Форум сайта alsak.ru

Задачи и вопросы по физике => Капельян Пособие для подготовки к ЦТ 2011 => : Виктор 02 March 2014, 18:36

: 12. Напряжённость электростатического поля
: Виктор 02 March 2014, 18:36
Решения задач из книги:
Капельян, С.Н. Физика: пособие для подготовки к централизованному тестированию /С.Н. Капельян, В.А. Малашонок. — Минск: Аверсэв, 2011. — 480 с.

12. Напряжённость электростатического поля

Тест А1
1 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10926.msg41498.html#msg41498) 2 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10926.msg41499.html#msg41499) 3 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10926.msg41500.html#msg41500) 4 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10926.msg41501.html#msg41501) 5 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10926.msg41502.html#msg41502) 6 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10926.msg41503.html#msg41503) 7 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10926.msg41504.html#msg41504) 8 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10926.msg41505.html#msg41505) 9 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10926.msg41506.html#msg41506) 10 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10926.msg41507.html#msg41507)

Тест А2
1 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10926.msg41508.html#msg41508) 2 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10926.msg41509.html#msg41509) 3 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10926.msg41510.html#msg41510) 4 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10926.msg41511.html#msg41511) 5 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10926.msg41512.html#msg41512) 6  (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10926.msg41513.html#msg41513) 7  (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10926.msg41514.html#msg41514) 8 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10926.msg41515.html#msg41515) 9  (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10926.msg41516.html#msg41516) 10 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10926.msg41517.html#msg41517)

Тест В1
1 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10926.msg45019.html#msg45019) 2 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10926.msg45020.html#msg45020) 3 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10926.msg45022.html#msg45022) 4 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10926.msg45023.html#msg45023) 5 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10926.msg45024.html#msg45024) 6 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10926.msg45025.html#msg45025) 7 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10926.msg45026.html#msg45026) 8 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10926.msg45027.html#msg45027) 9  (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10926.msg45028.html#msg45028) 10  (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10926.msg45029.html#msg45029)

Тест В2
1  (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10926.msg45031.html#msg45031) 2  (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10926.msg45032.html#msg45032) 3  (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10926.msg45033.html#msg45033) 4  (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10926.msg45034.html#msg45034) 5  (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10926.msg45035.html#msg45035) 6  (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10926.msg45037.html#msg45037) 7  (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10926.msg45038.html#msg45038) 8  (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10926.msg45039.html#msg45039) 9  (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10926.msg45040.html#msg45040) 10  (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10926.msg45041.html#msg45041)
: Re: 12. Напряжённость электростатического поля
: Виктор 25 April 2014, 21:28
А1.1. В некоторую точку электростатического поля  помещён заряд q = 5,0∙10–9 Кл. Модуль силы, действующей на этот заряд, F = 2,5∙10–6 Н. Модуль напряжённости поля в этой точке равен:
1)  1,0∙10–14 В/м;      2)  2,0∙10–3 В/м;       3)  5,0∙102 В/м;  4)  5,0 кВ/м;      5)  5,0∙102  кВ/м.
Решение: воспользуемся определением напряжённости
\[ E=\frac{F}{q}. \]
Ответ: 3)  5,0∙102 В/м.
: Re: 12. Напряжённость электростатического поля
: Виктор 25 April 2014, 21:31
А1.2. Электростатическое поле создано двумя точечными электрическими зарядами +q и +q (рис. 12.1,а). Вектор напряжённости электростатического поля в точке A направлен вдоль прямой (рис. 12.1, б):
Решение: направление вектора Е совпадает с направлением силы, которая действует на положительный заряд. Если поле создается положительным зарядом, то вектор Е направлен вдоль радиуса-вектора от заряда во внешнее пространство (отталкивание пробного положительного заряда); если поле создается отрицательным зарядом, то вектор Е направлен к заряду. В нашем случае заряды, создающие поле – положительные. Имеем в точке А два вектора напряжённости и воспользовавшись принципом суперпозиции , получим ответ номер 4.
Ответ: 4).
: Re: 12. Напряжённость электростатического поля
: Виктор 25 April 2014, 21:34
А1.3. Если модуль напряжённости поля точечного заряда в точке, удалённой от него на расстояние r1 = 12 см, E1 = 36 В/м, то модуль напряжённости поля в точке, расположенной на расстоянии r2 = 8,0 см от этого заряда, будет равен:
1)  16 В/м;      2)  24 В/м;       3)  81 В/м;   4)  36 В/м;     5)  92  В/м.
Решение: модуль напряжённости поля точечного заряда
\[ E=\frac{k\cdot \left|q\right|}{r^{2}}, \]
где k = 9∙109 Н∙м2/Кл2. Таким образом, для двух точек поля
\[ \begin{array}{l} {E_{1} =\frac{k\cdot \left|q\right|}{r_{1}^{2}} ,{\rm \; \; \; \; \; }E_{2} =\frac{k\cdot \left|q\right|}{r_{2}^{2}},} \\ {\frac{E_{1}}{E_{2}} =\frac{r_{2}^{2} }{r_{1}^{2}},{\rm \; \; \; \; \; \; \; }E_{2} =E_{1} \cdot \left(\frac{r_{1}}{r_{2}} \right)^{2}.} \end{array} \]
Ответ: 3)  81 В/м.
: Re: 12. Напряжённость электростатического поля
: Виктор 25 April 2014, 21:38
А1.4. Единица напряжённости электростатического поля, выраженная через основные единицы СИ, равна:
Решение: воспользуемся определением напряжённости
\[ E=\frac{F}{q}. \]
Сила F измеряется в Ньютонах и 1Н = кг∙м∙с-2 (2 закон Ньютона), заряд измеряется в Кулонах и 1Кл = А∙с (определение силы тока), подставив, получим ответ 2)
: Re: 12. Напряжённость электростатического поля
: Виктор 25 April 2014, 21:41
А1.5. Если электрон влетел с некоторой скоростью υ0 в пространство плоского заряженного конденсатора (рис. 12.2), то он будет:
1) двигаться ускоренно в направлении движения;
2) двигаться замедленно в направлении движения;
3) двигаться по параболе вниз;
4) двигаться по параболе вверх;
5) вращаться по окружности.
Решение: на электрон будет действовать сила со стороны электростатического поля конденсатора, направленная вертикально вверх (говоря простым языком – отрицательно заряженный электрон притягивается к положительно заряженной пластине). При этом у электрона появится ускорение вверх (2 закон Ньютона). Траекторией движения электрона в этом случае будет парабола.
Ответ: 4) Двигаться по параболе вверх.
: Re: 12. Напряжённость электростатического поля
: Виктор 25 April 2014, 21:43
А1.6. Модуль напряжённости E электростатического поля в некоторой точке, если величину заряда и расстояние от точки до точечного заряда, образующего поле, уменьшить в 2 раза:
1) увеличится в 2 раза;     2) уменьшится в 2 раза;     3) увеличится в 8 раз;      4) уменьшится в 8 раз;     5) не изменится.
Решение: модуль напряжённости поля точечного заряда
\[ E=\frac{k\cdot \left|q\right|}{r^{2}}. \]
При уменьшении заряда, числитель уменьшается, а следовательно, и результат также в 2 раза. При уменьшении расстояния, знаменатель уменьшается в 4 раза, при этом результат увеличивается в 4 раза. Получаем, что напряжённость поля в данной точке уменьшилась в 2 раза и увеличилась в 4 раза – в конечном итоге увеличилась в 2 раза.
Ответ: 1) увеличится в 2 раза.
: Re: 12. Напряжённость электростатического поля
: Виктор 25 April 2014, 21:46
А1.7. Три точечных электрических заряда расположены в трёх вершинах квадрата (рис. 12.3). При этом вектор напряжённости электростатического поля в четвёртой вершине будет направлен вдоль прямой:
1) 1;      2) 2;       3) 3;         4) 4;   5) напряжённость поля в точке А будет равна нулю.
Решение: если поле создается положительным зарядом, то вектор Е направлен вдоль радиуса-вектора от заряда во внешнее пространство. Каждый из трёх зарядов в точке А создаёт поле, напряжённость которого подчиняется принципу суперпозиции. Направления напряжённостей полей зарядов  вершинах совпадут по направлению с векторами 2,4 и 3. Сумма векторов будет иметь направление 3.
Ответ: 3) 3.
: Re: 12. Напряжённость электростатического поля
: Виктор 25 April 2014, 21:52
А1.8. Напряжённость электростатического поля между двумя бесконечными разноимённо заряженными плоскостями с поверхностной плотно-стью заряда σ равна:
\[ 1)\frac{\sigma }{2\cdot \varepsilon _{0}} ;{\rm \; \; \; \; }2)\frac{\sigma }{4\pi \cdot \varepsilon _{0}} ;{\rm \; \; \; \; }3)\varepsilon _{0} \sigma ;{\rm \; \; \; \; }4)\sigma ;{\rm \; \; \; \; \; }5)\frac{\sigma }{\varepsilon _{0}}. \]
Решение: модуль напряжённости электростатического поля бесконечной заряженной плоскости
\[ E_{0} =\frac{\sigma }{2\cdot \varepsilon _{0}}. \]
У положительно заряженной плоскости напряжённость направлена от неё, у отрицательно заряженной – к ней (см. рис.) Воспользуемся принципом суперпозиции
\[ \begin{array}{l} {\vec{E}=\vec{E}_{1} +\vec{E}_{2},} \\ {E=2E_{0} =\frac{\sigma }{\varepsilon _{0}}.} \end{array} \]
Ответ: 5)
: Re: 12. Напряжённость электростатического поля
: Виктор 25 April 2014, 21:55
А1.9. Заряд q = 5,0 ∙10-9 Кл образует электростатическое поле. В точке, находящейся на расстоянии r = 25 см от заряда, модуль напряжённости поля будет равен:
1)  0,072 В/м;     2)  0,13 кВ/м;     3)  5,0∙107 В/м;  4)  0,72 кВ/м;   5)  0,36 кВ/м.
Решение: модуль напряжённости поля точечного заряда
\[ E=\frac{k\cdot \left|q\right|}{r^{2}}. \]
После подстановки данных, получим
Ответ: 4)  0,72 кВ/м.
: Re: 12. Напряжённость электростатического поля
: Виктор 25 April 2014, 21:57
А1.10. В однородном электростатическом поле, силовые линии которого направлены вертикально, находится в равновесии пылинка массой m = 4,0 мкг с зарядом  q = 1,0 нКл. Модуль напряжённости электростатического поля будет равен:
   1)  4,0 В/м;      2)  40 В/м;      3)  0,4 кВ/м;      4)  4,0 кВ/м;      5)  40 кВ/м.
Решение: пылинка находится в равновесии, значит, сумма сил, действующих на неё равна нулю. На пылинку действуют: mg – сила тяжести, направленная вертикально вниз и F = q∙E – сила со стороны электростатического поля, направленная вертикально вверх. Эти силы равны по модулю и противоположны по направлению. Таким образом:
\[ \begin{array}{l} {q\cdot E=mg,} \\ {E=\frac{mg}{q}.} \end{array} \]
Ответ: 2)  40 В/м.
: Re: 12. Напряжённость электростатического поля
: Виктор 25 April 2014, 22:01
А2.1. Два точечных заряда +q и +9q расположены в вакууме на расстоянии l = 60 см друг от друга. Модуль напряжённости электростатического поля будет равен нулю на расстоянии от второго заряда, равном:
1) 35 см;     2) 38 см;     3) 45 см;     4) 48 см;     5)50 см.
Решение: если поле создается положительным зарядом, то вектор Е направлен вдоль радиуса-вектора от заряда во внешнее пространство. Каждый из зарядов создаёт поле, напряжённость которого подчиняется принципу суперпозиции. Нас интересует точка поля, в которой результирующая напряжённость будет равна нулю. Эта точка будет расположена между зарядами на линии их соединяющей, ближе к первому заряду (он меньше). Пусть искомое расстояние равно x, напряжённость поля первого заряда E1, второго заряда – E2 (см. рис.). Сумма двух векторов равна нулю, когда они равны по модулю и противоположны по направлению. Таким образом, используя формулу модуля напряжённости поля точечного заряда, получим
\[ \begin{array}{l} {E_{1} =E_{2},} \\ {\frac{k\cdot q}{\left(l-x\right)^{2} } =\frac{k\cdot 9q}{x^{2}} ,{\rm \; \; \; \; \; \; \; }\sqrt{\frac{1}{\left(l-x\right)^{2} } } =\sqrt{\frac{9}{x^{2}}},} \\ {\frac{1}{l-x} =\frac{3}{x},{\rm \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \;  \; \; \; }x=3\cdot \left(l-x\right),} \\ {x=\frac{3}{4} \cdot l.} \end{array} \]
Ответ: 3) 45 см.
: Re: 12. Напряжённость электростатического поля
: Виктор 25 April 2014, 22:05
А2.2. Два точечных заряда q1 = 10 нКл и q2 = 40 нКл находятся на расстоянии r = 10 см друг от друга. Модуль напряжённости электростатического поля в точке, удалённой на x1 = 6,0 см от первого заряда и на x2 = 8,0 см от второго равен:
   1)  1,8 кВ/м;     2)  2,7 кВ/м;     3)  5,4 кВ/м;     4)  62 кВ/м;     5)  0,11 МВ/м.
Решение: если поле создается положительным зарядом, то вектор напряжённости направлен вдоль радиуса-вектора от заряда во внешнее пространство. Каждый из зарядов создаёт  в точке А поле. Пусть напряжённость поля первого заряда E1, второго заряда – E2 (см. рис.). Результирующая напряжённость E подчиняется принципу суперпозиции. Так как угол в вершине A прямой (легко доказать, проверив теорему Пифагора: r – гипотенуза, x1, x2 - катеты), то вектор E можно найти по теореме Пифагора.
\[ \begin{array}{l} {\vec{E}=\vec{E}_{1} +\vec{E}_{2},{\rm \; \; \; \; \; \; \; }E=\sqrt{E_{1}^{2} +E_{2}^{2}},} \\ {E=k\cdot \sqrt{\frac{q_{1}^{2} }{x_{1}^{4} } +\frac{q_{2}^{2}}{x_{2}^{4}}}.} \end{array} \]
Ответ: 4)  62 кВ/м.
: Re: 12. Напряжённость электростатического поля
: Виктор 25 April 2014, 22:13
А2.3. Два одинаковых одноимённых заряда q1 = q2 = q = 5,0∙10-9 Кл каждый расположены в вершинах равностороннего треугольника, длина стороны которого a = 20 см. Модуль напряжённости электростатического поля в третьей вершине треугольника равен:
   1)  1,0 кВ/м;     2)  1,1 кВ/м;     3)  2,0 кВ/м;     4)  2,3 кВ/м;     5)  3,9 кВ/м.
Решение: пусть напряжённость поля первого заряда в третьей вершине равна E1, второго заряда – E2. Вектора E1 и  E2 равны по модулю  E1=E2, т.к. заряды одинаковые, и расстояния от них до третьей вершины равные. Результирующая напряжённость E подчиняется принципу суперпозиции. Модуль напряжённости найдём, воспользовавшись теоремой косинусов для нахождения диагонали параллелограмма т.к. угол между векторами будет равен 60° (равносторонний треугольник). (более подробное объяснение и рисунок в решении задания А2.2, только треугольник не прямоугольный, а равносторонний). Таким образом
\[ \begin{array}{l} {\vec{E}=\vec{E}_{1} +\vec{E}_{2},{\rm \; \; \; \; \; \; \; }E^{2} =E_{1}^{2} +E_{2}^{2} +2\cdot E_{1} \cdot E_{2} \cdot \cos 60{}^\circ ,} \\ {E=\frac{k\cdot q}{a^{2} } \cdot \sqrt{3}.} \end{array} \]
Ответ: 3)  2,0 кВ/м.
: Re: 12. Напряжённость электростатического поля
: Виктор 25 April 2014, 22:15
А2.4. Модуль напряжённости E электростатического поля в центре тонкого кольца радиусом R = 10 см, по которому равномерно распределён заряд q = 20∙10-6 Кл, равен:
1)  4∙10-4 В/м;     2)  2∙10-6 В/м;     3)  2∙10-4 В/м;     4)  2∙10-3 В/м;     5)  0.
Решение: разобьём кольцо на малые участки. Пусть заряд такого участка равен qi и его можно считать точечным. Каждый такой заряд в центре кольца создаёт электростатическое поле напряжённостью Ei, направленной от заряда qi (заряд кольца положительный). Результирующая напряжённость подчиняется принципу суперпозиции. (см. рис.) Векторы напряжённости от диаметрально противоположных точек кольца будут равны по модулю и противоположны по направлению, поэтому их сумма будет равна нулю. Просуммировав все Ei, в итоге получим результирующую напряжённость равную нулю.
Ответ: 5)  0.
: Re: 12. Напряжённость электростатического поля
: Виктор 25 April 2014, 22:18
А2.5. В однородном электростатическом поле, силовые линии напряжённости которого направлены вертикально, находится в равновесии капелька жидкости радиусом R с зарядом q. Плотность жидкости ρ. Модуль напряжённости E электростатического поля равен:
\[ 1)\frac{4}{3} \cdot \pi \cdot R^{3} \cdot \rho \cdot g\cdot q;2)\frac{\frac{4}{3} \cdot \pi \cdot R^{3} \cdot \rho \cdot g}{q} ;3)\frac{\frac{4}{3} \cdot \pi \cdot R^{3} \cdot \rho }{q} ;4)\frac{q}{\frac{4}{3} \cdot \pi \cdot R^{3} \cdot \rho \cdot g} ;5)\frac{4\cdot \pi \cdot R^{3} \cdot \rho \cdot g}{q}. \]
Решение: капелька находится в равновесии, значит, сумма сил, действующих на неё равна нулю. На капельку действуют: mg – сила тяжести, направленная вертикально вниз и F = q∙E – сила со стороны электростатического поля, направленная вертикально вверх. Эти силы равны по модулю и противоположны по направлению. Массу капельки определим, зная плотность жидкости и объём (капельку считаем шаром с радиусом R). Таким образом:
\[ \begin{array}{l} {q\cdot E=mg,} \\ {m=\rho \cdot V=\rho \cdot \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot R^{3},} \\ {E=\frac{\rho \cdot \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot R^{3} \cdot g}{q}.} \end{array} \]
Ответ: 2).
: Re: 12. Напряжённость электростатического поля
: Виктор 25 April 2014, 22:20
А2.6. Протон, заряд которого q, а масса m, влетает со скоростью, модуль которой υ0, в однородное электростатическое поле, модуль напряжённости которого E. Направление скорости протона противоположно направлению силовых линий поля. До остановки протона пройдёт время:
\[ 1)\frac{m\cdot \upsilon _{0}^{2}}{q\cdot E} ;{\rm \; \; \; \; \; }2)\frac{m\cdot \upsilon _{0}^{2}}{2q\cdot E} ;{\rm \; \; \; \; \; }3)\frac{m\cdot \upsilon _{0}}{q\cdot E} ;{\rm \; \; \; \; }4)\frac{m\cdot \upsilon _{0}}{2q\cdot E} ;{\rm \; \; \; \; }5)\frac{2m\cdot \upsilon _{0}}{q\cdot E} . \]
Решение: на протон со стороны электростатического поля действует сила  F = q∙E , направленная вдоль силовых линий (заряд протона - положительный). На протон действует только одна сила (силой тяжести можно пренебречь) и эта сила сообщает протону ускорение a, направленное против скорости движения протона (направление силы и ускорения совпадают). Протон движется равнозамедленно и через промежуток времени t остановится (скорость υ протона будет равна нулю). Запишем второй закон Ньютона и кинематическое уравнение зависимости скорости от времени:
\[ \begin{array}{l} {q\cdot E=m\cdot a,{\rm \; \; \; \; \; \; }a=\frac{q\cdot E}{m},} \\ {\upsilon =\upsilon _{0} -a\cdot t,{\rm \; \; \; \; \; \; }t=\frac{\upsilon _{0} }{a},} \\ {t=\frac{m\cdot \upsilon _{0}}{q\cdot E}.} \end{array} \]
Ответ: 3).
: Re: 12. Напряжённость электростатического поля
: Виктор 25 April 2014, 22:23
А2.7. Если электрон начинает двигаться в однородном электростатическом поле, модуль напряжённости которого E = 2,0 В/м, то модуль его скорости возрастает до υ = 1000 км/с за промежуток времени, равный:
1) 1,4∙10-6 с; 2) 2,9∙10-6 с; 3) 5,7∙10-6 с; 4) 8,0∙10-6 с; 5) 10∙10-6 с.
Решение: на электрон со стороны электростатического поля действует сила  и сообщает ему ускорение, т.е. электрон (обладает элементарным зарядом и начальной скоростью υ0=0) движется равноускоренно. (подробнее смотри решение задания А.2.6). Тогда
\[ \begin{array}{l} {a=\frac{q\cdot E}{m} ,} \\ {\upsilon =\upsilon _{0} +a\cdot t,} \\ {t=\frac{m\cdot \upsilon }{q\cdot E}.} \end{array} \]
Ответ: 2) 2,9∙10-6 с.
: Re: 12. Напряжённость электростатического поля
: Виктор 25 April 2014, 22:28
А2.8.  Одинаковые капельки ртути диаметром d в количестве N, заряженные одинаковыми зарядами q, сливаются в одну большую каплю. Модуль напряжённости E на расстоянии от центра, равном четверти диаметра большой капли, составляет:
\[ 1)\frac{8q\cdot \sqrt[{3}]{N}}{\pi \cdot \varepsilon _{0} \cdot d^{2}} ;{\rm \; \; \; \; \; }2)\frac{2q\cdot \sqrt[{3}]{N} }{\pi \cdot \varepsilon _{0} \cdot d^{2} } ;{\rm \; \; \; \; \; }3)\frac{q\cdot N}{\pi \cdot \varepsilon _{0} \cdot d^{2}} ;{\rm \; \; \; \; }4)\frac{8q\cdot \sqrt{N}}{\pi \cdot \varepsilon _{0} \cdot d^{3}} ;{\rm \; \; \; \; }5)0. \]
Решение: после слияния капель в одну большую суммарный заряд системы не изменится. Т.к. ртуть является проводником, то заряд большой капли будет распределён по её поверхности. То есть, внутри этой капли электрических зарядов нет, поэтому, из теоремы К. Гаусса следует, что напряженность поля внутри будет равна нулю. См. теорию в электронном учебнике физики    http://www.physbook.ru/ (http://www.physbook.ru/) , раздел электростатика.
Ответ: 5)  0.
: Re: 12. Напряжённость электростатического поля
: Виктор 25 April 2014, 22:32
А2.9. В однородном электростатическом поле, силовые линии напряжённости которого направлены горизонтально, в вакууме подвешен на длинной нити шарик массой m с зарядом q. Модуль напряжённости электростатического поля E. Угол отклонения нити от вертикали равен:
\[ 1)\arcsin \left(\frac{qE}{mg} \right);{\rm \; \; }2)arctg\left(\frac{qE}{mg} \right);{\rm \; \; }3)\arccos \left(\frac{qE}{mg} \right);{\rm \; \; }4)arctg\left(\frac{mg}{qE} \right);{\rm \; \; }5)\arccos \left(\frac{mg}{qE} \right). \]
Решение: На шарик действуют: mg – сила тяжести, направленная вер-тикально вниз, F = q∙E – сила со стороны электростатического поля, направленная горизонтально, вдоль силовых линий и T – сила натяжения нити, направленная вдоль нити. Под действием этих сил шарик отклоняется от вертикали, и нить образует с вертикалью угол α (см. рис.). Так как шарик находится в равновесии, то сумма сил равна нулю, соответственно и сумма проекций этих сил на выбранную систему координат также рана нулю.
В проекциях на систему координат:
Ось X:  F = T∙ sinα,
Ось Y:  mg = T∙ cosα,
разделим уравнения,
\[ \begin{array}{l} {tg\alpha =\frac{qE}{mg},} \\ {\alpha =arctg\left(\frac{qE}{mg} \right).} \end{array} \]
Ответ: 2).
: Re: 12. Напряжённость электростатического поля
: Виктор 25 April 2014, 22:35
А2.10.  Одинаковые капельки ртути количеством N и диаметром d, заряженные одинаковыми зарядами q, сливаются в одну большую каплю. Модуль напряжённости E на поверхности большой капли равен:
\[ 1)\frac{1}{4\pi \cdot \varepsilon _{0} } \frac{q\cdot \sqrt[{3}]{N} }{d^{2} } ;{\rm \; \; \; \; \; }2)\frac{1}{\pi \cdot \varepsilon _{0} } \frac{q\cdot \sqrt{N} }{d^{2} } ;{\rm \; \; \; \; \; }3)\frac{q\cdot N}{\pi \cdot \varepsilon _{0} \cdot d^{2} } ;{\rm \; \; \; \; }4)\frac{q\cdot N}{4\pi \cdot \varepsilon _{0} \cdot d^{2} } ;{\rm \; \; \; \; }5)\frac{q\cdot \sqrt[{3}]{N} }{\pi \cdot \varepsilon _{0} \cdot d^{2}}. \]
Решение: Т.к. ртуть является проводником, то заряд большой капли будет распределён по её поверхности. После слияния капель в одну большую суммарный заряд системы не изменится, т.е. заряд большой капли Q = N∙q. При этом объём большой капли равен суммарному объёму малых капель. Пусть r – радиус большой капли, тогда, считая капли шаровидными, получим
\[ \begin{array}{l} {\frac{4}{3} \pi \cdot r^{3} =N\cdot \frac{\pi \cdot d^{3}}{6},} \\ {r=\frac{d\cdot \sqrt[{3}]{N}}{2}.} \end{array} \]
Напряжённость поля заряженного шара (сферы) в точке, удалённой от центра на расстояние равное или большее радиуса можно рассчитать по формуле модуля напряжённости поля точечного заряда. Таким образом
\[ \begin{array}{l} {E=\frac{1}{4\pi \cdot \varepsilon _{0}} \cdot \frac{Q}{r^{2} } =\frac{1}{4\pi \cdot \varepsilon _{0}} \frac{4\cdot N\cdot q}{d^{2} \cdot \left(\sqrt[{3}]{N} \right)^{2}},} \\ {E=\frac{q\cdot \sqrt[{3}]{N} }{\pi \cdot \varepsilon _{0} d^{2}}.} \end{array} \]
Ответ: 5).
: Re: 12. Напряжённость электростатического поля
: Виктор 28 March 2015, 16:54
В1.1. В вершинах квадрата последовательно закреплены точечные заряды q1 = 2,0∙10-9 Кл, q2 = – 6,0∙10-9 Кл, q3 =6,0∙10-9 Кл, q4 = – 8,0∙10-9 Кл. Диагональ квадрата d = 20 см. Модуль напряжённости электростатического поля в центре квадрата равен …кВ/м.
Решение: сделаем рисунок. Учтём, что вектор напряжённости электростатического поля точечного заряда направлен от положительного, либо к отрицательному заряду. Электростатическое поле создано системой зарядов, следовательно, подчинятся принципу суперпозиции.
\[ \begin{array}{l} {E_{i} =\frac{k\cdot q_{i}}{r^{2}} =\frac{4\cdot k\cdot \left|q_{i} \right|}{d^{2}},} \\ {\vec{E}=\left(\vec{E}_{1} +\vec{E}_{3} \right)+\left(\vec{E}_{2} +\vec{E}_{4} \right)=\vec{E}_{31} +\vec{E}_{41} ,} \\ {E=\sqrt{E_{31}^{2} +E_{41}^{2} } ,} \\ {E_{31} =E_{3} -E_{1} =\frac{4\cdot k}{d^{2} } \cdot \left(\left|q_{3} \right|-\left|q_{1} \right|\right),} \\ {E_{42} =E_{4} -E_{2} =\frac{4\cdot k}{d^{2} } \cdot \left(\left|q_{4} \right|-\left|q_{2} \right|\right),} \\ {E=\frac{4\cdot k}{d^{2}} \cdot \sqrt{\left(\left|q_{3} \right|-\left|q_{1} \right|\right)^{2} +\left(\left|q_{4} \right|-\left|q_{2} \right|\right)^{2}}.} \end{array} \]
Ответ: 4025 В/м = 4 кВ/м
: Re: 12. Напряжённость электростатического поля
: Виктор 28 March 2015, 17:01
В1.2. Два точечных заряда q1 = 2,0 мкКл и q2 = 4,0 мкКл находятся в точках A(1;0) и В(0;3) прямоугольной системы координат x, y (x, y в метрах). Проекция вектора напряжённости электростатического поля на ось x в точке C(3;0) равна … кВ/м.
Решение: сделаем рисунок, учтём, что вектор напряжённости поля положительного заряда направлен «от него». Электростатическое поле создано системой зарядов, следовательно, подчинятся принципу суперпозиции. В проекциях на ось x:
\[ \begin{array}{l} {E_{1} =\frac{k\cdot q_{1} }{r_{1}^{2} } ,E_{2} =\frac{k\cdot q_{2}}{r_{2}^{2}} ,} \\ {E_{x} =E_{1x} +E_{2x} =E_{1} +E_{2} \cdot \cos 45{}^\circ } \\ {E_{x} =k\cdot \left(\frac{q_{1}}{r_{1}^{2}} +\frac{q_{2}}{r_{2}^{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \right).} \end{array} \]
Как видно из рисунка расстояния r1 = 2 м, r2 = 3√2 (теорема Пифагора)
Ответ: 5914 В/м = 5,9 кВ/м
: Re: 12. Напряжённость электростатического поля
: Виктор 28 March 2015, 17:06
В1.3. На расстоянии r   = 30 см от центра проводящего шара радиусом R = 10 см модуль напряжённости электростатического поля E = 200 В/м. Поверхностная плотность заряда на шаре равна … нКл/м2.
Решение: модуль напряжённости  электростатического поля заряженного шара (сферы) в точке, удалённой от центра на расстояние большее радиуса (вне сферы), рассчитывается также как напряжённость поля точечного заряда. Пусть заряд шара равен q. Найдём его.
\[ E=\frac{k\cdot q}{r^{2}} ,{\rm \; \; \; \; }q=\frac{E\cdot r^{2}}{k} . \]
Поверхностная плотность заряда σ = q/S, где S = 4π∙R2 – площадь поверхности шара. Таким образом, после подстановки
\[ \sigma =\frac{q}{S} =\frac{E\cdot r^{2}}{4\pi \cdot k\cdot R^{2}}. \]
Ответ: ≈ 16 нКл/м2.
: Re: 12. Напряжённость электростатического поля
: Виктор 28 March 2015, 17:09
В1.4. Количество электронов, которое нужно удалить из медного шара радиусом R  = 10 см, что бы модуль напряжённости на его поверхности был E = 1,2 кВ/м, составляет … . Полученное значение умножьте на 10-9.
Решение: при удалении электронов, шар приобретёт положительный заряд q = N∙e, где e = 1,6∙10-19 Кл – заряд электрона, N – искомое количество электронов. Напряжённость поля шара на поверхности
\[ \begin{array}{l} {E=\frac{k\cdot q}{R^{2}} =\frac{k\cdot N\cdot e}{R^{2} },} \\ {N=\frac{E\cdot R^{2}}{k\cdot e} =8,3\cdot 10^{-9}.} \end{array} \]
Ответ: 8,3
: Re: 12. Напряжённость электростатического поля
: Виктор 28 March 2015, 17:12
В1.5. Пылинка, масса которой m = 10 мг, поднимается вертикально вверх с ускорением, модуль которого a = 6,0 м/с2, в однородном электростатическом поле, модуль напряжённости которого E = 1000 В/м. Силовые линии поля направлены вниз. Сопротивление воздуха не учитывать. Число избыточных электронов на пылинке равно … . Полученное значение умножьте на 10-12.
Решение: на пылинку действуют силы: mg – сила тяжести, направленная вертикально вниз и F = q∙E – сила со стороны электростатического поля, направленная вертикально вверх, где  заряд  пылинки q = N∙e, e = 1,6∙10-19 Кл – заряд электрона, N – искомое количество избыточных электронов. Эти силы сообщают пылинке ускорение, направленное вверх. Пусть координатная ось  Y направлена вверх, тогда второй закон Ньютона в проекциях на эту ось:
\[ \begin{array}{l} {q\cdot E-mg=m\cdot a,{\rm \; \; \; \; \; \; }N\cdot e\cdot E=m\cdot \left(g+a\right),} \\ {N=\frac{m}{e\cdot E} \cdot \left(g+a\right)=1\cdot 10^{12}.} \end{array} \]
Ответ: 1.
: Re: 12. Напряжённость электростатического поля
: Виктор 28 March 2015, 17:15
В1.6. Пылинка массой m = 10 мг и зарядом q = 1,0 нКл, движется в  однородном электростатическом поле вертикально вниз с ускорением, модуль которого a = 3,0 м/с2. Сопротивление воздуха не учитывать. Модуль напряжённости электростатического поля равен … кВ/м.
Решение: на пылинку действуют силы: mg – сила тяжести, направлен-ная вертикально вниз и F = q∙E – сила со стороны электростатического поля, направленная вертикально вверх. Направление силы F со стороны электростатического поля однозначно, т.к. если бы её не было, то пылинка двигалась бы с ускорением свободного падения (сопротивления воздуха нет).  Эти силы сообщают пылинке ускорение, направленное вниз. Пусть координатная ось Y направлена вниз, тогда второй закон Ньютона в проекциях на эту ось:
\[ \begin{array}{l} {mg-q\cdot E=m\cdot a,} \\ {E=\frac{m}{q} \cdot \left(g-a\right).} \end{array} \]
Ответ: 70 кВ/м.
: Re: 12. Напряжённость электростатического поля
: Виктор 28 March 2015, 17:19
В1.7. Электрон влетает со скоростью, модуль которой υ0 = 1,2 ∙ 106 м/с, в однородное электростатическое поле, модуль напряжённости которого E = 2,0 кВ/м, перпендикулярно силовым линиям поля. Изменение кинетической энергии электрона за время Δt = 10 нс равно … эВ.
Решение: на электрон со стороны электростатического поля действует сила F = q∙E , направленная против силовых линий (заряд электрона q = 1,6∙10-19 Кл  - отрицательный). На частицу действует только одна сила (силой тяжести можно пренебречь) и эта сила сообщает электрону ускорение a, направленное перпендикулярно начальной скорости (направление силы и ускорения совпадают) см. рис. Пусть через промежуток времени Δt скорость электрона будет равна υ. Её можно определить через проекции по теореме Пифагора. Запишем второй закон Ньютона и кинематическое уравнение зависимости скорости от времени в проекциях на систему координат:
\[ \begin{array}{l} {q\cdot E=m\cdot a,{\rm \; \; \; \; \; \; }a=\frac{q\cdot E}{m} ,} \\ {\upsilon _{x} =\upsilon _{0} ,{\rm \; \; \; \; \; \; }\upsilon _{y} =a\cdot \Delta t=\frac{q\cdot E}{m} \cdot \Delta t,} \\ {\upsilon ^{2} =\upsilon _{x}^{2} +\upsilon _{y}^{2} =\upsilon _{0}^{2} +\left(\frac{q\cdot E}{m} \cdot \Delta t\right)^{2}.} \end{array} \]
Таким образом, изменение кинетической энергии электрона будет равно
\[ \begin{array}{l} {\Delta E=E_{2} -E_{1} =\frac{m\cdot \upsilon ^{2}}{2} -\frac{m\cdot \upsilon _{0}^{2}}{2},} \\ {\Delta E=\frac{q^{2} \cdot E^{2} \cdot \Delta t^{2}}{2\cdot m}.} \end{array} \]
Ответ: 5,6 ∙ 10-18 Дж = 35 эВ, т.к. 1 эВ = 1,6 ∙ 10-19 Дж.
: Re: 12. Напряжённость электростатического поля
: Виктор 28 March 2015, 17:21
В1.8. Электрон, модуль скорости которого  υ0 = 1,8 ∙ 104 м/с, влетает в однородное электростатическое поле, модуль напряжённости которого E = 3,0 мВ/м, и движется против линий напряжённости. Модуль скорости электрона, если он пройдёт расстояние s = 7,1 см, равен … км/с.
Решение: на электрон со стороны электростатического поля действует только одна сила F = q∙E , направленная против силовых линий (силой тяжести можно пренебречь и заряд электрона q = 1,6∙10-19 Кл  - отрицательный). Эта сила сообщает электрону ускорение a, направленное против силовых линий т.е. электрон разгоняется в электростатическом поле. Запишем второй закон Ньютона и кинематическое уравнение связи скорости и перемещения (пройденного пути):
\[ \begin{array}{l} {q\cdot E=m\cdot a,{\rm \; \; \; \; \; \; }a=\frac{q\cdot E}{m},} \\ {\upsilon ^{2} -\upsilon _{0}^{2} =2\cdot a\cdot s,{\rm \; \; \; \; \; }\upsilon =\sqrt{\upsilon _{0}^{2} +2\cdot \frac{q\cdot E}{m} \cdot s}.} \end{array} \]
Ответ: 20 км/с.
: Re: 12. Напряжённость электростатического поля
: Виктор 28 March 2015, 17:25
В1.9. Протон и α – частица (ядро атома гелия) влетают в конденсатор параллельно плоскости пластин с одинаковой по модулю скоростью. Смещение s1 протона вдоль силовых линий электростатического поля отличается от смещения s2 α – частицы при вылете из конденсатора в … раз (раза). (Заряд α – частицы в 2 раза больше заряда протона, а масса α – частицы в 4 раза больше массы протона)
Решение: пусть нижняя пластина конденсатора заряжена отрицательно (см. рис.). Силовые линии электростатического поля направлены вертикально вниз. В этом случае положительно заряженная частица (протон или α – частица), пролетая конденсатор, отклонится немного вниз. Пусть начало координат находится в точке влёта, ось OX направлена горизонтально, OY – вертикально вниз (см. рис.). В этой системе координат движение заряженной частицы можно представить как результат сложения двух движений: равномерного движения со скоростью υ0 (начальная скорость) вдоль оси OX и равноускоренного движения с ускорением a вдоль оси OY.  Наличие ускорения объясняется тем, что в этом направлении на частицу действует сила со стороны электростатического поля конденсатора: F = q∙E, где q  – заряд частицы. Модуль ускорения определим из второго закона Ньютона
\[ \begin{array}{l} {F=m\cdot a,{\rm \; \; \; \; }q\cdot E=m\cdot a,} \\ {a=\frac{q\cdot E}{m},} \end{array} \]
где m – масса частицы. В момент вылета частица пролетит вдоль оси OX длину пластин l, вдоль оси OY сместится на расстояние s, время движения частицы пусть будет равно τ. Запишем кинематические уравнения зависимости координаты от времени движения
\[ \begin{array}{l} {x=\upsilon _{0x} \cdot t+\frac{a_{x} \cdot t^{2}}{2} =\upsilon _{0} \cdot t,{\rm \; \; \; \; \; }y=\upsilon _{0y} \cdot t+\frac{a_{y} \cdot t^{2}}{2} =\frac{a\cdot t^{2}}{2},} \\ {l=\upsilon _{0} \cdot \tau ,{\rm \; \; \; \; \; }s=\frac{a\cdot \tau ^{2}}{2} ,{\rm \; \; \; \; \; \; \; \; \; }s=\frac{q\cdot E\cdot l^{2}}{2\cdot m\cdot \upsilon _{0}^{2}}.} \end{array} \]
Пусть заряд протона q, масса m, тогда заряд α – частицы равен 2q, масса 4m. Таким образом, искомое отношение смещений
\[ \frac{s_{1}}{s_{2}} =\frac{q\cdot E\cdot l^{2}}{2\cdot m\cdot \upsilon _{0}^{2}} \cdot \frac{2\cdot 4m\cdot \upsilon _{0}^{2}}{2q\cdot E\cdot l^{2}} =2. \]
Ответ: в 2 раза.
: Re: 12. Напряжённость электростатического поля
: Виктор 28 March 2015, 17:28
В1.10. Электростатическое поле создано двумя бесконечными параллельными проводящими пластинами с поверхностной плотностью зарядов σ1 = 20 нКл/м2  и σ2 = – 80 нКл/м2, Модуль напряжённости электростатического поля между пластинами равен …кВ/м.
Решение: напряжённость электростатического поля заряженной плос-кости (пластины) рассчитывается по формуле:
\[ E=\frac{\left|\sigma \right|}{2\cdot \varepsilon _{0}}. \]
Здесь ε0 = 8,85 ∙ 10-12 Ф/м – электрическая постоянная, σ – поверхностная плотность заряда на пластине. Первая пластина заряжена положительно, поэтому вектор напряжённости E1 направлен от неё, вторая пластина заряжена отрицательно, поэтому вектор напряжённости E2 направлен к ней. В пространстве между пластинами вектора  E1 и E2 будут сонаправлены (направлены от первой ко второй пластине). Применяя принцип суперпозиции полей для указанной системы получим:
\[ E=E_{1} +E_{2} =\frac{\left|\sigma _{1} \right|}{2\cdot \varepsilon _{0} } +\frac{\left|\sigma _{2} \right|}{2\cdot \varepsilon _{0}} =\frac{\left|\sigma _{1} \right|+\left|\sigma _{2} \right|}{2\cdot \varepsilon _{0}}. \]
Ответ: 5,6 кВ/м
: Re: 12. Напряжённость электростатического поля
: Виктор 28 March 2015, 17:36
В2.1. Модуль напряжённости  электростатического поля, образованного точечным зарядом q в точке A, EA = 16 В/м,  а в точке B, лежащей на прямой, проходящей через заряд и точку A – EB = 49 В/м. В точку С, находящейся в середине отрезка AB, модуль напряжённости EC равен … В/м.
Решение: модуль напряжённости  электростатического поля точечного заряда, в точке, удалённой от него на расстояние r (k = 9∙109 Н∙м2/Кл2):
\[ E=\frac{k\cdot q}{r^{2}}. \]
Пусть расстояние до точки А равно rA, до точки В равно rB. Тогда по условию задачи расстояние получим, что расстояние до точки С:
rC = (rA + rB)/2.
Таким образом
\[ \begin{array}{l} {E_{A} =\frac{k\cdot q}{r_{A}^{2}} ,{\rm \; \; \; \; }r_{A} =\sqrt{\frac{k\cdot q}{E_{A} } } ,{\rm \; \; \; \; \; \; \; \; \; }E_{B} =\frac{k\cdot q}{r_{B}^{2} } ,{\rm \; \; \; \; }r_{B} =\sqrt{\frac{k\cdot q}{E_{B}}},} \\ {E_{C} =\frac{k\cdot q}{r_{C}^{2} } =\frac{k\cdot q}{\left(\frac{r_{A} +r_{B}}{2} \right)^{2}} =\frac{4\cdot k\cdot q}{\left(r_{A} +r_{B} \right)^{2}} =\frac{4\cdot k\cdot q}{\frac{k\cdot q}{E_{A}} +\frac{2\cdot k\cdot q}{\sqrt{E_{A} \cdot E_{B}}} +\frac{k\cdot q}{E_{B}}},} \\ {E_{C} =\frac{4\cdot E_{A} \cdot E_{B}}{\left(\sqrt{E_{A} } +\sqrt{E_{B} } \right)^{2}}.} \end{array} \]
Ответ: 26 В/м.
: Re: 12. Напряжённость электростатического поля
: Виктор 28 March 2015, 18:34
В2.2. Электростатическое поле создано двумя бесконечными парал-лельными проводящими пластинами с поверхностной плотностью зарядов σ1 = 4,0 ∙ 10-8 Кл/м2  и σ2 = 8,0 ∙ 10-8 Кл/м2, Модуль напряжённости электростатического поля между пластинами равен …кВ/м.
Решение: см. решение задания В1.10. Отличие в том, что обе пластины заряжены положительно и в пространстве между пластинами вектора  E1 и E2 будут иметь противоположное направление. Тогда:
\[ E=\left|E_{1} -E_{2} \right|=\left|\frac{\sigma _{1}}{2\cdot \varepsilon _{0} } -\frac{\sigma _{2} }{2\cdot \varepsilon _{0}} \right|=\left|\frac{\sigma _{1} -\sigma _{2} }{2\cdot \varepsilon _{0}} \right|. \]
Ответ: 2,3 кВ/м.
: Re: 12. Напряжённость электростатического поля
: Виктор 28 March 2015, 18:39
В2.3. Два шарика массами m1 = 22 г и m2 = 12 г с зарядами, равными соответственно q1 = +5,4∙10-6 Кл и q2 = +2,4∙10-6 Кл, связаны нитью, перекинутой через неподвижный блок. Если вся система помещена в однородное электростатическое поле напряжённостью E = 6,4∙104 В/м, силовые линии которого направлены вертикально вниз, то модуль ускорения шариков равен … м/с2. (Взаимодействием заряженных шариков пренебречь)
Решение: на первый шарик действуют силы: m1g – сила тяжести, направленная вниз, T1 – сила натяжения нити, F1 ¬– сила со стороны электростатического поля, направленная вдоль силовых линий. На второй действуют силы: m2g – сила тяжести, T2 – сила натяжения нити и F2 ¬– сила со стороны электростатического поля (см. рис.) Блок будем считать невесомым, трение в блоке отсутствует, и нить можно считать невесомой, тогда:
T1 = T2 = T,  a1 = a2 = a.
Запишем второй закон Ньютона для обоих шаров? Учтём что сила со стороны электростатического поля равна произведению заряда на напряжённость:
\[ \begin{array}{l} {\vec{T}+m_{1} \vec{g}+\vec{F}_{1} =m_{1} \cdot \vec{a},} \\ {\vec{T}+m_{2} \vec{g}+\vec{F}_{2} =m_{2} \cdot \vec{a}.} \end{array} \]
Спроецируем полученные уравнения на выбранную систему отсчёта:
\[ \begin{array}{l} {T-m_{1} g-q_{1} \cdot E=-m_{1} \cdot a,} \\ {T-m_{2} g-q_{2} \cdot E=m_{2} \cdot a.} \end{array} \]
Т.к. нас интересует только ускорение, то вычтем из второго первое уравнение, чтобы избавится от силы натяжения нити:
\[ \begin{array}{l} {T-m_{2} g-q_{2} \cdot E-T+m_{1} g+q_{1} \cdot E=m_{2} \cdot a+m_{1} \cdot a,} \\ {-m_{2} g-q_{2} \cdot E+m_{1} g+q_{1} \cdot E=m_{2} \cdot a+m_{1} \cdot a,} \\ {g\cdot \left(m_{1} -m_{2} \right)+E\cdot \left(q_{1} -q_{2} \right)=a\cdot \left(m_{2} +m_{1} \right),} \\ {a=g\cdot \left(\frac{m_{1} -m_{2}}{m_{1} +m_{2}} \right)+E\cdot \left(\frac{q_{1} -q_{2}}{m_{1} +m_{2}} \right).} \end{array} \]
Ответ: 8,6 м/с2.
: Re: 12. Напряжённость электростатического поля
: Виктор 28 March 2015, 18:43
В2.4. Тонкое проволочное кольцо радиусом R = 10 см имеет заряд q  = 1,0 мкКл. Модуль напряжённости поля на прямой, проходящей через центр кольца перпендикулярно плоскости кольца, на расстоянии l = 40 см от центра равен … кВ/м.
Решение: разобьём кольцо на малые участки, несущие заряд qi. Их можно считать тачечными зарядами, каждый из которых в искомой точке создаёт электростатическое поле, напряжённостью Ei. Сделаем рисунок (учтём, что напряжённость поля положительного заряда направлена «от него»). Для нахождения напряжённости заряженного кольца, воспользуемся принципом суперпозиции, т.е. просуммируем Ei, и как видно из рисунка,
\[ \begin{array}{l} {r^{2} =R^{2} +l^{2} ,} \\ {E_{i} =\frac{k\cdot q_{i} }{r^{2} } =\frac{k\cdot q_{i} }{R^{2} +l^{2} } ,} \\ {E_{ix} =E_{i} \cdot \cos \alpha =\frac{k\cdot q_{i} }{r^{2} } \cdot \frac{l}{r} =k\cdot q_{i} \cdot \frac{l}{\left(R^{2} +l^{2} \right)^{\frac{3}{2}}}.} \end{array} \]
Сумма напряжённостей Eiy на ось Y будет равна нулю (симметрия – см. рис.), поэтому общая напряжённость равна сумме Eix, т.е.
\[ \begin{array}{l} {E=\sum _{i}E_{ix}  =\sum _{i}\left(k\cdot q_{i} \cdot \frac{l}{\left(R^{2} +l^{2} \right)^{\frac{3}{2} } } \right) =\frac{k\cdot l}{\left(R^{2} +l^{2} \right)^{\frac{3}{2} } } \cdot \sum _{i}q_{i}  ,} \\ {E=\frac{k\cdot q\cdot l}{\left(R^{2} +l^{2} \right)^{\frac{3}{2}}}.} \end{array} \]
Ответ: 51 кВ/м. (k = 9∙109 Н∙м2/Кл2)
: Re: 12. Напряжённость электростатического поля
: Виктор 28 March 2015, 18:51
В2.5. В однородном электростатическом поле, модуль напряжённости которого  E = 1,0 МВ/м, висит на нити шарик массой m = 2,0 г, несущий заряд q = 10 нКл. Вектор напряжённости поля составляет с вертикалью угол α = 30º и линии напряжённости направлены вниз. Модуль силы натяжения нити равен… мН.
Решение: на шарик действуют силы: mg – сила тяжести, направленная вертикально вниз, T – сила натяжения нити, направленная вдоль нити, F = q∙E ¬– сила со стороны электростатического поля, направленная вдоль силовых линий. Для наглядности сделаем рисунок только для сил. Так как шарик находится в равновесии, то сумма сил равна нулю. Равнодействующая силы тяжести и силы со стороны электростатического поля должна быть равна по модулю  и противоположна по направлению силе натяжения нити. Воспользуемся теоремой косинусов для диагонали параллелограмма (см. рис.)
\[ \begin{array}{l} {\vec{T}+m\vec{g}+\vec{F}=0,{\rm \; \; \; \; \; }\vec{T}=-\left(m\vec{g}+\vec{F}\right),} \\ {T=\sqrt{\left(mg\right)^{2} +\left(qE\right)^{2} +2\cdot mg\cdot qE\cdot \cos \alpha }.} \end{array} \]
Ответ: 29 мН.
: Re: 12. Напряжённость электростатического поля
: Виктор 28 March 2015, 18:56
В2.6. Шар массой m = 1,0 кг с зарядом q = 2,0∙10-4 Кл висит на невесомой и нерастяжимой нити в электростатическом поле, модуль напряжённости которого E = 30 кВ/м, а линии напряжённости направлены вертикально вниз. Шар отклонили на угол α = 90º от вертикали и отпустили. Модуль максимальной силы натяжения нити составляет… Н.
Решение: После того, как шар отпустили, он начнёт двигаться вниз по дуге окружности. Натяжение нити будет максимальным в нижней точке траектории. В этой точке на шар действуют: mg – сила тяжести, направленная вертикально вниз, T – сила натяжения нити, направленная вдоль нити вертикально вверх, F = q∙E – сила со стороны электростатического поля, направленная вдоль силовых линий – вертикально вниз. При этом шар движется по дуге окружности, т.е. обладает центростремительным ускорением a = υ2/l.
Запишем в рассматриваемый момент 2-ой закон Ньютона в проекции на ось, направленную к центру окружности
\[ \begin{array}{l} {T-mg-q\cdot E=m\cdot a,} \\ {T=mg+q\cdot E+m\cdot \frac{\upsilon ^{2}}{l}.} \end{array} \]
Скорость шарика найдем из закона сохранения энергии. В данном случае удобно записать его в форме теоремы об изменении кинетической энергии, рассматривая обе силы  —  и электрическую, и тяжести — как внешние.
\[ \frac{m\cdot \upsilon ^{2} }{2} -0=A_{1} +A_{2}. \]
Поскольку работа каждой из этих сил не зависит от траектории, то для работы силы тяжести A1 = mg∙l. Для работы силы со стороны электрического поля учтём перемещение вдоль силовой линии, равное длине нити и  A2 = q∙E∙l.
\[ \begin{array}{l} {\frac{m\cdot \upsilon ^{2} }{2} =mg\cdot l+q\cdot E\cdot l,} \\ {\upsilon ^{2} =\frac{2\cdot l}{m} \left(mg+q\cdot E\right).} \end{array} \]
Таким образом, максимальная сила натяжения нити
\[ \begin{array}{l} {\frac{m\cdot \upsilon ^{2} }{2} =mg\cdot l+q\cdot E\cdot l,} \\ {T=3\cdot \left(mg+q\cdot E\right).} \end{array} \]
Ответ: 48 Н.  Замечание. Работу электрической силы можно вычислить через разность потенциалов между точками, равную Ed, где d — расстояние между эквипотенциальными поверхностями, на которых лежат эти точки. Работа силы тяжести равна изменению потенциальной энергии, взятому с обратным знаком.
: Re: 12. Напряжённость электростатического поля
: Виктор 28 March 2015, 19:02
В2.7 Электрон влетает в конденсатор параллельно плоскости пластин со скоростью, модуль которой υ0 = 3,0∙106 м/с. Если электрон вылетает из конденсатора под углом α = 30° к пластинам, то при длине пластин l = 20 см модуль напряжённости поля в конденсаторе равен … кВ/м.
Решение: пусть нижняя пластина конденсатора заряжена положительно (см. рис.). Силовые линии электростатического поля направлены вертикально вверх. В этом случае отрицательно заряженная частица (электрон), пролетая конденсатор, отклонится немного вниз. Пусть начало координат находится в точке влёта, ось OX направлена горизонтально, OY – вертикально вниз (см. рис.). В этой системе координат движение заряженной частицы можно представить как результат сложения двух движений: равномерного движения со скоростью υ0 (начальная скорость) вдоль оси OX и равноускоренного движения с ускорением a вдоль оси OY.  Наличие ускорения объясняется тем, что в этом направлении на частицу действует сила со стороны электростатического поля конденсатора: F = q∙E, где q = 1,6∙10-19 Кл заряд частицы. Модуль ускорения определим из второго закона Ньютона
\[ \begin{array}{l} {F=m\cdot a,{\rm \; \; \; \; }q\cdot E=m\cdot a,} \\ {a=\frac{q\cdot E}{m},} \end{array} \]
где m = 9,1∙10-31 кг масса электрона. В момент вылета частица пролетит вдоль оси OX длину пластин l, время движения частицы пусть будет равно τ. Запишем кинематические уравнения зависимости координаты и скорости частицы от времени движения
\[ \begin{array}{l} {x=\upsilon _{0x} \cdot t+\frac{a_{x} \cdot t^{2} }{2} ,{\rm \; \; \; \; }\upsilon _{{\rm x}} =\upsilon _{0x} +a_{x} \cdot t,{\rm \; \; \; \; \; \; }\upsilon _{{\rm y}} =\upsilon _{0y} +a_{y} \cdot t,} \\ {l=\upsilon _{0} \cdot \tau ,{\rm \; \; \; \; }\tau =\frac{l}{\upsilon _{0} } ,{\rm \; \; \; \; \; \; }\upsilon _{{\rm x}} =\upsilon _{0} ,{\rm \; \; \; \; \; }\upsilon _{{\rm y}} =a\cdot \tau =\frac{q\cdot E}{m} \cdot \tau .} \end{array} \]
Как видно из рисунка, тангенс угла отклонения частицы равен отношению противолежащего катета к прилежащему в треугольнике скоростей:
\[ \begin{array}{l} {tg\alpha =\frac{\upsilon _{{\rm y}}}{\upsilon _{{\rm x}} } =\frac{q\cdot E\cdot \tau }{m\cdot \upsilon _{0}} =\frac{q\cdot E\cdot l}{m\cdot \upsilon _{0}^{2}},} \\ {E=\frac{m\cdot \upsilon _{0}^{2} \cdot tg\alpha }{q\cdot l}.} \end{array} \]
Ответ: 0,15 кВ/м.
: Re: 12. Напряжённость электростатического поля
: Виктор 28 March 2015, 19:06
В2.8 Электрон влетает в плоский горизонтальный конденсатор параллельно его пластинам со скоростью, модуль которой υ0 = 3,6∙104 км/с. Модуль напряжённости пол внутри конденсатора E = 370 В/м. Длина пластин конденсатора l = 20 см. Смещение электрона в вертикальном направлении под действием электростатического поля за время его движения в конденсаторе равно … мм.
Решение: пусть нижняя пластина конденсатора заряжена положительно (см. рис.). Силовые линии электростатического поля направлены вертикально вверх. В этом случае отрицательно заряженная частица (электрон), пролетая конденсатор, отклонится немного вниз. Пусть начало координат находится в точке влёта, ось OX направлена горизонтально, OY – вертикально вниз (см. рис.). В этой системе координат движение заряженной частицы можно представить как результат сложения двух движений: равномерного движения со скоростью υ0 (начальная скорость) вдоль оси OX и равноускоренного движения с ускорением a вдоль оси OY.  Наличие ускорения объясняется тем, что в этом направлении на частицу действует сила со стороны электростатического поля конденсатора. Модуль этой силы равен: F = q∙E, где q = 1,6∙10-19 Кл заряд частицы. Модуль ускорения определим из второго закона Ньютона
\[ \begin{array}{l} {F=m\cdot a,{\rm \; \; \; \; }q\cdot E=m\cdot a,} \\ {a=\frac{q\cdot E}{m},} \end{array} \]
где m = 9,1∙10-31 кг масса электрона. В момент вылета частица пролетит вдоль оси OX длину пластин l, вдоль OY пролетит расстояние s (искомое смещение). Пусть время движения частицы будет равно τ. Запишем кинематические уравнения зависимости координаты частицы от времени движения
\[ \begin{array}{l} {x=\upsilon _{0x} \cdot t+\frac{a_{x} \cdot t^{2} }{2} ,{\rm \; \; \; \; }y=\upsilon _{0y} \cdot t+\frac{a_{y} \cdot t^{2} }{2} ,} \\ {l=\upsilon _{0} \cdot \tau ,{\rm \; \; \; \; \; }\tau =\frac{l}{\upsilon _{0} } {\rm ,\; \; \; \; \; }s=\frac{a\cdot \tau ^{2} }{2} =\frac{q\cdot E\cdot \tau ^{2} }{m\cdot 2} ,} \\ {s=\frac{q\cdot E\cdot l^{2} }{2\cdot m\cdot \upsilon _{0}^{2}}.} \end{array} \]
Ответ: 1 мм.
: Re: 12. Напряжённость электростатического поля
: Виктор 28 March 2015, 19:08
В2.9 Пылинка находится в однородном электростатическом поле и движется горизонтально с ускорением, модуль которого a = 4,6 м/с2. Силовые линии поля составляют с горизонтом угол, равный … град.
Решение: на пылинку действуют силы: mg – сила тяжести, направлен-ная вертикально вниз и F = q∙E – сила со стороны электростатического поля, направленная вдоль силовых линий поля (будем считать заряд пылинки положительным), где  заряд  пылинки q. Эти силы сообщают пылинке ускорение, направленное горизонтально. Пусть координатная ось  OY направлена вверх, ось OX горизонтально, по направлению ускорения пылинки (см. рис.). Запишем второй закон Ньютона в проекциях на систему координат и разделим полученные уравнения друг на друга:
\[ \begin{array}{l} {OX:{\rm \; \; \; \; \; }q\cdot E\cdot \sin \alpha =m\cdot g,} \\ {OY:{\rm \; \; \; \; \; }q\cdot E\cdot \cos \alpha =m\cdot a,{\rm \; \; \; }} \\ {\frac{q\cdot E\cdot \sin \alpha }{q\cdot E\cdot \cos \alpha } =\frac{m\cdot g}{m\cdot a} ,{\rm \; \; \; \; \; }tg\alpha =\frac{g}{a},} \\ {\alpha =arctg\left(\frac{g}{a} \right).} \end{array} \]
Ответ: 65°.
: Re: 12. Напряжённость электростатического поля
: Виктор 28 March 2015, 19:11
В2.10 Конический маятник состоит из невесомой нерастяжимой нити длиной l = 100 см, шарика массой m = 2,0 г с зарядом q = 1,0∙10-6 Кл. Маятник находится в однородном электростатическом поле с напряжённостью, модуль которой E = 10 кВ/м и силовые линии направлены вертикально вниз. Если нить образует с вертикалью угол α = 30°, то угловая скорость вращения шарика равна … рад/с.
Решение: на шарик действуют силы: mg – сила тяжести, направленная вертикально вниз, F = q∙E – сила со стороны электростатического поля, направленная вертикально вниз (вдоль силовых линий т.к. заряд шарика положительный) и T – сила натяжения нити, направленная вдоль нити (см. рис.)  Эти силы сообщают шарику центростремительное ускорение a = ω2∙R, направленное к центру окружности радиуса R = l∙sinα (см. рис.), по которой движется шарик (конический маятник). Здесь ω – искомая угловая скорость. Пусть координатная ось  OY направлена вверх, ось OX – горизонтально к центру окружности. Тогда второй закон Ньютона в проекциях на систему координат:
\[ \begin{array}{l} {\left\{\begin{array}{l} {T\cdot \sin \alpha =m\cdot a,} \\ {T\cdot \cos \alpha -mg-q\cdot E=0;} \end{array}\right.} \\ {\left\{\begin{array}{l} {T\cdot \sin \alpha =m\cdot \omega ^{2} \cdot l\cdot \sin \alpha ,} \\ {T\cdot \cos \alpha =mg+q\cdot E;} \end{array}\right.} \end{array} \]
Разделим полученные уравнения друг на друга и выразим угловую скорость
\[ \begin{array}{l} {\frac{T}{\cos \alpha } =\frac{m\cdot \omega ^{2} \cdot l}{mg+q\cdot E} } \\ {\omega =\sqrt{\frac{mg+q\cdot E}{m\cdot l\cdot \cos \alpha }}.} \end{array} \]
Ответ: 4,2 рад/с