Решение. Определим оптическую разность хода, учитываем, что при отражении от границы вода - стекло фаза меняется на π (потеря полуволны), а при отражении от границы стекло вода фаза не меняется то:\[ \Delta =2\cdot n\cdot {{\delta }_{k}}+\frac{\lambda }{2}\ \ \ (1). \]
n – показатель преломления воды, δk – расстояние между линзой и плоскостью для к – го кольца.
Запишем условие минимума:\[ \begin{align}
& \Delta =(2\cdot k+1)\cdot \frac{\lambda }{2}\ \ \ (2),\ (2\cdot k+1)\cdot \frac{\lambda }{2}=2\cdot n\cdot {{\delta }_{k}}+\frac{\lambda }{2},\ {{\delta }_{k}}=\frac{k\cdot \lambda }{2\cdot n}\ \ \ (3). \\
& {{R}^{2}}=r_{k}^{2}+{{(R-{{\delta }_{k}})}^{2}}\ \ \ (4). \\
\end{align} \]
Подставим (3) в (4) и выразим радиус темных колец Ньютона для отраженного света: \[ {{r}_{k}}=\sqrt{k\cdot \frac{\lambda \cdot R}{n}}\ (5).{{r}_{4}}=\sqrt{\frac{590\cdot {{10}^{-9}}\cdot 5}{1,33}}=221,8\cdot {{10}^{-4}}. \]
Ответ: 22,18 мм.