепи R = 10 Ом. При повороте катушки на угол α, через гальванометр проходит заряд q = 5 ∙ 10^–5 Кл. Определить угол α.
Решение: при повороте катушки, изменяется угол между вектором магнитной индукции B и нормалью к поверхности (плоскости витка), что приводит к возникновению ЭДС индукции. За время Δt по цепи пройдёт заряд
\[ q=I_{i} \cdot \Delta t, \]
где I_i – сила индукционного тока. По закону Ома
\[ I_{i}=\frac{E_{i}}{R}, \]
где E_i – ЭДС индукции. Воспользуемся законом электромагнитной индукции
\[ E_{i}=-\frac{\Delta \Phi }{\Delta t}\cdot N, \]
где N – число витков, ΔΦ = Φ₂ – Φ₁ – изменение магнитного потока. Начальный и конечный магнитный поток, соответственно
\[ \begin{array}{l}{\Phi _{1} =B\cdot S\cdot \cos 0{}^\circ =B\cdot S,} \\ {\Phi _{2} =B\cdot S\cdot \cos \alpha.} \end{array} \]
тогда заряд, прошедший по цепи будет равен
\[ \begin{array}{l}{q=\frac{E_{i}}{R}\cdot \Delta t=-\frac{\Phi _{2} -\Phi _{1}}{R\cdot \Delta t} \cdot N\cdot \Delta t=\frac{\Phi _{1} -\Phi _{2}}{R} \cdot N,} \\ {q=\frac{B\cdot S\cdot N}{R} \cdot \left(1-\cos \alpha \right).} \end{array} \]
Выразим косинус и определим угол
\[ \begin{array}{l} {\cos \alpha =1-\frac{q\cdot R}{B\cdot S\cdot N},} \\ {\alpha =\arccos \left(1-\frac{q\cdot R}{B\cdot S\cdot N} \right).} \end{array} \]
Ответ: 60°.

: Re: Магнитное поле из сборника Савченко Н.Е.
: Kivir 02 February 2013, 22:20

723. Квадратная рамка со стороной a = 50 см помещена в однородное магнитное поле так, что плоскость её перпендикулярна линиям магнитной индукции. Определить магнитную индукцию, если известно, что при исчезновении магнитного поля в течение времени τ = 0,01 с среднее значение ЭДС индукции, возникающей в рамке, E_i = 50 мВ.
Решение: воспользуемся законом электромагнитной индукции
\[ E_{i} =-\frac{\Delta \Phi }{\Delta t}, \]
где Δt = τ,  ΔΦ = Φ₂ – Φ₁ – изменение магнитного потока. Начальный и конечный магнитный поток, соответственно
\[ \Phi _{1} =B\cdot S\cdot \cos 0{}^\circ =B\cdot S=B\cdot a^{2},\Phi _{2} =0. \]
здесь учли, что площадь квадратной рамки S = a² и в конечном итоге – поле исчезло. Подставим в закон и выразим магнитную индукцию B
\[ \begin{array}{l} {E_{i} =-\frac{0-B\cdot a^{2}}{\tau},} \\ {B=\frac{E_{i} \cdot \tau }{a^{2}}.} \end{array} \]
Ответ: 2 ∙ 10^–3 Тл.

: Re: Магнитное поле из сборника Савченко Н.Е.
: Kivir 02 February 2013, 22:28

719. Плоский виток изолированного провода перегибают, придавая ему вид «восьмёрки», а затем помещают в однородное магнитное поле перпендикулярно силовым линиям. Длина витка l = 120 см. Петли «восьмёрки» можно считать окружностями с отношением радиусов 1:2. Какой силы ток пройдёт по проводу, если поле будет убывать с постоянной скоростью ΔB/Δt = 1 ∙ 10^–2 Тл/с? Сопротивление витка R = 1 Ом.
Решение: при изменении индукции магнитного поля в замкнутом контуре возникает ЭДС индукции. После того, как виток перегнули в виде «восьмёрки», получилось два контура. Провод изолирован, поэтому в месте накладки  провода контакт отсутствует. Пусть индукция магнитного поля направлена «от нас» в плоскость рисунка (см. рис.). Тогда по правилу Ленца: ЭДС индукции создаст в каждом контуре такой индукционный ток, что магнитный поток этого тока будет противодействовать изменению магнитного потока, вызывающего этот ток. А так как магнитное поле убывает, то индукция магнитного поля индукционного тока имеет тоже направление, что и внешнее поле. Используя правило правого винта, можно изобразить эквивалентную схему (см. рис.) – здесь E₁ и E₂ – источники тока с ЭДС равными ЭДС индукции в каждом из контуров соответственно (внутреннее сопротивление источников равно нулю). После «разгибания восьмёрки» получаем электрическую схему (см. рис.) с последовательно соединёнными ЭДС («+» одного источника соединён с «+» второго), R - сопротивление провода. Пусть ток в цепи направлен против часовой стрелки, направление обхода контура выберем по направлению тока (см. рис.).
Запишем второе правило Кирхгофа
\[ E_{2} -E_{1} =I\cdot R. \]
ЭДС определим по закону электромагнитной индукции
\[ E_{1}=-\frac{\Delta \Phi _{1}}{\Delta t} =\frac{S_{1} \cdot \Delta B}{\Delta t} ,E_{2} =-\frac{\Delta \Phi _{2} }{\Delta t} =\frac{S_{2} \cdot \Delta B}{\Delta t}, \]
здесь S₁ и S₂ – площади петель «восьмёрки» соответственно. По условию: радиусы относятся как 1:2, сумма длин окружностей равна длине провода. Пусть радиус первой (меньшей) окружности r₁, большей – r₂. Тогда
\[ \begin{array}{l}{r_{2} =2\cdot r_{1},2\pi \cdot r_{1}+2\pi \cdot r_{2} =l,} \\ {r_{1} =\frac{l}{6\pi } ;r_{2} =\frac{l}{3\pi },} \\ {S_{1} =2\pi \cdot r_{1}^{2} =\frac{l^{2}}{36\pi },} \\ {S_{2} =2\pi \cdot r_{2}^{2} =\frac{l^{2}}{9\pi }.} \end{array} \]
Подставим полученные выражения для площади в ЭДС, ЭДС в правило Кирхгофа и выразим искомую силу тока
\[ \begin{array}{l}{E_{1}=\frac{l^{2}}{36\pi} \cdot \frac{\Delta B}{\Delta t} ,E_{2}=\frac{l^{2}}{9\pi}\cdot\frac{\Delta B}{\Delta t},}\\{I=\frac{E_{2} -E_{1}}{R}=\frac{l^{2}}{R}\cdot\frac{\Delta B}{\Delta t}\cdot \left(\frac{1}{9\pi }-\frac{1}{36\pi } \right),} \\ {I=\frac{l^{2}}{12\pi \cdot R} \cdot \frac{\Delta B}{\Delta t}.} \end{array} \]
Ответ: 3,82 ∙ 10^–4 ≈ 4 ∙ 10^–4 A.

: Re: Магнитное поле из сборника Савченко Н.Е.
: Kivir 02 February 2013, 22:56

720. Проводящий стержень ОА длиной l = 10 см вращается с угловой скоростью ω = 300 рад/с вокруг оси, проходящей через один из его концов, в плоскости, перпендикулярной магнитной индукции B, модуль которой B = 1 Тл. Свободный конец стержня скользит по проводнику в виде дуги окружности, радиус которой равен длине стержня. Между точкой C проводника и точкой закрепления стержня на оси вращения включена батарея, как показано на рис. 239. На этом же рисунке указаны направления вектора магнитной индукции B и вращения стержня. Сопротивление стержня, проводника и контакта между ними пренебрежимо малы по сравнению с внутренним сопротивлением батареи. Найти напряжение на зажимах батареи.
Решение: при вращении стержня в нём возникает ЭДС индукции, модуль которой (закон электромагнитной индукции):
\[ E_{i}=\frac{\Delta \Phi }{\Delta t} =\frac{B\cdot \Delta S}{\Delta t}, \]
где ΔS – площадь, которую «прочерчивает» стержень за время Δt. Пусть стержень  сделает один оборот. В этом случае ΔS равно площади круга, радиусом l, а время равно периоду вращения T, т.е.

ΔS = π∙l² и Δt = T.

Подставим в закон электромагнитной индукции и учтём, что угловая ско-рость вращения ω = 2π/T
\[ E_{i} =\frac{B\cdot \pi \cdot l^{2} }{T} =\frac{2\pi }{T} \cdot \frac{B\cdot l^{2}}{2} =\frac{\omega \cdot B\cdot l^{2}}{2}. \]
При движении стержня, на свободные заряды внутри него действует сила со стороны магнитного поля (сила Лоренца), направление которой определяется правилом левой руки. Под действием этой силы положительные заряды будут «накапливаться» на конце стержня, который скользит по проводнику (точка А). Изобразим эквивалентную схему (см. рис.)
Запишем второе правило Кирхгофа (направление обхода по току, сопротивление R мало по условию и им пренебрегаем), найдём силу тока в цепи I
\[ \begin{array}{l} {E_{i} -E=I\cdot r,} \\ {I=\frac{E_{i} -E}{r} .} \end{array} \]
Напряжение на участке цепи, если этот участок содержит источник тока с ЭДС E и внутренним сопротивлением r равно (направление обхода по току)
\[ U=-E-I\cdot r. \]
С учётом полученного выражения для силы тока в цепи, имеем
\[ U=-E-\left(\frac{E_{i}-E}{r}\right)\cdot r=-E-\left(E_{i}-E\right)=-E_{i} . \]
Знак «минус» можно опустить, получаем ответ
\[ U=E_{i} =\frac{\omega \cdot B\cdot l^{2}}{2}. \]
Ответ: 1,5 В.