Решение.
Запишем релятивистскую формулу для нахождения импульса протона:\[ p=\frac{{{m}_{0}}\cdot \upsilon }{\sqrt{1-\frac{{{\upsilon }^{2}}}{{{c}^{2}}}}}\ \ \ (1). \]
m0 – масса протона, m0 = 1,67∙10-27 кг.
Кинетическая энергия релятивистской частицы определяется по формуле:
\[ \begin{align}
& T=(m-{{m}_{0}})\cdot {{c}^{2}}=(\frac{{{m}_{0}}}{\sqrt{1-\frac{{{\upsilon }^{2}}}{{{c}^{2}}}}}-{{m}_{0}})\cdot {{c}^{2}},\ \sqrt{1-\frac{{{\upsilon }^{2}}}{{{c}^{2}}}}=(\frac{{{c}^{2}}}{\frac{T}{{{m}_{0}}}+{{c}^{2}}}), \\
& \upsilon =c\cdot \sqrt{1-{{(\frac{{{c}^{2}}}{\frac{T}{{{m}_{0}}}+{{c}^{2}}})}^{2}}}\ \ \ (2). \\
\end{align} \]
По условию задачи Т1 = 3 ГэВ = 3∙109∙1,6∙10-19 Дж = 4,8∙10-10 Дж. Протон потерял треть энергии.
Т2 = 2 ГэВ = 2∙109∙1,6∙10-19 Дж = 3,2∙10-10 Дж. с = 3∙108 м/с.
Подставим (2) в (1) определим импульс релятивистской частицы.\[ \begin{align}
& p=\frac{{{m}_{0}}\cdot \upsilon }{{{c}^{2}}}\cdot (\frac{T}{{{m}_{0}}}+{{c}^{2}})=\frac{{{m}_{0}}}{c}\cdot \sqrt{{{(\frac{T}{{{m}_{0}}}+{{c}^{2}})}^{2}}-{{c}^{4}}}\ \ \ (3). \\
& {{p}_{1}}=\frac{{{m}_{0}}}{c}\cdot \sqrt{{{(\frac{{{T}_{1}}}{{{m}_{0}}}+{{c}^{2}})}^{2}}-{{c}^{4}}}\ \ \ (4),\ {{p}_{2}}=\frac{{{m}_{0}}}{c}\cdot \sqrt{{{(\frac{{{T}_{2}}}{{{m}_{0}}}+{{c}^{2}})}^{2}}-{{c}^{4}}}\ \ \ (5). \\
\end{align} \]
Определим релятивистское изменение импульса.\[ \frac{{{p}_{1}}}{{{p}_{2}}}=\frac{\frac{{{m}_{0}}}{c}\cdot \sqrt{{{(\frac{{{T}_{1}}}{{{m}_{0}}}+{{c}^{2}})}^{2}}-{{c}^{4}}}}{\frac{{{m}_{0}}}{c}\cdot \sqrt{{{(\frac{{{T}_{2}}}{{{m}_{0}}}+{{c}^{2}})}^{2}}-{{c}^{4}}}}=\frac{\sqrt{{{(\frac{{{T}_{1}}}{{{m}_{0}}\cdot {{c}^{2}}}+1)}^{2}}-1}}{\sqrt{{{(\frac{{{T}_{2}}}{{{m}_{0}}\cdot {{c}^{2}}}+1)}^{2}}-1}}=1,37. \]